2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题
1.（2019▪ 湖北黄石▪ 10 分）如图，已知抛物线 y＝x+bx+c 经过点 A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1） 求抛物线的解析式，并写出顶点 M 的坐标；
2
（2） 若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；
（3） 定点 D（0，m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3
个单位得到一条新的抛物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）
【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解； （2）S 四边形 AMBC＝AB（yC﹣yD），即可求解； （3）抛物线的表达式为：y＝ x，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x﹣4x﹣5）＝x﹣x ﹣ ，
点 M 坐标为（2，﹣3）；
（2）当 x＝8 时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点 C（8，9）， S 四边形 AMBC＝AB（yC﹣yD）＝ ×6×（9+3）＝36；
（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x﹣4x﹣5）＝（x﹣2）﹣3，
抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线， 则新抛物线表达式为：y＝ x， 则定点 D 与动点 P 之间距离 PD＝∵
，PD 有最小值，当 x＝3m﹣时，
＝
．
22
2
2
2
2
2
＝ ，
PD 最小值 d＝
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．
2.（2019▪ 贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产
每袋成本 10 元．试销阶段每袋的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表：
x（元） y（袋） 15 25 20 20 30 10 … …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求：
（1） 日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2） 假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大， 每
袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y（袋）与销售价 x（元） 的函数关系式即可
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1） 依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 y
＝kx+b 得
，解得
故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2） 依题意，设利润为 w 元，得w＝
2
（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x+50x+400整理得 w＝﹣（x﹣25）+225 ∵﹣1＜0
2
∴当 x＝2 时，w 取得最大值，最大值为 225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利
润是 225 元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润× 销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
3 （2019•山东省滨州市 •14 分）如图①，抛物线 y＝﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D．
2
（1） 求直线 AD 的函数解析式；
（2） 如图②，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点
①当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； ②当点 P 到直线 AD 的距离为
时，求 sin∠PAD 的值．
【考点】二次函数
【分析】（1）根据抛物线 y＝﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，可以 求得点 A.B.C 的坐标，再根据将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D，可以求得点 D 的坐标．从而可以求得直线 AD 的函数解析式；
（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点 P 到直线 AD 的距离最大值，进而可以得到点 P 的坐标；
2
②根据①中关系式和题意，可以求得点 P 对应的坐标，从而可以求得 sin∠PAD 的值． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝4，则点 A 的坐标为（0，4）， 当 y＝0 时，0＝﹣x+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点 B 的坐标为（﹣4，0），点 C 的坐标为（8，0），
2
∴OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到直线 AD，
∴∠BAD＝90°，
∴OAD＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴OA＝OD，
∴点 D 的坐标为（4，0），
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx+b，
，得
，
即直线 AD 的函数解析式为 y＝﹣x+4；
（2）作 PN⊥x 轴交直线 AD 于点 N，如右图①所示，
设点 P 的坐标为（t，﹣t+t+4），则点 N 的坐标为（t，﹣t+4）， ∴PN＝（﹣ t+ t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣ t+ t， ∴PN⊥x 轴，
2
22
∴PN∥y 轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作 PH⊥AD 于点 H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝
＝
（﹣ t+ t）＝
2
t＝﹣ （t﹣6）+
2
，
∴当 t＝6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，），
即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，），最大距离是②当点 P 到直线 AD 的距离为则
t＝
，
时，如右图②所示，
；
解得，t1＝2，t2＝10，
则 P1 的坐标为（2，），P2 的坐标为（10，﹣）， 当 P1 的坐标为（2，），则 P1A＝∴sin∠P1AD＝
＝
；
＝
，
当 P2 的坐标为（10，﹣ ），则 P2A＝
＝ ，
∴sin∠P2AD＝ ＝ ；
或
．
由上可得，sin∠PAD 的值是
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 4.(2019，四川成都，12 分） 如图，抛物线 y＝ ax2 bx c经过点 A（-2，5），与 x 轴相交于 B（-1，0），C（3，0）两点， （1） 抛物线的函数表达式；
（2） 点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将△ BCD 沿沿直线 BD 翻折得到 △ B CD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C 和点 D 的坐标；
（3） 设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q 在抛物线的对称轴上，当△ CPQ 为等边三角形时，求直线 BP 的函数表达式。
5. （2019•湖南长沙•10 分）已知抛物线 y＝﹣2x+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c 为常数）． （1） 若抛物线的顶点坐标为（1，1），求 b，c 的值；
2
（2） 若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3） 在（1）的条件下，存在正实数 m，n（m＜n），当 m≤x≤n 时，恰好
≤≤
，求 m，n 的值．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式 y＝﹣2x+（b﹣2）x+（c﹣2020） 可知，y＝﹣2（x﹣1）+1，易得 B.c 的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入函数解析式，经过化简得到 c＝2x +2020，易得 c≥2020；
（3）由题意知，抛物线为 y＝﹣2x+4x0 ﹣1＝﹣2（x﹣1）+1，则 y≤1．利用不等式的性 质推知：
2
2
2
2
2
2
，易得 1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当 x＝m 时，y 最大值
2
2
2
＝﹣2m+4m﹣1．当 x＝n 时，y 最小值＝﹣2n+4n﹣1．所以＝﹣2m+4m﹣1 ＝﹣2n+4n ， ﹣1 通过解方程求得 m、n 的值．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）+1＝﹣2x+4x﹣1． ∴
．
2
2
∴b＝6，c＝2019．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得： ．
∴两式相加可得：﹣4x0+2（c﹣2020）＝0． ∴c＝2x +2020，
0
∴c≥2020；
2
2
（3）由（1）可知抛物线为 y＝﹣2x+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）+1． ∴y≤1．
∵0＜m＜n，当 m≤x≤n 时，恰好∴ ∴
≤ ． ．
≤
≤
，
2
2
∴ ≤1，即 m≥1． ∴1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是 x＝1，且开口向下，
∴当 m≤x≤n 时，y 随 x 的增大而减小．
∴当 x＝m 时，y 最大值＝﹣2m+4m﹣1． 当 x＝n 时，y 最小值＝﹣2n+4n﹣1． 又
，
2
2
∴
．
将①整理，得 2n﹣4n+n+1＝0，
变形，得 2n（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0． ∴（n﹣1）（2n﹣2n﹣1）＝0． ∵n＞1，
22
3
2
∴2n﹣2n﹣1＝0． 解得 n1＝
（舍去），n2＝
2
2
．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m﹣2m﹣1）＝0． ∵1≤m＜n， ∴2m﹣2m﹣1＝0． 解得 m1＝1，m2＝
（舍去），m3＝
（舍去）．综上所述，m＝1，n＝
．
2
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
6.（2019•湖南怀化•14 分）如图，在直角坐标系中有 Rt△AOB，O 为坐标原点，OB＝1，tan ∠ABO＝3，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x+bx+c 的图象刚好经过 A，B，C 三点．
2
（1） 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；
（2） 过定点 Q 的直线 l：y＝kx﹣k+3 与二次函数图象相交于 M，N 两点．
①若 S△PMN＝2，求 k 的值；
②证明：无论 k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；
③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛
物线的表达式．
【分析】（1）求出点 A.B.C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解；
（2）①S△PMN＝ PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝＝
＝﹣1，即可求解；③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接
圆圆心，即可求解． 【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则 OA＝3，OC＝3，即点 A.B.C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x+2x+3， 点 P（1，4）；
（2）将二次函数与直线 l 的表达式联立并整理得： x﹣（2﹣k）x﹣k＝0， 设点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则 x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k，
同理：y1y2＝9﹣4k， ①y＝kx﹣k+3，当 x＝1 时，y＝3，即点 Q（1，3），
2
2
2
2
2
S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝
，
解得：k＝±2 ； ②点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点 P（1，4），
则直线 PM 表达式中的 k1 值为：
，直线 PN 表达式中的 k2 值为：
，
为：k1k2＝
＝
＝﹣1，
故 PM⊥PN，
即：△PMN 恒为直角三角形；
③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，
设点 H 坐标为（x，y），则 x＝
＝1﹣ k，
2
y＝（y1+y2）＝（6﹣k），整理得：y＝﹣2x+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x+4x+1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．
7. （2019•甘肃武威•12 分）如图，抛物线 y＝ax+bx+4 交 x 轴于 A（﹣3，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m．
