竺君斐

浙江省宁波市奉化区尚田街道中心小学

【摘 要】现阶段跨学科主题学习仍存在“主题内容匮乏、学生参与感不强、育人价值不够凸显”等问题。数学史是跨学科主题学习的优质素材。运用精准定位目标、科学设计任务、数学结合思政等策略，能推动小学数学跨学科主题学习的有效实施，最终实现立德树人的教育目标。

【关键词】数学史；跨学科；主题活动；HPM

数学跨学科主题学习以解决实际问题为重点，旨在打破学科壁垒，综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质。它不仅有助于拓宽学生的知识视野，提升其创新思维和合作能力，还能为国家培养适应新时代需求的人才。为了切实促进跨学科学习的落地，《义务教育课程方案（2022年版）》（以下简称《课程方案》）明确规定“各门课程用不少于10% 的课时实施跨学科主题学习”，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）也要求“优化课程内容结构，提倡开展跨学科主题学习”。

然而，《课程方案》与 2022年版课标颁布已超过三年，数学跨学科主题学习的实施仍存在不少问题。如：跨学科主题内容匮乏，10%的课时得不到保障；主题活动的素养目标指向不清晰，学生参与感不强；数学学科特征不突出，育人价值不够凸显等等。历史上，数学与天文、音乐、美学等都存在密切联系。一方面，数学的产生、发展与完善受其他学科的驱动，另一方面，数学也为其他学科的发展与完善提供了强有力的支撑。那么，数学史是否有助于解决当前小学数学跨学科主题学习存在的问题？如果是，又是如何助力这些问题的解决的？

一、数学史融入跨学科主题学习的意义与价值

在 HPM（History & Pedagogy of Mathematics，即数学史融入数学教育）视域下，将数学史料融入小学数学跨学科学习，有助于获取多样的学习主题、设计有效的学习活动、形成丰富的育人价值。

（一）数学史提供了丰富的主题

数学的发展既是出于自身发展的需要，也是其与外部互动的结果，而数学与外部的互动就是跨学科的基础与体现。在人类历史上，数学的发展和它与外部的互动相伴相生，包括两个方面。一方面，外部问题的解决促进了数学知识的产生与发展。比如，四大文明古国几何学的诞生都是为了解决河谷文明农业生产中土地的分配问题。因为土地测量的需要，四大文明古国不约而同地发明并完善了面积理论。特别是中国，还在人类历史上第一次完善了分数计算理论，这在《九章算术》的“方田”一章可见一斑。另一方面，数学理论的应用促成了外部问题的解决与系统的完善。比如在音乐上，“三分损益”实现了由用耳定音到用数学定音的飞跃，“十二平均率”则让变音成为现实。正是这两个数学原理的应用，使音乐理论趋于完善。可见，数学史能为跨学科学习的开展提供丰富的主题，是跨学科主题学习的优质课程资源。

（二）数学史提供了学科实践的思路

学科实践是指具有学科意蕴的典型实践，即学科专业共同体怀着共享的愿景与价值观，运用该学科的概念、思想与工具，整合心理过程与操控技能，解决真实情境中的问题的一套典型做法。小学数学跨学科主题学习因其跨学科的特性，导致实践过程中学科边界弱化，多学科的思维方式并存，甚至以其他学科的思维方式为主导。在数学史上，数学与外部的互动过程引发了数学知识的产生与发展，催生了数学理论的应用，进而实现了跨学科问题的解决。可见，数学“主导”了它与外部的互动过程，即运用数学概念、思想与工具解决跨学科问题的过程。这为小学数学跨学科主题学习的学科实践提供了思路，避免了喧宾夺主的现象发生。

