什么是二次曲线?谁能帮我解答一下 谢谢啦
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发布时间：2022-04-20 06:19
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热心网友
时间：2023-06-22 00:12
也称圆锥曲线或圆锥截线,是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线.当截面不通过锥面的顶点时,曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线.当截面通过锥面的顶点时,曲线退缩成一点、一直线或二相交直线.在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y的二元二次方程. 二次曲线 second-degree curve 平面直角坐标系中x,y的二次方程所表示的图形的统称.常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线.因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到（见图）,因此又称为圆锥截线.特殊情形时,二次方程可以分解为两个一次方程的乘积,这时,二次曲线就退化为两条直线,或者是两条相交直线,或者是两条平行直线,或者是两条重合直线,也包括两条共轭虚直线或者两条平行虚直线的情形.例如二次方程x2－y2＝0就表示两条相交直线x＋y＝0及x－y＝0；x2＋y2＝0就表示两条共轭虚直线（或说表示一个点）.通过对二次方程进行的讨论,可以将二次曲线分为三大类型：椭圆型,双曲型和抛物型.再细分,即可得上面提到的各种曲线,也包括退化成直线的情形,共有9种.圆作为椭圆的特殊情形包括在椭圆之中,而不单独算一种.通过坐标轴的适当的平移和旋转,可以把任意一个二元二次方程化简,从而区别出它表示9种曲线中的哪一种.也可以通过不变量由二次曲线方程的系数,直接判定它表示的曲线的种类.所谓不变量,是指方程的系数间的一个代数式,它的值不因坐标系的平移和旋转而改变.还可以通过二次曲线的方程,来讨论二次曲线的中心,直径和共轨直径,对称轴及渐近线等有关几何事项. [编辑本段]方程的化简中心曲线方程的化简 对中心曲线F（x,y）=0,令O′（, ）为其中心,若 二次曲线 将坐标原点平移至O′,则新方程中将不含一次项,再选取适当的θ角,作旋转变换,还可消去方程中的交叉乘积项,最终中心曲线的方程可化简为 （1） 由于, ∴ 全不为0,从而中心曲线（1）关于新系的x′, y′轴对称,即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时,则曲线的方程便简化为（1） 例1 ：化简二次曲线方程x²-xy+y²+4x-2y=0 所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ,x-y+2=0 取坐标变换公式 即 代入原方程有x′²+3y′²-8=0 即 无心曲线方程的化简 对无心曲线F（x,y）=0,选取适当的θ角作旋转变换,可消去方程中的交叉乘积项,即 方程简化为 由于∴ 有且仅有一为0,不妨设 =0 ,再配方有 作平移 二次曲线 则方程最终简化为 （2） 由于∴ 从而无心曲线（2）关于x″轴对称,即x″轴是其一主直径,且x″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点. 可见以无心曲线的主直径作为x′轴,以过顶点且与主直径垂直的直线作为y′轴建立新系,则曲线的方程便简化为（2） 例2 ：化简二次曲线方程x²+2xy+y²+2x-2y=0 所给曲线的一主直径为x+y=-0,曲线的顶点为原点,取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0,并取坐标变换,为 即 代入原方程并化简为 线心曲线方程的化简 对于线心曲线F（x,y）=0,取一中心 （,）,并作平移变换即可消去方程中的一次项,再选取适当的α角作旋转变换,还可消去交叉乘积项,最终方程简化为 二次曲线 由于∴ 有且仅有一为0,不妨设 ,则线心曲线方 程化简为 （3） 由于,∴曲线（3）关于x′轴对称,可见新坐标系的x′轴是其主直径,即以曲线的一主直径作为x′轴建立新坐标系,则在新系下,曲线的方程将简化为（3） 例3： 化简二次曲线方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0 可以验证所给曲线是线心曲线,其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0,作坐标变换 即 代入原方程并化简得 总结上述化简二次曲线方程的方法,可得如下结论： 选取适当坐标系,可使 中心二次曲线的方程的化简为 无心二次曲线的方程的化简为 线心二次曲线的方程的化简为 [编辑本段]分类 1°对于中心曲线,其方程可化简为（I） 二次曲线 当,令 A= ,B= ,则（I）为 Ax²+By²=1 若A,B>0,令A= ,B= ,则（I）为 [1] ——椭圆 若A,B<0,令A=- ,B=- ,则（I）为 [2] ————虚椭圆 若A>0,B<0,令A= ,B=- ,则（I）为 [3] ————双曲线 同理当A<0,B>0时,也是双曲线 当时,令A= ,B= ,则（I）为 [4] ———— 一点 同理,若A,B<0,则（I）也为一点 若A>0,B<0,令A= ,B=- ,则（I）为 [5] —————二相交直线 同理 若A<0,B>0,则（I）也为二相交直线. 2°对于无心曲线,其方程可化简为（II）,令 P= ,则（II）为 二次曲线 [6] y²=2Px ——————抛物线 对于线心曲线,其方程可化简为（III）,令 k= ,则（III）为 y²=k 若k>0,则（III）为 [7]y²=a² ————————二平行直线, 若k<0,则（III）为 [8]y²=-a² ————————二平行直线, 若k=0,则（III）为 [9]y²=0 ————————二重合直线.