（1） 求此抛物线的表达式；
2
2
2
（2） 过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q．试探究点 P 在运动过程中，
是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3） 过点 P 作 PN⊥BC，垂足为点 N．请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当
m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2） 分 AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ 三种情况，分别求解即可； （3） 由 PN＝PQsin∠PQN＝
（﹣ m+ m+4+m﹣4）即可求解．
2
2
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x﹣x﹣12）， 即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣ ， 则抛物线的表达式为 y＝﹣x+ x+4； （2）存在，理由：
2
点 A.B.C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则 AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点 B.C 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线 AC 的表达式为：y＝x+4，
设直线 AC 的中点为 M（﹣，4），过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为﹣，同理可得过点 M 与直线 AC 垂直直线的表达式为：y＝﹣x+ …②， ①当 AC＝AQ 时，如图 1，
则 AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则 AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）+n＝25，解得：n＝3 或 4（舍去 4），故点 Q（1，3）；
②当 AC＝CQ 时，如图 1， CQ＝5，则 BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5， 则 QM＝MB＝ 故点 Q（
，
， ）； （舍去）；
，
）；
2
2
③当 CQ＝AQ 时， 联立①②并解得：x＝
故点 Q 的坐标为：Q（1，3）或（
2
（3）设点 P（m，﹣m+m+4），则点 Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN＝ ∵﹣
（﹣ m+ m+4+m﹣4）＝﹣
2
2
m+ m，
＜0，∴PN 有最大值，
．
当 m＝时，PN 的最大值为：
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8. （2019•湖北十堰•10 分）某超市拟于中秋节前 50 天里销售某品牌月饼，其进价为 18 元 /kg．设第 x 天的销售价格为 y（元/kg），销售量为 m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 1≤x≤30 时，y＝40；当 31≤x≤50 时，y 与 x 满足一次函数关系，且当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33．②m 与 x 的关系为 m＝5x+50． （1）当 31≤x≤50 时，y 与 x 的关系式为 ；
（2）x 为多少时，当天的销售利润 W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨 a 元/kg，求 a 的最小值．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1） 依据题意利用待定系数法，易得出当 31≤x≤50 时，y 与 x 的关系式为：y＝
x+55，
（2） 根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 w（元）与销售价 x
（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3） 要使第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则对称轴＝
≥35，求得 a 即可
【解答】解：
（1）依题意，当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33， 当 31≤x≤50 时，设 y＝kx+b， 则有
∴y 与 x 的关系式为：y＝
（2） 依题意，
，解得
x+55
∵W＝（y﹣18）•m ∴
整理得， 当 1≤x≤30 时，
∵W 随 x 增大而增大
∴x＝30 时，取最大值 W＝30×110+1100＝4400
当 31≤x≤50 时， W＝ ∵
x+160x+1850＝ ＜0
2
∴x＝32 时，W 取得最大值，此时 W＝4410
综上所述，x 为 32 时，当天的销售利润 W（元）最大，最大利润为 4410 元
（3） 依题意，
W＝（y+a﹣18）•m＝
∵第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大 ∴对称轴 x＝
＝
≥35，得 a≥3
故 a 的最小值为 3．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
9 （2019•湖北十堰•12 分）已知抛物线 y＝a（x﹣2）+c 经过点 A（2，0）和 C（0，）， 与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D．
（1） 求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；
2
（2） 如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，
则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；
（3） 若点 P 在抛物线上，且
＝m，试确定满足条件的点 P 的个数．
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2） 可能．分三种情形①当 DE＝DF 时，②当 DE＝EF 时，③当 DF＝EF 时，分别求
解即可．
（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD， PH，PB．设 P[n，﹣
2
（n﹣2）+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根
据对称性即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意：
，
解得
，
（x﹣2）+3，
2
∴抛物线的解析式为 y＝﹣∴顶点 D 坐标（2，3）．
（2） 可能．如图 1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当 DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立．
②当 DE＝EF 时， 又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当 DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ∵△AEF∽△BCE ∴ ＝ ＝ ， ∴EB＝ AD＝
，
时，△CFE 为等腰三角形．
答：当 BE 的长为 5 或
（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，
PH，PB．设 P[n，﹣（n﹣2）+3]，
2
则 S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣ （n﹣2）+3]+ ×3×（n﹣2）﹣ ×4 ×3＝﹣ （n﹣4）+ ， ∵﹣ ＜0，
∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为， ∵
＝m，
2
2
∴当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值＝
观察图象可知：当 0＜m＜当 m＝当 m＞
＝ ，
时，满足条件的点 P 的个数有 4 个，
时，满足条件的点 P 的个数有 3 个，
时，满足条件的点 P 的个数有 2 个（此时点 P 在 BD 的左侧）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨
论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属
于中考压轴题．
10.（2019•浙江金华•10 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA， OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横，纵坐标均为整数的点称为好点，点P 为抛物线 y=-（x-m）2+m+2 的顶点。
（1） 当 m=0 时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数。 （2） 当 m=3 时，求该抛物线上的好点坐标。
（3） 若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）给好存在 8 个好点，求 m
的取值范围，
【答案】 （1）解：∵m=0，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2，画出函数图像如图 1，
∵当 x=0 时，y=2；当 x=1 时，y=1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）， ∴好点有：（0，0）5 个. ，（0，1），（0，2），（1，0）和（1，1），共
（2）解：∵m=3，
∴二次函数表达式为：y=-（x-3）2+5，画出函数图像如图 2，
∵当 x=1 时，y=1；当 x=2 时，y=4；当 x=4 时，y=4； ∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1），（2，4）和（4，4）。
（3） 解：∵抛物线顶点P（m，m+2），
∴点P 在直线 y=x+2 上， ∵点P 在正方形内部， ∴0＜m＜2，
3，E（2，1）如图 ，F（2，2），
∴当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外），
当抛物线经过点E（2，1）时， ∴-（2-m）2+m+2=1， 解得：m1=
，m2=
（舍去），
当抛物线经过点F（2，2）时，
∴-（2-m）2+m+2=2， 解得：m3=1，m4=4（舍去），
∴当
≤m＜1 时，顶点P 在正方形 OABC 内，恰好存在 8 个好点.
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将 m=0 代入二次函数解析式得 y=-x2+2，画出函数图像，从图像上可得抛物线经过点（0，2）和（1，1），从而可得好点个数.
（2） 将 m=3 代入二次函数解析式得 y=-（x-3）2+5，画出函数图像，由图像可得抛物线上存在好点以及好点坐标.
（3） 由解析式可得抛物线顶点 P（m，m+2），从而可得点 P 在直线 y=x+2 上，由点 P 在正方形内部，可得 0＜m＜2；结合题意分情况讨论：①当抛物线经过点E（2，1）时，②当抛物线经过点F（2，2）时，将点代入二次函数解析式 ，解之即可得 m 值，从而可得 m 范围.
11.（2019•浙江宁波•10 分）如图，已知二次函数 y＝x2+ax+3 的图象经过点P（﹣2，3）． （1） 求 a 的值和图象的顶点坐标．
（2） 点 Q（m，n）在该二次函数图象上． ①当 m＝2 时，求 n 的值；
②若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围．
【分析】（1）把点 P（﹣2，3）代入 y＝x2+ax+3 中，即可求出a； （2）①把 m＝2 代入解析式即可求 n 的值；
②由点 Q 到 y 轴的距离小于 2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n 即可； 【解答】解：（1）把点 P（﹣2，3）代入 y＝x2+ax+3 中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当 m＝2 时，n＝11， ②点Q 到 y 轴的距离小于 2， ∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2， ∴2≤n＜11；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 12.（2019•浙江衢州•10 分）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的房间数为 60 间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在 170~240 元之间（含 170 元，240 元）浮动时，每天入住的房间数 y（间）与每间标准房的价格 x（元）的数据如下表： x（元） … 190 200 210 220 … y(间) … 65 60 55 50 …
（1） 根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。 （2） 求 y 关于 x 的函数表达式、并写出自变量 x 的取值范围.
（3） 设客房的日营业额为 w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元
时。客房的日营业额最大？最大为多少元？ 【答案】 （1）解：如图所示：
（2）解：设 y=kx+b(k≠0)，
把（200，60)和（220，50)代入， 得 ∴y=
，解得
x+160（170≤x≤240）
x+160)= =160，
y=x· （ （3）解：w=x·∴对称轴为直线x= ∵a=
<0，
x2+160x．
∴在 170≤x≤240 范围内，w 随 x 的增大而减
小． 故当 x=170 时，w 有最大值，最大值为 12750 元
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.（2） 设 y 与 x 的函数表达式为y=kx+b，再从表中选两个点（200，60），（220，50）代入函数解析式，得到一个关于 k、b 的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取w=xy==- 值范围.（3）设日营业额为 w，由 案.
