人们常说“就算学了数学，在社会上也派不上什么用场”。然而事实并非如此。数学为我们的工作与生活提供支持，甚至可以说“世界是由数学建立的”。

举例来说……

现在要把一张 A4 大小的海报放大至 A3 大小。因为纸张大小满足“白银比例”，所以图案不会变形，操作起来很方便。

气象局预测樱花将在下周一开放。气象局之所以能够这样预测，是因为运用了“积分”。

“他那么帅，肯定有女朋友。”听到这句话，你是不是觉得哪里不对？假如你怀疑它的因果关系，可以用“反证法”

想一想。

诸如此类日常生活中的场景，都会用到数学。

只要掌握了数学思维，就能有逻辑地思考事物。

《原来数学这么有用》的作者鹤崎修功从三岁起就沉浸在“数学沼泽”中的东京大学数学系博士，力图用日常生活中的案例（如A4纸放大、樱花预测、自助餐食物增量等）解读数学原理，让数学不再抽象。

通过这本书邀你领略数学之美、之趣、之用。无论是对数学有恐惧情绪的文科生，还是对数学着迷的理科生，都能在这本书中轻松获得有趣的知识和有效的应试技巧。

来源 | 《原来数学这么有用》

作者 | [日] 鹤崎修功

译者 | 佟凡

01

自古以来令数学家陶醉的“黄金比例”

当我们在鸟取沙丘看到一片广阔的沙滩时，在沙之美术馆与精致的沙雕作品相遇时，抑或从中国地方 A 最高峰的峰顶俯瞰宏伟的大自然时……我们都能够感受到“美”。

眼前的事物和风景向我们的感性倾诉着“某种东西”，这种东西有时能用数学解释。数学与美之间隐藏着出人意料的联系。你知道“黄金比例”吗？据说黄金比例是“能够让人从根源上感受到美的比例”。

，小数点以后的数字无限延续。这个数字被称为“黄金数”，用希腊字母 Φ 表示。也就是说，

古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯创立的毕达哥拉斯学派的标志是“五芒星”。五芒星是由正五边形的对角线组成的星形。假设正五边形的一边边长为 1，那么对角线的长度就是黄金数 Φ，也就是说，正五边形的边长与对角线的长度比为黄金比例。

02

“米洛斯的维纳斯”为什么那么美

出现黄金比例的著名作品是希腊的帕特农神庙和米洛斯的维纳斯。

据说帕特农神庙的横向与纵向长度比为黄金比例。另 外，米洛斯的维纳斯从脚底到头顶的长度与从脚底到肚脐的长度之比，以及从肚脐到头顶的长度与从肚脐到下巴的长度之比均为 Φ∶1。

不过，这些惯性认知其实都来源于“当长方形的长宽比为黄金比例时，人们会感觉到美”的说法。因此，我们同样可以认为帕特农神庙和米洛斯的维纳斯中隐藏的黄金比例是后人附会的。

自古以来，人们就认为长宽比为黄金比例的长方形是最美的，这种观点尤以欧洲为甚。不过，事实也确实是大量建筑和艺术作品的设计中都遵循了黄金比例法则，比如巴黎的凯旋门和列奥纳多·达·芬奇（1452—1519）的作品《蒙娜丽莎》。

03

黄金比例与“斐波那契数列”的神奇联系

黄金比例与自然界同样密切相关。与黄金比例关系密切的斐波那契数列就经常出现在自然界中。

首先我来为大家介绍斐波那契数列。斐波那契数列从两个 1 开始，按照“1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …”的顺序排列，数列的规则很简单，后一项为前两项之和。数列的名称来源于意大利数学家列奥纳多·斐波那契（约 1170—约 1240）。据说斐波那契通过观察兔子的繁殖方式发现了这个数列。

黄金比例与斐波那契数列是如何联系在一起的呢？

让我们把斐波那契数列纵向排列，看一看上下两个数之 比（ 见上页图 ）。 按 照

为什么我们能够感受到美？为什么与黄金比例有关的数会大量出现在自然界中呢？我从世界与数学的神奇联系中感受到了浪漫。

04

在日本深受喜爱的“白银比例”