（三）数学史丰厚了育人价值

数学的发展过程不仅是数学知识产生、发展、应用的过程，还是一个数学与文化互动的过程，是人类开拓进取、突破极限的体现。学生“重走”历史上数学的创造、应用之路，解决有挑战性的数学难题，不仅能发展自身的关键能力，还能在与古人的“对话”中锤炼自身的价值观与必备品格。在以数学史为载体的跨学科主题学习中，学生首先用数学的眼光对跨学科问题进行审视，发现问题，提出问题，分析问题，初步建立问题解决与数学的联系，好奇心、想象力、创新意识得以发展，数学文化意识被唤醒。然后用数学的思维对跨学科问题的解决进行思考，进一步分析问题，设计解决问题的方案，并实施方案以解决问题，在“重走”古人之路，对数学进行“再发现”的过程中，体会古人不畏险阻的探索精神，科学态度与理性精神得以发展。最后用数学语言对跨学科问题的解决进行表达，即将问题的解决用简洁、准确的数量关系或空间形式描述出来，甚至上升到普适性的模型层面，应用意识与实践能力得到发展。这样，借助“古今对话”的形式，将探究过程与探究结果同不同时代、不同民族、不同国家共同努力的过程和结果进行对比，学生的自信心得以增强，对数学的价值认知更为深刻。

二、HPM 视域下小学数学跨学科主题学习的具体内容

丰富的跨学科素材是开展跨学科主题学习的基础，它有利于解决目前小学数学教学中跨学科主题内容匮乏的现状。适合小学生开展跨学科主题学习的数学史内容可以分为两类：一类是教材已收录的，如七巧板、算筹等；另一类是未被教材收录的，如骰子、华容道等。教师应立足教材已收录主题，对小学数学跨学科主题学习的内容进行扩充。受到小学数学教学内容及教材容量的，人教版教材收录的数学史内容浅显，数量有限。根据内容特征，结合汪晓勤对数学史料的分类，可将人教版教材收录的数学史内容分为益智类传统数学游戏、工具迭代史、数学知识演变史、数学家故事及数学思想方法四类。具体内容见表1。

（一）益智类传统数学游戏

小学生天性爱玩，数学与游戏融合比较适合小学生。在课内外开展传统数学游戏操作活动或组织数学作品设计展，不仅有利于激发学生学习数学的兴趣，满足学有余力学生的需求，还有利于激发学生的创造力，提升学生的综合素养。以七巧板为例，它与三角形、正方形、平行四边形等图形的认识紧密结合。学生可借助七巧板进行创意拼组，拼搭出美丽的图案，由此发展空间想象力、创新能力以及审美能力。

（二）工具迭代史

小学阶段数学史料中的工具迭代史类内容，主要包括计时工具、度量衡工具、计数工具、货币、指南针等。这些内容比较适合第一、二学段学生，并可以与科学、语文、艺术、劳动等学科相融合。教师可引导学生通过资料查找、文本阅读，了解工具演变历史。依托“观察—猜想—验证”，经历科学发现的过程，在动手实验或制作中，培养学生的跨学科思维。如将探究日晷的原理与制作日晷相结合，用手电筒模拟太阳照射小棒，观察“太阳”照射下小棒影子的长度与方向变化，记录后形成日晷表面，再通过创意艺术设计，融入传统文化经典图案，加工制作成简易日晷。

（三）数学知识演变史

知识演变史是数学史料中占比较多的内容，比较适合第二、三学段学生，同样可以与科学、语文、艺术、劳动等学科融合。比如，丈、尺、寸是我国特有的长度单位，虽然如今已渐渐退出历史舞台，被国际通用的米制单位所替代，但它们为长度单位的发展和日常生活中的度量作出了贡献，能够反映度量单位发展和演变的内在逻辑与规律。对此，教师可创设问题情境：“为什么秦始皇要统一度量衡？”学生需要收集资料，结合历史故事，了解中国古代度量衡的演变以及“书同文、车同轨”的统一意义。借助成语“得寸进尺”“道高一尺，魔高一丈”等，探究丈、尺、寸之间的关系。同时，经历“布手知尺”的以身为度过程，通过对比“一拃一臂一庹”的粗略与“米制”的精确，体会统一的标准计量单位给交流带来的便利，理解数学与人类文明发展的深刻联系。