13（2019，山东淄博，9 分）如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0），B
（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1） 求这条抛物线对应的函数表达式；
x2+160x，再由二次函数图像性质即可求得答
2
（2） 问在 y 轴上是否存在一点 P，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；
若不存在，说明理由．
（3） 若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA＝OA，过 D 作 DG⊥x 轴于点 G， 设△ADG 的内心为 I，试求 CI 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
（2） 用配方法求抛物线顶点 M，求 AM，设点 P 坐标为（0，p），用 p 表示 AP和 MP．△
2
2
2
PAM 为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得 p 的值即求得点 P 坐标．
（3） 由点 I 是△ADG 内心联想到过点 I 作△ADG 三边的垂线段 IE.IF、IH，根据内心到
三角形三边距离相等即有 IE＝IF＝IH．此时以点 I 为圆心、IE 为半径长的⊙I 即为△ADG 内切圆，根据切线长定理可得 AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点 I 坐标为（m，n）， 可用含 m、n 的式子表示 AG、DG 的长，又由 DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于 m、 n 的方程．化简再配方后得到式子：（m﹣）+（n+）＝，从图形上可理解为点 I （m，n）与定点 Q（，﹣ ）的距离为 I 在 CQ 连线上时，CI 最短．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax+bx+3 过点 A（3，0），B（﹣1，0） ∴
解得：
2
2
2
2
，所以点 I 的运动轨迹为圆弧．所以当点
∴这条抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣x+2x+3
（2） 在 y 轴上存在点 P，使得△PAM 为直角三角形．
∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4 ∴顶点 M（1，4） ∴AM＝（3﹣1）+4＝20 设点 P 坐标为（0，p）
∴AP＝3+p＝9+p，MP＝1+（4﹣p）＝17﹣8p+p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
若∠PAM＝90°，则 AM+AP＝MP
∴20+9+p＝17﹣8p+p
解得：p＝﹣
2
2
22
2
∴P（0，﹣ ）
222
②若∠APM＝90°，则 AP+MP＝AM ∴9+p+17﹣8p+p＝20 解得：p1＝1，p2＝3
∴P（0，1）或（0，3）
③若∠AMP＝90°，则 AM+MP＝AP∴20+17﹣8p+p＝9+p
2
2
2
2
2
2
2
解得：p＝
∴P（0， ）
综上所述，点 P 坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0， ）时，△PAM 为直角三角形．
（3） 如图，过点 I 作 IE⊥x 轴于点 E，IF⊥AD 于点 F，IH⊥DG 于点 H
∵DG⊥x 轴于点 G
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°
∴四边形 IEGH 是矩形
∵点 I 为△ADG 的内心
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG
∴矩形 IEGH 是正方形设点 I 坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m
∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m
∵DA＝OA＝3
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m
∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG+AG＝DA
22
2
2
2
2
2 2
2
∴（m+n）+（n+3﹣m）＝3
2
∴化简得：m﹣3m+n+3n＝0 配方得：（m﹣）+（n+）＝
∴点 I（m，n）与定点 Q（，﹣ ）的距离为
∴点 I 在以点 Q（，﹣ ）为圆心，半径为 ∴当点 I 在线段 CQ 上时，CI 最小
的圆在第一象限的弧上运动
∵CQ＝
∴CI＝CQ﹣IQ＝
∴CI 最小值为 ．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第 （3）题的解题关键是由点 I 是内心用内心性质和切线长定理列式求得点 I 坐标的特征式子，转化到点 I 到定点 Q 的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．
14.（2019•江苏连云港•12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：y＝x+bx+c 过点 C（0，﹣3），与抛物线 L2：y＝﹣x﹣x+2 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1.L2 上的动点． （1） 求抛物线 L1 对应的函数表达式；
（2） 若以点 A.C.P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标；
2
2
（3） 设点 R 为抛物线 L1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR．若 OQ∥PR，求出点 Q 的
坐标．
【分析】（1）先求出 A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2） 设点 P 的坐标为（x，x﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，
2
AC 为平行四边形的一条对角线，用 x 表示出 Q 点坐标，再把 Q 点坐标代入抛物线 L2：y ＝﹣ x﹣ x+2 中，列出方程求得解便可；
（3） 当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR，当点 P 在 y 轴
2
右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方，过点 P、R 分别作 y 轴的垂线， 垂足分别为 S、T，过点 P 作 PH⊥TR 于点 H，设点 P 坐标为（x1，），点 R 坐标为（x2，
），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到 x1+x2＝4，进而得 tan
），由 tan
∠PRH 的值，过点 Q 作 QK⊥x 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m，
∠QOK＝tan∠PRH，移出 m 的方程，求得 m 便可．
【解答】解：（1）将 x＝2 代入 y＝﹣x﹣x+2，得 y＝﹣3，故点 A 的坐标为（2，﹣3），将 A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入 y＝x+bx+c，得
，解得
∴抛物线 L1：y＝x﹣2x﹣3；
2
22
，
（2） 设点 P 的坐标为（x，x﹣2x﹣3），
2
第一种情况：AC 为平行四边形的一条边， ①当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将 Q（x+2，﹣2x﹣3）代入 y＝﹣x﹣ x+2，得 ﹣2x﹣3＝﹣ （x+2）﹣ （x+2）+2， 解得，x＝0 或 x＝﹣1，
2
2
因为 x＝0 时，点 P 与 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（﹣1，0）； ②当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为（x﹣2，x﹣2x﹣3）， 将 Q（x﹣2，x﹣2x﹣3）代入 y＝﹣x﹣ x+2， 得y＝﹣ x﹣ x+2，
得 x﹣2x﹣3＝﹣ （x﹣2）﹣ （x﹣2）+2， 解得，x＝3，或 x＝﹣，
此时点 P 的坐标为（3，0）或（﹣ ， ）； 第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时，
2
22
2
22
由 AC 的中点坐标为（1，﹣3），得 PQ 的中点坐标为（1，﹣3），故点 Q 的坐标为（2﹣x，﹣x+2x﹣3），
将 Q（2﹣x，﹣x+2x﹣3）代入 y＝﹣x﹣ x+2，得 ﹣x+2x﹣3═﹣ （2﹣x）﹣ （2﹣x）+2，
解得，x＝0 或 x＝﹣3，
因为 x＝0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（﹣3，12）， 综上所述，点 P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，
）或（﹣3，12）；
2
2
2
2
2
（3） 当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR，
当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T，
过点 P 作 PH⊥TR 于点 H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°， 由 CA 平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴
，
），点 R 坐标为（x2，
），
设点 P 坐标为（x1，
所以有
，
整理得，x1+x2＝4，
在 Rt△PRH 中，tan∠PRH＝
＝
），
过点 Q 作 QK⊥x 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m，若 OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以 tan∠QOK＝tan∠PRH＝2， 所以 2m＝ 解得，m＝ 所以点 Q 坐标为（
，
，﹣7+
）或（
，﹣7﹣
）．
，
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究， 突破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角形， 用相似三角形的相似比列方程．
15.（2019•浙江嘉兴•12 分）某农作物的生长率p 与温度 t（℃）有如下关系：如图 1，当 10 ≤t≤25 时可近似用函数p＝
2
t﹣ 刻画；当 25≤t≤37 时可近似用函数 p＝﹣ （t
﹣h）+0.4 刻画． （1） 求 h 的值．
（2） 按照经验，该作物提前上市的天数 m（天）与生长率 p 满足函数关系： 生长率 p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数 m（天） 0 5 10 15 ①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含 t 的代数式表示m．
（3） 天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200 元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加 600 元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 w（元）与大棚温度 t（℃）之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
【分析】（1）把（25，0.3）代入 p＝﹣②当 10≤t≤25 时，p＝
（t﹣h）+0.4，解方程即可得到结论；
t﹣ ）﹣20＝2t﹣40；当 25≤t≤
2
2
2
（2）①由表格可知，m 是p 的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；
t﹣ ，求得 m＝100（
37 时，根据题意即可得到m＝100[﹣ （t﹣h）+0.4]﹣20＝﹣ （t﹣29）+20；
（3）（Ⅰ）当 20≤t≤25 时，（Ⅱ）当 25≤t≤37 时，w＝300，根据二次函数的性质即可 得到结论．
【解答】解：（1）把（25，0.3）代入 p＝﹣h）+0.4，
解得：h＝29 或h＝21， ∵h＞25， ∴h＝29；
（2）①由表格可知，m 是p 的一次函数， ∴m＝100p﹣20； ②当 10≤t≤25 时，p＝∴m＝100（
t﹣ ，
2
（t﹣h）+0.4 得，0.3＝﹣
2
（25﹣
t﹣ ）﹣20＝2t﹣40；
（t﹣h）+0.4，
2
2
2
当 25≤t≤37 时，p＝﹣∴m＝100[﹣
（t﹣h）+0.4]﹣20＝﹣ （t﹣29）+20；
（3）（Ⅰ）当 20≤t≤25 时， 由（20，200），（25，300），得 w＝20t﹣200，
2
∴增加利润为 600m+[200×30﹣w（30﹣m）]﹣40t﹣600t﹣4000， ∴当 t＝25 时，增加的利润的最大值为 6000 元； （Ⅱ）当 25≤t≤37 时，w＝300，
增加的利润为 600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝900×（﹣）×（t﹣29）+15000＝﹣ （t﹣29）+15000；
∴当 t＝29 时，增加的利润最大值为 15000 元，
综上所述，当 t＝29 时，提前上市 20 天，增加的利润最大值为 15000 元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围． 16 （2019•湖北天门•11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：y＝ax+2x﹣1（a≠0） 和直线 l：y＝kx+b，点 A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线 l 上． （1） 若抛物线 C 与直线 l 有交点，求 a 的取值范围；
（2） 当 a＝﹣1，二次函数 y＝ax+2x﹣1 的自变量 x 满足 m≤x≤m+2 时，函数 y 的最大
2
2
2
2
值为﹣4，求 m 的值；
（3） 若抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点，请直接写出 a 的取值范围．
【分析】（1）点 A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入 y＝kx+b，求出 y＝x﹣；联立 y＝ ax+2x﹣1 与 y＝x﹣ ，则有 2ax+3x+1＝0，△＝9﹣8a≥0 即可求解；
（2）根据题意可得，y＝﹣x+2x﹣1，当 y＝﹣4 时，有﹣x+2x﹣1＝﹣4，x＝﹣1 或 x＝ 3；①在 x＝1 左侧，y 随 x 的增大而增大，x＝m+2＝﹣1 时，y 有最大值﹣4，m＝﹣3； ②在对称轴 x＝1 右侧，y 随 x 最大而减小，x＝m＝3 时，y 有最大值﹣4； （3））①a＜0 时，x＝1 时，y≤﹣1，即 a≤﹣2； ②a＞0 时，x＝﹣3 时，y≥﹣3，即 a≥，直线 AB 的解析式为 y＝x﹣ ，抛物线与直线联立：ax+2x﹣1＝ x﹣ ，△＝ ﹣2a＞0，则 a＜，即可求 a 的范围； 【解答】解：（1）点 A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入 y＝kx+b， ∴
，
2
2
2
2
2
∴
，
∴y＝ x﹣ ；
联立 y＝ax+2x﹣1 与 y＝x﹣ ，则有 2ax+3x+1＝0， ∵抛物线 C 与直线 l 有交点，
22