刚才我说到了黄金比例自古以来就在欧洲深受喜爱，在日本同样有自古以来就深受喜爱的“白银比例”。白银比例是 1∶

，换算成整数大约为 5∶7。

是边长为 1的正方形的对角线长度，也可以说是直角边边长为 1 的等腰直角三角形的斜边长度。

白银比例被日本的木工称为“神之比例”，在日本法隆寺五重塔和伊势神宫等建筑物中被大量应用，因此它也被称为“大和比”。

与黄金比例相比，我自己也更喜欢白银比例，因为白银比例不仅美丽，而且功能性很强。

其实，我们非常熟悉的表示纸张大小的 A、B 开本的长宽比正是白银比例。活跃于日本江户时代后期的诙谐小说作家大田南亩（1749—1823）在《半日闲话》中提到过：“日本纸张的规格应该参考白银比例。”白银比例有一个特点——就算把纸张缩小到原来的 1/2、1/4、1/8……，也能始终保持长宽比为白银比例。举例来说，就算用复印机放大 2 倍或者缩小 1/2，由于长宽比相同，因此原本的图案也不会变形。这是只有白银比例才拥有的特点。

1929 年，日本确定了纸张规格。在调查了其他各国的情况后，日本确定了两组符合白银比例的纸张标准规格，即德国符合白银比例的 A 组尺寸，以及以日本江户时代的公用纸张“美浓判”为基础的 B 组尺寸。

如下图所示，现在 A0 纸的一半为 A1 纸，A1 纸的一半为 A2 纸，A2 纸的一半为 A3 纸，以此类推。B 组的纸张大小同样如此。另外，B 组纸张的面积是 A 组的 1.5 倍。

就算纸张的大小缩小到原来的一半，依然能够保持白银比例，因此在造纸的工序中不会出现浪费。这就是我说白银比例“功能性很强”的原因。

05

直到 17 世纪，负数都是“不合理的数”

在这一节，我们将回顾数的历史，比如在学校学到的负数、零、虚数等。人类最早发现的数是自然数，可以追溯到约 4000 年前的古巴比伦。

另外，约公元前 3 世纪的美索不达米亚文明已经开始使用 0（零）作为占位符，不过当时 0 并没有被当成数。比如“101”中的 0 只是一个记号，表示“十位上什么数都没有”（空位）。据说 0 第一次被当成数是在六七世纪的印度，因此人们会说“发现 0 的是印度人”。把 0 当成数对待后，人们随之也把 0 当成计算对象来对待。也就是说，人们可以进行“0 + 9 = 9”“13 × 0 = 0”等计算了。

负整数初次在世界登场，是在中国数学典籍《九章算术》里。可是据说负数被真正当成数对待，还是在六七世纪的印度。628 年，印度数学家婆罗摩笈多（约 598—约660）在天文学著作《婆罗摩修正体系》中记载计算规则时，将负数和 0 一起列入了计算体系。

负数在印度确立地位后传到了欧洲，不过在那里并没有被立即接受。后来经过漫长的岁月，直到进入 16 世纪，负数才终于成为方程的解。但当时的数学家们依然不认可负数，将它称为“不合理的数”。就连 17 世纪的著名法国数学家勒内·笛卡儿（1596—1650）都会在遇到负数解时称之为“伪解”。

第一个接受负数作为方正的解的人，是法国数学家阿尔贝·吉拉尔（1595—1632）。他想出了用可视化的方式表现负数的方法，即“正数表示前进，负数表示倒退”，以 0 为原点，用向右长度为 1 的箭头表示 +1，向左长度为 1 的箭头表示 -1。负数从此有了可视化的表现方式，终于被人们广泛接受。

现在我们不带任何疑问使用的负数，在仅仅大约 350年前还被认为是不合理的数，这实在令人惊讶。

06

毕达哥拉斯不承认的“无理数”

至此，整数终于全部出场。整数之间相加或者相乘后，结果一定是整数。可是整数之间相除，结果却不一定是整数，于是这里新出现的数是分数。分母和分子都是整数的分数叫作有理数。整数也可以看作分母为 1 的分数，因此属于有理数。不过，不能将 0 作为分母。

顺带一提，分数和小数二者的历史截然不同。分数是一种非常古老的数，大约在公元前 17 世纪就出现在数学著作《莱因德纸草书》中。而小数的历史很短，欧洲第一次提出小数概念的人是 16 世纪的荷兰数学家西蒙·斯蒂文（1548—1620）。发明出和现在一样的小数点表示法的人，则是苏格兰数学家约翰·纳皮尔（1550—1617）。

正如前文所说，因为整数也可以用分数表示，所以似乎所有数都可以用分数表示。毕达哥拉斯也同意这种看法，他崇拜自然数，认为自然数是神圣的事物，所有数都可以用自然数之比来表示，即用分数表示。

然而事实与毕达哥拉斯的想法相悖，当时人们发现了不能用分数表示的数。根据勾股定理，边长为 1 的正方形对角线的长度为

，

就是无法用分数表示的数。如果用小数表示

无法用分母与分子都是整数的分数形式表示。也就是说，

有理数和无理数被统称为“实数”。大家在学校数学课上学到的数轴包含所有实数。