（四）数学家故事及数学思想方法

与前面三类相比，数学思想方法更为抽象，比较适合第三、四学段学生，可以与语文、艺术等学科融合。如“田忌赛马”的智慧，既涉及概率意识，又包含排列组合和策略优化思想。学生可通过故事会，了解战国时期的社会背景与孙膑的成长经历。借助“微型剧本创编”和“齐王视角辩论会”，实现数学与艺术、语文的融合。借助“真人赛马运动场”和“策略思维导图画廊”，实现数学与体育、艺术的融合。在此基础上，选用绘画、表演等艺术形式模拟赛马游戏中的实践策略，感受“运筹帷幄”的重要性，树立积极动脑、策略优化方能获胜的思想与信念。

在2022年版课标列举的跨学科主题活动中，“身体上的尺子”“土圭之法的故事”“曹冲称象的故事”“度量衡的故事”“如何表达具有相反意义的量”等五个主题，与数学史、数学文化存在密切联系。不同类型的数学史料，不仅为开展上述主题活动提供了素材，也为拓展主题活动的范围、提升主题活动的深度提供了资源和启示。

三、HPM视域下跨学科主题学习的实施策略

数学史不会自动变成具有课程意义和教学价值的数学教学资源，而是需要教师有目标地规划、设计探究性任务，将其创造性地转化为教学行为。唯有这样才能解决制约小学数学跨学科主题学习开展过程中“主题活动的素养目标指向不清晰，学生参与感不强；数学学科特征不突出，育人价值不够凸显”等关键问题。

（一）目标定位：从知识立意到素养立意

学习目标的定位具有导向作用，它既是教学的起点，也是教学的终点。跨学科主题活动的学习目标旨在通过整合多学科知识，培养学生的综合运用能力与核心素养。

1.指向综合能力的发展

古代数学的发展多由实际问题驱动，内容贴近真实生活情境，活动主题具有现实意义。以数学史为载体的主题活动，可以引导学生打破学科壁垒，在真实情境中灵活调用科学、人文、艺术等领域的知识解决复杂问题，发展综合素养。比如，跨学科主题学习“米尺的由来”让学生测量一根长为0.75米木头的长度。学生用1米长的尺子测量，发现米尺太长。于是教师引导学生把米尺细分成 10 份，每份是1分米。学生测量后发现还有剩余，继续细分得到1厘米。在这一过程中，学生真实地体验到不同计量单位产生的必要性。学生还基于历史，结合视频了解了度量的起源、发展和应用，认识到数学不是孤立的，而是与人类发展紧密相连。再结合语文学科中的成语典故，分享与尺子有关的成语，理解成语背后的数学故事与含义。既长知识，又提升解决实际问题的能力；既提升语文素养，又兼顾了人文素养。

2.指向高阶思维的培养

高阶思维包括分析、评估、创新等方面。跨学科主题学习注重对学生批判性思维与创新意识的培养。通过HPM 视域下的跨学科主题学习，可以有效培养学生的高阶思维。例如，在跨学科主题学习“古代计时工具”一课中，教师提供图片与视频，让学生了解中国古代不同时期的计时工具。从测影计时、圭表、日晷、水钟、沙钟、铜壶滴漏、浑天仪到钟表，学生通过观察、猜想、演示、实验等活动，明确了历史上不同时期计时工具的局限性以及迭代的原因，对计时工具以及其中包含的数学原理作出客观评价。经历多轮辨析，学生主动参与设计创新。如在“如何让铜壶滴漏更准确、更科学”的实验操作中，教师引导学生综合科学知识，创造性地提出“增加铜漏壶个数，使底部铜壶水压保持稳定”的方法，感受古人的智慧以及这些智慧对当前学习的启发、借鉴作用。

（二）任务设计：变简单再现为探究创造

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾经说过：孩子应该重复人类的学习过程，但不是简单地、完全地再现历史，而是引导学生进行再创造的学习过程。HPM 视域下的跨学科主题学习围绕“解决问题”展开。教师可以引导学生主动探究，发展创新意识和实践能力。