∴△＝9﹣8a≥0， ∴a≤ 且 a≠0；
（2）根据题意可得，y＝﹣x+2x﹣1， ∵a＜0，
2
∴抛物线开口向下，对称轴 x＝1，
∵m≤x≤m+2 时，y 有最大值﹣4， ∴当 y＝﹣4 时，有﹣x+2x﹣1＝﹣4， ∴x＝﹣1 或 x＝3，
2
①在 x＝1 左侧，y 随 x 的增大而增大， ∴x＝m+2＝﹣1 时，y 有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴 x＝1 右侧，y 随 x 最大而减小， ∴x＝m＝3 时，y 有最大值﹣4； 综上所述：m＝﹣3 或 m＝3；
（3）①a＜0 时，x＝1 时，y≤﹣1， 即 a≤﹣2；
②a＞0 时，x＝﹣3 时，y≥﹣3， 即 a≥，
直线 AB 的解析式为 y＝x﹣ ， 抛物线与直线联立：ax+2x﹣1＝ x﹣ ， ∴ax+ x+ ＝0， △＝ ﹣2a＞0，
2
2
∴a＜ ，
∴a 的取值范围为≤a＜ 或 a≤﹣2；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
17 （2019•湖北武汉•10 分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表：
售价 x（元/件）
周销售量 y（件） 周销售利润 w（元） 50 100 1000 60 80 1600 80 40 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1） ①求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 40 元/件；当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800 元．
（2） 由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得
超过 65 元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系． 若周销售最大利润是 1400 元，求 m 的值．
【分析】（1）①依题意设 y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
②该商品进价是 50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润 w＝ax+bx+c：解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x+（280+2m）x﹣800﹣200m， 由于对称轴是 x＝
，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①依题意设 y＝kx+b，则有
解得：
2
2
所以 y 关于 x 的函数解析式为 y＝﹣2x+200；
②该商品进价是 50﹣1000÷100＝40， 设每周获得利润 w＝ax+bx+c： 则有 ，
2
解得：
，
∴w＝﹣2x+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）+1800，
∴当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元； 故答案为：40，70，1800；
22
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x+（280+2m）x﹣800﹣200m，
2
∵对称轴 x＝∴①当
，
＜65 时（舍），②当
≥65 时，x＝65 时，w 求最大值 1400，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意： 数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商 品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
2
2
18 （2019•湖北武汉•12 分）已知抛物线 C1：y＝（x﹣1）﹣4 和 C2：y＝x（1） 如何将抛物线 C1 平移得到抛物线 C2？
（2） 如图 1，抛物线 C1 与 x 轴正半轴交于点 A，直线 y＝﹣x+b 经过点 A，交抛物线
C1 于另一点 B．请你在线段 AB 上取点 P，过点 P 作直线 PQ∥y 轴交抛物线 C1 于点 Q， 连接 AQ．
①若 AP＝AQ，求点 P 的横坐标；
②若 PA＝PQ，直接写出点 P 的横坐标．
（3） 如图 2，△MNE 的顶点 M、N 在抛物线 C2 上，点 M 在点 N 右边，两条直线ME.NE与抛物线 C2 均有唯一公共点，ME.NE 均与 y 轴不平行．若△MNE 的面积为 2， 设 M、N两点的横坐标分别为 m、n，求 m 与 n 的数量关系．
【分析】（1）y＝（x﹣1）﹣4 向左评移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度即可得到 y＝x；
（2）易求点 A（3，0），b＝4，联立方程﹣x+4＝（x﹣1）﹣4，可得 B（﹣，设 P（t，﹣t+4），Q（t，t﹣2t﹣3），
①当 AP＝AQ 时，则有﹣4+t＝t﹣2t﹣3，求得 t＝；
②当 AP＝PQ 时，PQ＝t+t+7，PA＝（3﹣t），则有 t+t+7＝（3﹣t），求得 t＝ ﹣ ；
（3）设经过 M 与 N 的直线解析式为 y＝k（x﹣m）+m，
2
2
2
2
2
2
2
2
）；
∴
，则可知△＝k﹣4km+4m＝（k﹣2m）＝0，求得 k＝2m，
2
2
2
2
2
求出直线 ME 的解析式为 y＝2mx﹣m，直线 NE 的解析式为 y＝2nx﹣n，则可求 E（mn），
再由面积 [（n﹣mn）+（m﹣mn）]×（m﹣n）﹣ （n﹣mn）×（ ﹣mn）×（m﹣
2
2
2
2
，
2
﹣n）﹣ （m
）＝2，可得（m﹣n）＝8，即可求解；
2
3
【解答】解：（1）y＝（x﹣1）﹣4 向左评移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度即可得到 y＝x；
（2）y＝（x﹣1）﹣4 与 x 轴正半轴的交点 A（3，0），
2
∵直线 y＝﹣x+b 经过点 A， ∴b＝4， ∴y＝﹣ x+4，
y＝﹣ x+4 与 y＝（x﹣1）﹣4 的交点为﹣ x+4＝（x﹣1）﹣4 的解， ∴x＝3 或 x＝﹣， ∴B（﹣ ， ），
设 P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3， ∵PQ∥y 轴， ∴Q（t，t﹣2t﹣3）， ①当 AP＝AQ 时， |4﹣ t|＝|t﹣2t﹣3|， 则有﹣4+ t＝t﹣2t﹣3， ∴t＝ ，
∴P 点横坐标为； ②当 AP＝PQ 时，
PQ＝t+t+7，PA＝（3﹣t）， ∴t+ t+7＝ （3﹣t），
2
2
222
2
2
∴t＝﹣ ；
∴P 点横坐标为﹣；
（3）设经过 M 与 N 的直线解析式为 y＝k（x﹣m）+m，
2
∴
2
，
2
则有 x﹣kx+km﹣m＝0，
△＝k﹣4km+4m＝（k﹣2m）＝0， ∴k＝2m，
直线 ME 的解析式为 y＝2mx﹣m，直线 NE 的解析式为 y＝2nx﹣n， ∴E（，mn）， ∴ [（n﹣mn）+（m﹣mn）]×（m﹣n）﹣ （n﹣mn）×（ ×（m﹣
22
2
2
2
2
2
2
2
﹣n）﹣ （m﹣mn）
2
）＝2，
＝4，
∴（m﹣n）﹣ ∴（m﹣n）＝8， ∴m﹣n＝2；
3
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决 m 与 n 的关系的关键．
19 （2019•湖北孝感•13 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax﹣2ax﹣ 8a 与 x 轴相交于 A.B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，﹣4）．
2
（1）点 A 的坐标为 （﹣2，0） ，点 B 的坐标为 （4，0） ，线段 AC 的长为 2
，
抛物线的解析式为 y＝
2
． 4 x﹣x﹣
（2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点．
①如果在 x 轴上存在点 Q，使得以点 B.C.P、Q 为顶点的四边形是平行四边形．求点 Q
的坐标．
②如图 2，过点 P 作 PE∥CA 交线段 BC 于点 E，过点 P 作直线 x＝t 交 BC 于点 F，交 x
轴于点 G，记 PE＝f，求 f 关于 t 的函数解析式；当 t 取 m 和 4﹣ m（0＜m＜2）时，试
比较 f 的对应函数值 f1 和 f2 的大小．
【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故 a＝，即可求解；
（2） 分 BC 是平行四边形的一条边时、BC 是平行四边形的对角线时，两种情况分别求
解即可．
（3） 证明△EPH∽△CAO，∴
，即： ，则 EP＝PH，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故 a＝，故抛物线的表达式为：y＝ x﹣x﹣4，
令 y＝0，则 x＝4 或﹣2，即点 A.B 的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则 AC＝2， 故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2
2
、y＝x﹣x﹣4；
2
（2） ①当 BC 是平行四边形的一条边时，
如图所示，点 C 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 B， 设：点 P（n，n﹣n﹣4），点 Q（m，0），
则点 P 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 Q， 即：n+4＝m， n﹣n﹣4+4＝0， 解得：m＝4 或 6（舍去 4）， 即点 Q（6，0）；
2
2
②当 BC 是平行四边形的对角线时，
设点 P（m，n）、点 Q（s，0），其中 n＝m﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4， 解得：s＝2 或 4（舍去 4），故点 Q（2，0）； 故点 Q 的坐标为（2，0）或（6，0）；
2
（3） 如图 2，过点 P 作 PH∥x 轴交 BC 于点 H，
∵GP∥y 轴，∴∠HEP＝∠ACB，
∵PH∥x 轴，∴∠PHO＝∠AOC， ∴△EPH∽△CAO，∴ 则 EP＝
PH，
，即：
，
设点 P（t，yP），点 H（xH，yP），则 t﹣t﹣4＝xH﹣4，
2
则 xH＝ t﹣t， f＝当 t＝m 时，f1＝
2
2
PH＝[t﹣（t﹣t）]＝﹣
2
（t﹣4t），
2
（m﹣4m），
（m﹣2m），
2
当 t＝4﹣m 时，f2＝﹣则 f1﹣f2＝﹣
m（m﹣ ），
则 0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0， f1＞f2．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏． 20.（2019，四川巴中，12 分）如图，抛物线 y＝ax+bx﹣5（a≠0）经过 x 轴上的点 A（1， 0）和点 B 及 y 轴上的点 C，经过 B.C 两点的直线为 y＝x+n．
2
①求抛物线的解析式．
②点 P 从 A 出发，在线段 AB 上以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，同时点 E 从 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 2 个单位的速度向 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，过抛物线上一动点 N（不与点 B.C 重合）作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q．若点 A.M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的横坐标．
【分析】①点 B.C 在直线为 y＝x+n 上，则 B（﹣n，0）、C（0，n），点 A（1，0）在抛
物线上，所以 ，解得 a＝﹣1，b＝6，因此抛物线解析式：y＝﹣x+6x﹣5；
2
②先求出点 P 到 BC 的高 h 为 BPsin45°＝
＝
（4﹣t），于是 S△PBE＝BE•h＝
，当 t＝2 时，△PBE 的面积最大，最大值为
，过点 N 作
2 ；
③由①知，BC 所在直线为：y＝x﹣5，所以点 A 到直线 BC 的距离 d＝2
2
x 轴的垂线交直线 BC 于点 P，交 x 轴于点 H．设 N（m，﹣m+6m﹣5），则 H（m，0）、 P（m，m﹣5），易证△PQN 为等腰直角三角形，即 NQ＝PQ＝2，PN＝4，Ⅰ．NH+HP ＝4，所以﹣m+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4 解得 m1＝1（舍去），m2＝4，Ⅱ．NH+HP＝4，m ﹣5﹣（﹣m+6m﹣5）＝4 解得 m1＝
2
22
，m2＝（舍去），Ⅲ．NH﹣HP＝4， （舍去），m2＝
．
﹣（﹣m+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，解得 m1＝【解答】解：①∵点 B.C 在直线为 y＝x+n 上， ∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点 A（1，0）在抛物线上，
∴
，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴抛物线解析式：y＝﹣x+6x﹣5；
2
②由题意，得， PB＝4﹣t，BE＝2t，
由①知，∠OBC＝45°， ∴点 P 到 BC 的高 h 为 BPsin45°＝∴S△PBE＝ BE•h＝
（4﹣t）， ＝
；
，
当 t＝2 时，△PBE 的面积最大，最大值为 2 ③由①知，BC 所在直线为：y＝x﹣5， ∴点 A 到直线 BC 的距离 d＝2，
过点 N 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 P，交 x 轴于点 H． 设 N（m，﹣m+6m﹣5），则 H（m，0）、P（m，m﹣5），易证△PQN 为等腰直角三角形，即 NQ＝PQ＝2， ∴PN＝4，
Ⅰ．NH+HP＝4，
∴﹣m+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4 解得 m1＝1，m2＝4，
∵点 A.M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
2
2
∴m＝4；
Ⅱ．NH+HP＝4，
∴m﹣5﹣（﹣m+6m﹣5）＝4 解得 m1＝
2
，m2＝ ，
∵点 A.M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形， m＞5， ∴m＝
2
，
Ⅲ．NH﹣HP＝4，
∴﹣（﹣m+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4， 解得 m1＝
，m2＝ ，
∵点 A.M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形， m＜0， ∴m＝
，
综上所述，若点 A.M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点 N 的横坐标为：4 或 或
【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．(2019 安徽)（12 分）一次函数 y＝kx+4 与二次函数 y＝ax2+c 的图象的一个交点坐标为 （1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1） 求 k，a，c 的值；
（2） 过点 A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y＝ax2+c 的图象相交
于 B，C 两点，点 O 为坐标原点，记 W＝OA2+BC2，求 W 关于 m 的函数解析式，并求 W 的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入 y＝kx+4，可求得 k，由 y＝ax2+c 可知，二次函数
的顶点在 y 轴上，即 x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求 c 值，最后可求 a 的值
（2）由（1）得二次函数解析式为 y＝﹣2x2+4，令 y＝m，得 2x2+m﹣4＝0，可求 x 的值， 再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝﹣2，解得 k＝﹣2，又∵二次函数顶点为（0，4）， ∴c＝4
把（1，2）带入二次函数表达式得 a+c＝2，解得 a＝﹣2
（2）由（1）得二次函数解析式为 y＝﹣2x2+4，令 y＝m，得 2x2+m﹣4＝0 ∴
，设 B，C 两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则
，
∴W＝OA2+BC2＝
∴当 m＝1 时，W 取得最小值 7
【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问
题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．
22．(2019 甘肃省陇南市)（12 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+4 交 x 轴于 A（﹣3，0），B（4， 0） 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为m．
（1） 求此抛物线的表达式；
（2） 过点P 作PM⊥x 轴，垂足为点M，PM 交 BC 于点Q．试探究点P 在运动过程中，
是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3） 过点P 作PN⊥BC，垂足为点 N．请用含 m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当
m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2） 分 AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ 三种情况，分别求解即可； （3） 由 PN＝PQsin∠PQN＝
（﹣ m2+ m+4+m﹣4）即可求解．
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）， 即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣ ， 则抛物线的表达式为 y＝﹣x2+ x+4； （2）存在，理由：
点 A.B.C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则 AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B.C 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线 AC 的表达式为：y＝x+4，
设直线 AC 的中点为 M（﹣，4），过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为﹣，同理可得过点 M 与直线 AC 垂直直线的表达式为：y＝﹣ x+ …②，
①当 AC＝AQ 时，如图 1，
则 AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则 AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3 或 4（舍去 4），故点Q（1，3）；
② 当 AC＝CQ 时 ， 如 图 1， CQ＝5，则 BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5， 则 QM＝MB＝故点Q（
，
， ）； （舍去）；
，
）；
③当 CQ＝AQ 时， 联立①②并解得：x＝
故点Q 的坐标为：Q（1，3）或（
（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点 Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN＝ ∵﹣
（﹣ m2+ m+4+m﹣4）＝﹣
m2+
m，
＜0，∴PN 有最大值，
．
当 m＝时，PN 的最大值为：
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23、 （2019•山东省聊城市•12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣2，0），点 B（4，0），与 y 轴交于点 C（0，8），连接 BC，又已知位于 y轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B（不含 O 点和 B 点），且分别交抛物线、线段 BC 以及 x 轴于点 P，D，E．
2
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 连接 AC，AP，当直线 l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点 P 的坐标；
（3） 作 PF⊥BC，垂足为 F，当直线 l 运动时，求Rt△PFD 面积的最大值．
【考点】二次函数
【分析】（1）将点 A.B.C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2） 只有当∠PEA＝∠AOC 时，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，设点 P 坐标（4k﹣2，
k），即可求解；
（3） 利用 Rt△PFD∽Rt△BOC 得：
＝ PD，再求出 PD 的最大值，
2
即可求解．
： 【解答】解：（1）将点 A.B.C 的坐标代入二次函数表达式得
： ，解得
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x+2x+8； （2）∵点 A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，
2
∵l⊥x 轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC 时，PEA△∽AOC，
此时
，即： ，
∴AE＝4PE，
设点 P 的纵坐标为 k，则 PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，
将点 P 坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得： k＝0 或则点 P（
（舍去 0），， ）；
（3）在 Rt△PFD 中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y 轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，
∴
，
∴S△PDF＝ 而 S
△BOC
•S△BOC，
＝16，BC＝
2
＝OB•OC＝ ＝4 ，
∴S△PDF＝ •S△BOC＝ PD，
即当 PD 取得最大值时，S△PDF 最大， 将 B.C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点 P（m，﹣m+2m+8），则点 D（m，﹣2m+8）， 则 PD＝﹣m+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）+4， 当 m＝2 时，PD 的最大值为 4， 故当 PD＝4 时，∴S△PDF＝PD＝ ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2
2
2
2
24 (2019 甘肃省天水市)天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/件，已知 销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现， 该商品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1） 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2） 求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 y=kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：错误！未找到引用源。， 解得：错误！未找到引用源。，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y=-x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y =（x-10）（-x+40） =-x2+50x-400
=-（x-25）2+225， ∵a=-1＜0，
∴当 x＜25 时，W 随 x 的增大而增大， ∵10≤x≤16，
∴当 x=16 时，W 取得最大值，最大值为 144，
答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元． 【解析】
（1） 利用待定系数法求解可得 y 关于 x 的函数解析式；
销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利（2） 根据“总利润=每件的利润×
用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析
式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
25 （2019•湖南衡阳•10 分）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）
和点 B（3，0），与 y 轴交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E． （1） 求该抛物线的函数关系表达式；
（2） 当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大
值？并求出这个最大值；
（3） 在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 A.B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2） 设 OP＝x，则 PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP 得出比例线段，可表示 OE 的长，利
用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；
（3） 过点 M 作 MH∥y 轴交 BN 于点 H，由 S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝
即可求解．
【解答】解：（1））∵抛物线 y＝x+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）， 把 A.B 两点坐标代入上式，解得：
，
2
2
，
故抛物线函数关系表达式为 y＝x﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点 B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形 ABCD 中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，
∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP， ∴ ∴
， ，
设 OP＝x，则 PB＝3﹣x，
∴OE＝ ∵0＜x＜3， ∴
，
时，线段 OE 长有最大值，最大值为
． 即 OP＝时，线段 OE 有最大值．最大值是
．
（3）存在．
如图，过点 M 作 MH∥y 轴交 BN 于点 H，
∵抛物线的解析式为 y＝x﹣2x﹣3，
2
∴x＝0，y＝﹣3，
∴N 点坐标为（0，﹣3），
设直线 BN 的解析式为 y＝kx+b，
∴ ， ，
∴
∴直线 BN 的解析式为 y＝x﹣3， 设 M（a，a﹣2a﹣3），则 H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a﹣2a﹣3）＝﹣a+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝ ＝
2
2
2
＝
，
∵
，
，此时 M 点的坐标为（
）．
∴a＝ 时，△MBN 的面积有最大值，最大值是
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
26 （2019•甘肃•10 分）如图，已知二次函数 y＝x+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）、B （3，0），与 y 轴交于点 C．
2
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点 P 为抛物线上的一点，点 F 为对称轴上的一点，且以点 A.B.P、F 为顶点的四
边形为平行四边形，求点 P 的坐标；
（3） 点 E 是二次函数第四象限图象上一点，过点 E 作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 D，
求四边形 AEBD 面积的最大值及此时点 E 的坐标．
【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2） 分当 AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可； （3） 利用 S 四边形 AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x﹣4x+3；
（2） ①当 AB 为平行四边形一条边时，如图 1，
2
2
则 AB＝PE＝2，
则点 P 坐标为（4，3），
当点 P 在对称轴左侧时，即点 C 的位置，点 A.B.P、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点 P（4，3）或（0，3）；
②当 AB 是四边形的对角线时，如图 2，
AB 中点坐标为（2，0）
设点 P 的横坐标为 m，点 F 的横坐标为 2，其中点坐标为：即：
，
＝2，解得：m＝2，
故点 P（2，﹣1）；
故：点 P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3） 直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，
设点 E 坐标为（x，x﹣4x+3），则点 D（x，﹣x+3）， S 四边形 AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x+4x﹣3＝﹣x+3x， ∵﹣1＜0，故四边形 AEBD 面积有最大值， 当 x＝，其最大值为 ，此时点 E（ ，﹣ ）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2
2
2
27. （2019•广东深圳•9 分）如图所示抛物线 y ax bx c 过点 A（-1，0），点 C（0，3），且 OB=OC
（1） 求抛物线的解析式及其对称轴；
2
（2） 点 D，E 在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE
的周长的最小值，
（3） 点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3∶5 两部分，
求点P 的坐标.