1.设计真实问题情境

分析数学史提供的历史背景、数学家故事以及数学知识在各个时期、各个领域的应用，寻找并设计适合学生的真实问题，有利于激发学生的探究欲望。如在跨学科主题学习“黄金比”中，教师基于学生的认知水平，选取我国数学家华罗庚运用黄金比知识解决“中国白酒多少度口感最好”这一史料设计问题。其中，问题“算一算，如何用黄金比（0.618）确定白酒度数？”有一定的挑战性，学生探究欲望强烈，主体地位明显，培养学生数学眼光、数学思维、数学语言核心素养的目标清晰。

2.经历知识形成全过程

跨学科主题活动的任务设计应呈进阶式，逐步深入，强调探究与创造。如教师在跨学科主题学习“宫商角徵羽”一课安排了三个探究任务，由易到难，由浅入深。任务一：探究宫音与徵音之间的关系，引出“三分益一”。任务二：自主选择“徵商羽角”中相邻的2个音，完善“三分损益”法。任务三：如何应用“三分损益”法创造五音？学生四人小组合作，选择“水与玻璃量杯”“橡皮筋与吸管”其中一组材料，用“三分损益”法创造用“量杯”“吸管”制成的乐器，找到五音并弹奏或吹奏乐曲。学生由此经历从初步感知到发现“三分损益”，再到理解运用，最后动手创造的全过程，体会到运用数学知识解决问题的精准性和有效性。

（三）学习评价：立足“不动点”，凸显数学史对主题学习的价值

学习目标的重新定位与学习方式的重塑将引发学习评价的改变。基于数学史的小学数学主题学习评价要与素养立意、探究创造等相匹配，对数学史在跨学科主题学习中所发挥的作用进行评价。

1.立足“不动点”

无论是指向新知学习的主题学习，还是综合运用所学解决问题的主题学习，其学习效果的检验首先都要关注对数学本质的掌握与运用，即“不动点”。因此，基于数学史的主题学习教学结束后，教师需要编制相应的题目对学生进行考查。比如，质量内容的学科本质是质量单位。学生在称重的过程中，经历了中国古代度量单位的产生、度量单位的统一、度量单位的扩充。在这之后，教师设置“用天平称出物品质量，并比较这一过程与古代称量过程的相同之处”的评价任务，考查学生能否迁移称重方法，能否概括出称重单位在称重过程中的重要性。这一评价任务将学生置于未系统学习天平的使用的现实情境中，重点考查学生对度量单位的认知。

2.凸显数学史的价值

无论主题学习以何种视角、何种载体、何种形式开展，除了对数学本质这一“不动点”的考查，还需对与主题学习相关的视角、载体、形式等进行评价，以凸显它们对主题学习的价值。数学史丰厚了主题学习的育人价值。对于这一方面，应该如何考查？从过程上看，可以对学生基于数学史的学习活动进行评价。包括：学生能否把学习情境转化为数学问题？是否探究出了解决问题的方案？他们是怎样思考的？当得知自己经历了古人的探索过程，得到了古代数学家的探究结果后，他们的感想是什么？从结果上看，可以编制评价题目，让学生表达所思所想所感。比如，在学生学完中国古代的音乐理论“三分损益”后，可以编制“如果没有‘三分损益’法，中国古代音乐会怎样？”的题目，以考查学生对“三分损益”价值的认知，看看学生是否意识到有了“三分损益”这一数学工具，乐器制作实现了由用耳定音到用数学方法定音的飞跃。

总而言之，HPM视域下的跨学科主题学习能充分发挥数学史的文化价值与教学价值，以问题探究为导向，凸显学生的主体地位，有助于提升学生的文化素养与精神品格。学生不仅能提升解决问题的能力、创新能力，还能深刻理解国家和民族的基本价值观，落实“立德树人”的教育目标。

来源：《教学月刊·小学版》(数学)

2025.7-8