【考点】一次函数、二次函数综合、线段和最值，面积比例等.
【答案】
28.（2019•广西贵港•11 分）如图，已知抛物线 y＝ax+bx+c 的顶点为 A（4，3），与 y 轴
相交于点 B（0，﹣5），对称轴为直线 l，点 M 是线段 AB 的中点． （1） 求抛物线的表达式；
2
（2） 写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式；
（3） 设动点 P，Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A，P，Q，M 为顶点的四边形是平
行四边形时，求 P，Q 两点的坐标．
【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）+3，将点 B 坐标代入上式，即可求解；
2
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点 M（2，﹣1），设直线 AB 的表达式为：y＝kx﹣5，将点 A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当 AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）+3， 将点 B 坐标代入上式并解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x+4x﹣5； （2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点 M（2，﹣1），设直线 AB 的表达式为：y＝kx﹣5，
2
2
将点 A 坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2， 故直线 AB 的表达式为：y＝2x﹣5；
（3）设点 Q（4，s）、点 P（m，﹣m+4m﹣5）， ①当 AM 是平行四边形的一条边时，
点 A 向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 M，
同样点 P（m，﹣m+4m﹣5）向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 Q（4，s），即：m﹣2＝4，﹣ m+4m﹣5﹣4＝s， 解得：m＝6，s＝﹣3，
2
2
2
故点 P、Q 的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）；
②当 AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣ m+4m﹣5+s， 解得：m＝2，s＝1， 故点 P、Q 的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
2
故点 P、Q 的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，﹣3）或（4，1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏．
29.（2019•湖南岳阳•10 分）如图 1，△AOB 的三个顶点 A.O、B 分别落在抛物线 F1：y＝
x+x 的图象上，点 A 的横坐标为﹣4，点 B 的纵坐标为﹣2．（点 A 在点 B 的左侧）
（1） 求点 A.B 的坐标；
（2） 将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A'OB'，抛物线 F2：y＝ax+bx+4 经过 A'、
2
2
B'两点，已知点 M 为抛物线 F2 的对称轴上一定点，且点 A'恰好在以 OM 为直径的圆上， 连接 OM、A'M，求△OA'M 的面积；
（3） 如图 2，延长 OB'交抛物线 F2 于点 C，连接 A'C，在坐标轴上是否存在点 D，使得以 A.O、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似．若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 x＝﹣4 代入抛物线 F1 解析式求得 y 即得到点 A 坐标；把 y＝﹣2 代入抛物线 F1 解析式，解方程并判断大于﹣4 的解为点 B 横坐标．
（2） 根据旋转 90°的性质特点可求点 A'、B'坐标（过点作 x 轴垂线，构造全等得到对应边相等）及 OA'的长，用待定系数法求抛物线 F2 的解析式，进而求得对称轴．设点 M 纵坐标为 m，则能用 m 表示 A'M、OM 的长度．因为点 A'恰好在以 OM 为直径的圆上，即 ∠OA'M 为圆周角，等于 90°，故能根据勾股定理列得关于 m 的方程，解方程求得 m 的 值即求得 A'M 的长，OA'•A'M 即求得△OA'M 的面积．
（3） 求直线 OB'解析式，与抛物线 F2 解析式联立方程组，求解即求得点 C 坐标，发现
A'与 C 纵坐标相同，即 A'C∥x 轴，故∠OA'C＝135°．以 A.O、D 为顶点的三角形要与
△OA'C 相似，则△AOD 必须有一角为 135°．因为点 A（﹣4，﹣4）得直线 OA 与 x 轴夹角为 45°，所以点 D 不能在 x 轴或 y 轴的负半轴，在 x 轴或 y 轴的正半轴时，刚好有 ∠AOD＝135°．由于∠AOD 的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD
∽△OA'C 或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得 OD 的长，即得到点 D
坐标．
【解答】解：（1）当 x＝﹣4 时，y＝×（﹣4）+×（﹣4）＝﹣4 ∴点 A 坐标为（﹣4，﹣4） 当 y＝﹣2 时，x+ x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点 A 在点 B 的左侧
2
2
∴点 B 坐标为（﹣1，﹣2）
（2） 如图 1，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，过点 B'作 B'G⊥x 轴于点 G
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2
∵将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A'OB'
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°
∴∠B'OG＝∠OBE
在△B'OG 与△OBE 中
∴△B'OG≌△OBE（AAS）
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1
∵点 B'在第四象限
∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4）
∴OA＝OA'＝
2
∵抛物线 F2：y＝ax+bx+4 经过点 A'、B'
∴
解得：
2
∴抛物线 F2 解析式为：y＝x﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣
＝6
∵点 M 在直线 x＝6 上，设 M（6，m）
∴OM＝6+m，A'M＝（6﹣4）+（m+4）＝m+8m+20 ∵点 A'在以 OM 为直径的圆上
2222222
∴∠OA'M＝90° ∴OA'+A'M＝OM∴（4
2
2
2
2
2
2
）+m+8m+20＝36+m
解得：m＝﹣2
∴A'M＝
∴S△OA'M＝ OA'•A'M＝
＝8
（3） 在坐标轴上存在点 D，使得以 A.O、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似．
∵B'（2，﹣1）
∴直线 OB'解析式为 y＝﹣x
解得：
（即为点 B'）
∴C（8，﹣4）
∵A'（4，﹣4）
∴A'C∥x 轴，A'C＝4
∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线 OA 与 x 轴夹角为 45°
∴当点 D 在 x 轴负半轴或 y 轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD 不可能与△OA'C 相似
∴点 D 在 x 轴正半轴或 y 轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图 2.图 3） ①若△AOD∽△OA'C，则 ∴OD＝A'C＝4
＝1
∴D（4，0）或（0，4）
②若△DOA∽△OA'C，则
∴OD＝ OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点 D 坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以 A.O、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质， 勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第 （2）题求点旋转 90°后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．
二次函数-综合题（二）
一．解答题（共40小题）
1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是： ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
﹣
的值；
2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设k＝
，当k为何值时，CF＝AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点． （1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范
围．
5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝
）
7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧） （1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积； （3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒． ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．
14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点． （1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N． （1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC． ①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围； ②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；
③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动
点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式； ②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM．
22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0） （1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若
＝
，求二次函数的表达式．
23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求b，c的值；
（2）直线1与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．
30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点
N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0． （1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移
个单位得到点Q，
连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE； ②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝
，∠CAE＝∠OBE时，求
﹣
的值．
40．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点
D的坐标． 【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
参与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 36 ；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是： 0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
﹣
的值；
【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6， ∴正方形面积为36；
有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0； 故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4， 当m＝﹣1，yQ最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4）， 当m＜﹣1时，yQ随m的增大而增大，当m＝﹣2时，yQ最小＝3， 当m＞﹣1时，yQ随m的增大而减小，当m＝4时，yQ最小＝﹣21， ∴3＞﹣21，
∴yQ最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），
∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）； ②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4， ∴N（4，1），
∵顶点P（m，n）在边BC上， ∴n＝﹣2，
∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，
∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F， ∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2）， ∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2， ∴
＝
﹣
，
∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1）， ∵AE＝NF，点F在点N下方，
∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2， ∴12a（m﹣1）＝3， ∴a（m﹣1）＝， ∴
＝；
③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2）， ∴yM＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4）， 即yM＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4）， ∵a＞0，
∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，yM最小＝﹣2， 当m＝﹣2或4时，yM最大＝9a﹣2， 当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2， ∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2）， ∵点E在边AB上，且此时不与B重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， ∴0＜a≤， ∴﹣2＜9a﹣2≤﹣， ∴yM≤﹣，
同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2， ∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2）， ∵点F在边CD上，且此时不与C重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， 解得0＜a≤， ∴﹣2＜9a﹣2≤﹣， ∴yM≤﹣，
综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；
2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4； （2）如图1，连接OP，设点P（x，（0，﹣4），
∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP
），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C
＝
＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8， ＝﹣x2﹣4x+12， ＝﹣（x+2）2+16．
+，
∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值， ∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大， 此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．
（3）
∴顶点M（﹣1，﹣）．
，
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣∴，
∴直线AM的解析式为y＝﹣3．
在Rt△AOC中，＝2
．
∵D为AC的中点， ∴
，
∵△ADE∽△AOC， ∴， ∴
，
∴AE＝5，
∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3， ∴E（﹣3，0）， 由图可知D（1，﹣2）
设直线DE的函数解析式为y＝mx+n， ∴
， 解得：，
∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．
），
∴，
解得：，
∴G（）．
3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设k＝
，当k为何值时，CF＝AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴
，解得：
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20 ∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵
，
∴F为AD的中点，
∴∴
， ．
，
，
②在Rt△ACD中，tan在Rt△OBC中，tan∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3， ∴直线OF的解析式为y＝﹣3x， 设直线AD的解析式为y＝mx+n， ∴
，解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴，解得：，
∴F（﹣）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB， ∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x， ∴
，解得：
，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣
）或（﹣2，2）．
4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点 ∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3 ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3） ∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3 ∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2 即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2 ∵m＞0，m＝x﹣1 ∴x﹣1＞0 ∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线 x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4 ∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4） ∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3 ∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA ∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3 法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立 ∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0 ∴m＝∵x＞1 ∴1﹣x＜0
＞0
∴x（x﹣2）＜0 ∴x﹣2＜0 ∴x＜2即1＜x＜2 ∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3
5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①， 令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②； （2）设点E（m，0），
直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC， 则直线EF的表达式为：y＝4x+n， 将点E坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③， 联立①③并解得：x＝（m+1）， 则点F（
，
），
＝，
S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×解得：m＝，
故点E（，0）、点F（2，2）；
（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4）， 当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4， 故点E′不在抛物线上．
6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1） ∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1 ∵抛物线经过点C（0，3） ∴4a﹣1＝3 解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3 （2）
解得：
，
）
∴A（1，0），B（4，3） ∴AB＝
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1） ∴OA＝OE＝1 ∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方 ∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大 过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D ∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45° ∴△CDQ是等腰直角三角形 ∴DQ＝
CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1） ∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+ ∴t＝时，CQ最大值为 ∴DQ最大值为
∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝
（3）存在点P满足∠APB＝90°． ∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0 p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0 p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0 （p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0 ∵p＜4 ∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0 展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0 （p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0 （p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0 ∵p＞1
）2
∴p﹣1≠0 ∴p2+p+1﹣4p＝0 解得：p1＝∴点P横坐标为
，p2＝
（舍去）
时，满足∠APB＝90°．
7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1） ①当点B、C、M三点不共线时， |MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时， |MB﹣MC|＝BC
∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长， 过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝∴|MB﹣MC|取最大值为
；
＝
，
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°， 在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°， 过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90° ∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA ∵∠PGA＝∠ACB＝90° ∴①当
时，
，
△PAG∽△BAC， ∴
＝，
解得x1＝1，x2＝0，（舍去）
∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6， ∴点P为（1，6）； ②当
时，
△PAG∽△ABC，
∴＝3，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P 综上所述，存在点P（1，6）．
8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3）， 则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2， ∵﹣2＜0，故当x＝﹣
＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合； （3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的则S△PNC＝
×MN×GM＝
×2×3＝
， ，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH， 过点P作PK∥⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， S△PNC＝
＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3
，
，
解得：PH＝＝HG， 则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝， 解得：x＝， 故点P（，
），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②， 联立①②并解得：x＝即点P′、P″的坐标分别为（故点P坐标为：（，
）或（
，
，，
）、（）或（
，，
）； ）．
9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
【解答】解：（1）由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6， 同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6； （2）联立
，解得：x＝﹣
，
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m）， S△AOC＝由题意得：×
＝6，
＝3，
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10）， ∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，∴①当△DEB∽△AOC时，则
，
，
如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，
则Rt△BEG∽Rt△EDF， 则
，则BG＝3EF，
设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，
则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，
∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h， 解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6）， 则点E（4，﹣6）； ②当△BED∽△AOC时，
，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，
则Rt△BEN∽Rt△EDM，则
，则NB＝EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2， 则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝故点E坐标为（4，﹣6）或（
，或
（舍去）； ）．
10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧） （1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积； （3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4
∴点A坐标为（﹣4，﹣4） 当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限 ∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4） ∴OA＝OA'＝
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B' ∴
解得：
∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣
＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M＝90° ∴OA'2+A'M2＝OM2 ∴（4
）2+m2+8m+20＝36+m2
解得：m＝﹣2
∴A'M＝
∴S△OA'M＝OA'•A'M＝
＝8
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似． ∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣x
解得：（即为点B'）
∴C（8，﹣4） ∵A'（4，﹣4） ∴A'C∥x轴，A'C＝4 ∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似 ∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3） ①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝
OA'＝8
＝1
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①； （2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
、DE＝1是常数，
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
+A′D+DC′＝
+A′C′＝
+
；
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE， 则BE：AE，＝3：5或5：3， 则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3， 解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…② 联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒． ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 代入y＝﹣x2+bx+c中，得：
，解得
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则有：
，解得
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵点E、F关于直线x＝1对称， 又E到对称轴的距离为1， ∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中， 得：y＝﹣2+3＝1， ∴F（2，1）； （3）①如下图，
MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t， △AOC与△BMN相似，则即：
，
，
解得：t＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3）， 故：t＝1；
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t）， ∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论， 第一种，当OQ＝BQ时， ∵QM⊥OB ∴OM＝MB ∴2t＝3﹣2t ∴t＝；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中 ∵∠OBQ＝45°，
∴BQ＝∴BO＝即3＝∴t＝
， ， ， ；
第三种，当OQ＝OB时， 则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意 综上述，当t＝
或
秒时，△BOQ为等腰三角形．
13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）C（0，2），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2， 当t＝时，AM＝3， ∵AB＝5， ∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝（3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m），
MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5，
∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴
•
＝﹣1
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）； （4）当t＝时，M（，0）， ∴点Q在抛物线对称轴x＝上，
如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2， ∵AB＝5， ∴AM＝，
∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG，
又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（，﹣）， ∵Q1与Q2关于x轴对称， ∴Q2（，），
∴Q点坐标分别为（，﹣），（，）；
14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0） ∴
解得：
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点M（1，4） ∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点P坐标为（0，p）
∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2
解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣）
②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3）
③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝ ∴P（0，）
综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32 ∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣）2+（n+）2＝ ∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为
∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为∴当点I在线段CQ上时，CI最小 ∵CQ＝
∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为
．
的圆在第一象限的弧上运动
15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点． （1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， ∵点C（0，4）在抛物线上， ∴4＝﹣27a， ∴a＝﹣
，
（x+3）（x﹣9）＝﹣
x2+x+4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣
∵CD垂直于y轴，C（0，4）， 令﹣
x2+x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6， ∴点D的坐标为（6，4）；
（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H， ∵点F是抛物线y＝﹣∴F（3，∴FH＝
）， ﹣4＝，
x2+x+4的顶点，
∵GH∥A1O1， ∴△FGH∽△FA1O1， ∴
，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG， ∴S重叠部分＝
﹣S△FGH
＝A1O1•O1F﹣GH•FH ＝＝
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M， ∵C2O2∥DE， ∴△OO2M∽△OED， ∴∴
， ， ；
∴O2M＝t， ∴S＝
②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，
＝OO2×O2M＝t×t＝t2；
将点D（6，4）代入y＝kx， 得，k＝， ∴yOD＝x，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b， 得，
，
解得，k＝，b＝﹣t+4，
∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4， 联立yOD＝x与y＝x﹣t+4， 得，x＝x﹣t+4， 解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t）， 故点M到O2C2的距离为6﹣t， ∵C2N∥OC， ∴△DC2N∽△DCO， ∴∴
， ，
∴C2N＝（6﹣t）， ∴S＝
＝
﹣
＝OA•OC﹣C2N（6﹣t） ＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t） ＝﹣t2+4t﹣6；
∴S与t的函数关系式为：S＝．
16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2； （2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0）， ∵直线y＝﹣x+b经过点A， ∴b＝4， ∴y＝﹣x+4，
y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解， ∴x＝3或x＝﹣， ∴B（﹣，
），
设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3， ∵PQ∥y轴，
∴Q（t，t2﹣2t﹣3）， ①当AP＝AQ时， |4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|， 则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3， ∴t＝，
∴P点横坐标为； ②当AP＝PQ时，
PQ＝﹣t2+t+7，PA＝（3﹣t）， ∴﹣t2+t+7＝（3﹣t）， ∴t＝﹣；
∴P点横坐标为﹣；
（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
∴，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0， ∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2， ∴E（
，mn），
﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣
）
∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（＝2， ∴（m﹣n）3﹣∴（m﹣n）3＝8， ∴m﹣n＝2；
＝4，
17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N． （1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC． ①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围； ②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；
③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【解答】解：
（1）根据题意得：A（﹣2，0），B（6，0）， 在Rt△AOC中，∵（x﹣6）得：抛物线解析式为：整理得：y＝﹣
；
，
；
，且OA＝2，得CO＝3，∴C（0，3），将C点坐标代入y＝a（x+2）
故抛物线解析式为：得：y＝﹣
（2）
①由（1）知，抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4）， 则PC2＝22+（m﹣3）2，PQ2＝m2+（n﹣2）2，CQ2＝32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，
即22+（m﹣3）2+m2+（n﹣2）2＝32+n2，整理得：
时，n取得最小值为；当m＝4时，n取得最大值为4， 所以，②
；
＝
（0≤m≤4），∴当
由①知：当n取最大值4时，m＝4， ∴P（2，4），Q（4，0）， 则
，
，CQ＝5，
设点P到线段CQ距离为h， 由得：
③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：
，
，
，
，故点P到线段CQ距离为2；
当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点Q'的纵坐标为：
将Q'（4，3）代入
，
得：t＝3，
当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，
联解
得：
由△＝49﹣16t＝0，得
，化简得：x2﹣7x+4t＝0， ，∴当线段CQ与抛物线有两个交点时，
．
18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8， ∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°， ∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC， 此时
，即：
，
，解得：
，
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k， ∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得： k＝0或则点P（
（舍去0）， ，
）；
（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC， ∴∴S△PDF＝而S
△BOC
， •S△BOC，
＝16，BC＝
＝4
，
＝OB•OC＝
∴S△PDF＝
•S△BOC＝PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大， 将B、C坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8）， 则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，PD的最大值为4， 故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝
．
19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+， m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝， ∴抛物线的解析式y＝（2）设D（m，DE＝（
；
），则E（m，﹣m+），
）﹣（﹣m+）＝
＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2， 此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小， ∵A（3，2）， ∴A'（﹣1，2）， A'D＝
即PD+PA的最小值为
＝；
，
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝∴M（1，4）， ∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2） ∵∠AQM＝45°， ∠AHM＝90°， ∴∠AQM＝∠AHM， 可知△AQM外接圆的圆心为H，
，
∴QH＝HA＝HM＝2 设Q（0，t）， 则t＝2+
或2﹣
）、Q2（0，2
）．
＝2，
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣
20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式； ②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即
∵a＞0，∴b＜0；
（2）①过点D作DM⊥Oy，
则，
∴
，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m ∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0）， 则
，
∴OE＝8，
S△BEF＝×4×4m＝8， ∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 即y＝ax2﹣2ax﹣8a， 令x＝0，则y＝﹣8a，
4），
∴C（0，﹣8a）， ∴﹣8a＝﹣4，a＝， ∴
；
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角， CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36， 当∠CDB为锐角时， CD2+DB2＞CB2， m2+4+9m2+36＞16m2+16， 解得﹣2＜m＜2； 当∠BCD为锐角时， CD2+CB2＞DB2， m2+4+16m2+16＞9m2+36， 解得综上：故：
，．
，
；
21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM．
【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3） ∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3 ∵二次函数图象过点A（6，0） ∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣
∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x
（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3） ∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x ∵OB交对称轴l于点M
∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6 ∴M（3，﹣b+6） ∵点M、N关于点P对称
∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3， ∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b） ①∵OP＝MN ∴OP＝MP ∴
＝b﹣3
）2+2×（3+3
）
，ON2＝32+（3+3
）2＝36+18
，BN2＝（3+3
﹣3）2+
）＝﹣3
解得：b＝3+3
∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3∴B（3+3
，﹣3），N（3，3+3
∴OB2＝（3+3（﹣3﹣3﹣3
）2+（﹣3）2＝36+18）2＝72+36
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b） 设直线BN解析式为y＝kx+d ∴
解得：
，﹣3）．
∴直线BN：y＝﹣bx+2b
当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6 ∴D（6，0）
∵C（3，0），NC⊥x轴 ∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM
22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0） （1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若
＝
，求二次函数的表达式．
【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）
②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x 整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0 ∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根 即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．
（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0） 即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝
∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c ∴C（0，c） ∵E（1，0） ∴CE＝
，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y轴，OC＝OD ∴DF∥x轴 ∴
∴EF＝CE＝
，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB ∴△AEF∽△CEB ∴
，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2 展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1 1+c2＝﹣
﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0 c2（c+2a）+2（c+2a）＝0 （c2+2）（c+2a）＝0 ∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a ∴x1+x2＝﹣
＝4a2，x1x2＝
＝﹣2，CF＝2
＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8 ∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P ∴△PFC∽△PBA ∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去） ∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4 ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0）， 则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2）， ∵PE＝OD，
∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x）， 解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0）， 即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；
，
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，
①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H， BD＝1＝BM，
则MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×则xM＝故点M（﹣
，
，﹣
）；
＝
，
②当BD＝DM（M′）时， 同理可得：点M′（﹣故点M坐标为（﹣
，）； ，﹣
）或（﹣
，）．
24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a 令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0） ∵s△ABC＝6 ∴
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去） （2）设直线AC：y＝kx+b， 由A（﹣3，0），C（0，3）， 可得﹣3k+b＝0，且b＝3 ∴k＝1
即直线AC：y＝x+3，
A、C的中点D坐标为（﹣，）
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x， 线段AB的垂直平分线为x＝﹣1 代入y＝﹣x， 解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）
作PM⊥x轴，则
＝
∵
∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB 设直线PB解析式为：y＝x+b ∵直线经过点B（1，0） 所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1 联立解得：
∴点P坐标为（﹣4，﹣5） 又∵∠PAQ＝∠AQB
可得：△PBQ≌△ABP（AAS） ∴PQ＝AB＝4 设Q（m，m+3） 由PQ＝4得：
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（舍去） ∴Q坐标为（﹣4，﹣1）
25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3） ∴
解得：
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1 ∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3） ∴OA＝1，OC＝3，AC＝∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝∵AB＝AH，G为BH中点 ∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG ∵∠PAB＝2∠ACO ∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝∴BG＝
AB＝
，AB＝4 ，cos∠ACO＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90° ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝∴HI＝
BH＝，BI＝
BH＝
，cos∠HBI＝
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，﹣）
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称 ∴H'（﹣
，
）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴ 解得：
∴直线AH'：y＝﹣x+
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，）
）或（﹣
，
）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1 ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1 设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1） 设直线AQ解析式为y＝dx+e ∴
解得：
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6 ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6 设直线BQ解析式为y＝mx+n ∴
解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2 ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， ∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0， ∴
，
，即y＝
．
∴抛物线的解析式为y＝令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵△ABD的面积为5， ∴
＝5，
∴yD＝，代入抛物线解析式得，解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴D（4，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝．
），则M（a，
），
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，
∴
＝
＝
，
＝
，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝
，
∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，
∵E（
），OA＝1，
，
∴AG＝1+＝，EG＝
∴，
∵∠AGE＝∠AHP＝90° ∴sin∴
，
，
∵E、F关于x轴对称， ∴PE＝PF，
∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，
∵EF＝∴∴
，∠AEG＝∠HEF，
＝
．
，
∴PE+PA的最小值是3．
27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣， 则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4； （2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4
，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣， 同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，
则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）； ②当AC＝CQ时，如图1， CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4则QM＝MB＝故点Q（
，
， ）；
﹣5，
③当CQ＝AQ时， 联立①②并解得：x＝
（舍去）；
，
）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（
（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN＝∵﹣
（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣
（m﹣2）2+
，
＜0，∴PN有最大值，
．
当m＝2时，PN的最大值为：
28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0） ∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3） 把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3 ∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3 ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称 ∴PA＝PB
∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小 ∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3） ∴AC＝
∴C△PAC＝AC+CB＝设直线BC解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1 ∴直线BC：y＝﹣x+3 ∴yP＝﹣1+3＝2
∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为
（3）存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC． ∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高 ∴点C和点M到直线PA距离相等 ①若点M在点P上方，如图2， ∴CM∥PA
．
，BC＝
最小
∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d ∴
解得：
∴直线AP：y＝x+1
∴直线CM解析式为：y＝x+3 ∵
解得：
（即点C），
∴点M坐标为（1，4） ②若点M在点P下方，如图3，
则点M所在的直线l∥PA，且直线l到PA的距离等于直线y＝x+3到PA的距离 ∴直线AP：y＝x+1向下平移2个单位得y＝x﹣1即为直线l的解析式
∵ 解得：
∵点M在x轴上方 ∴y＞0 ∴点M坐标为（
，
）
，
）时，S△PAM＝S△PAC．
综上所述，点M坐标为（1，4）或（
29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求b，c的值；
（2）直线1与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．
【解答】解：（1）由题意得：∴b＝2，c＝3，
（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D， ∴CD∥OA， ∴3＝﹣x2+2x+3， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴D（2，3），
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（﹣1，0），A（3，0），
，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3）， ∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a， 四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝
＝
＝﹣a2+3a＝
，
∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为． ②当△PCQ∽△CAP时，
∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ， ∴PQ∥AC，
∵C（0，3），A（3，0）， ∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，
如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M， ∴
，
设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b， ∵∴
，
，
∴∴∴∴
，
， ，
，
设直线l的解析式为y＝﹣x+n， ∴∴
．
，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+．
30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2
（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D 设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3） ∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
设直线BP解析式为y＝kx﹣2 把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2 ∴k＝t﹣
∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2
当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（∵t＞3 ∴t﹣2＞1 ∴
，即点C一定在点A左侧
，0）
∴AC＝3﹣
∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4 ∴
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去） ∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，
（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE ∴BE＝OB，OG＝GE ∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90° ∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝
，cos∠OAB＝
）
＝4
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG ∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90° ∴∠OAB＝∠BOG ∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝∴EF＝∴E（
OE＝，﹣
）
，OF＝
，cos∠BOG＝OE＝
设直线BE解析式为y＝ex﹣2 把点E代入得：∴直线BE：y＝﹣当﹣
e﹣2＝﹣x﹣2
，解得：e＝﹣
x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
，即点M到y轴的距离为
．
∴点M横坐标为
31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）， 把A、B两点坐标代入上式，解得：
，
，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°， ∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB， 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴
，
设OP＝x，则PB＝3﹣x， ∴∴OE＝∵0＜x＜3， ∴
时，线段OE长有最大值，最大值为
． ．
，
，
即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是（3）存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3， ∴N点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN的解析式为y＝kx+b， ∴∴
， ，
∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝∵
，
，此时M点的坐标为（
）．
＝
＝
，
∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是
32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3）， 将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得，
∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3）， 将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2， 解得，x＝0或x＝﹣1，
因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3）， 将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 y＝﹣x2﹣x+2，得
x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2， 解得，x＝3，或x＝﹣，
此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，
）；
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3）， 故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），
将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2， 解得，x＝0或x＝﹣3，
因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣3，12），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
）或（﹣3，12）；
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°， 由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴
，
），点R坐标为（x2，
，
），
设点P坐标为（x1，所以有
整理得，x1+x2＝4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH＝
＝
），
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2， 所以2m＝解得，m＝所以点Q坐标为（
， ，
，﹣7+
）或（
，﹣7﹣）．
33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3， 即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得： x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2， 同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3）， S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝解得：k＝±2
；
，
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4）， 则直线PM表达式中的k1值为：
，直线PN表达式中的k2值为：
，
为：k1k2＝故PM⊥PN，
＝＝﹣1，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，
设点H坐标为（x，y）， 则x＝
＝1﹣k，
y＝（y1+y2）＝（6﹣k2）， 整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0． （1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2， 解得：x＝1或2，
故点A、B的坐标分别为（1，2）、（2，k+2）； （2）OA＝
＝
，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）； ②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3； 故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3； （3）存在，理由： ①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1， 设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m， 则AN＝AH＝﹣k，AB＝
，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2， 即：（1﹣m）2＝m2+（解得：m＝﹣k2﹣k在△AHM中，tanα＝解得：k＝故k＝﹣
；
， ＝
＝k+
＝tan∠BEC＝
＝k+2，
+k）2，
（舍去正值），
②当点B在x轴下方时， 同理可得：tanα＝解得：k＝故k的值为：﹣
或或＝
＝k+
＝tan∠BEC＝
＝﹣（k+2），
（舍去）； ．
35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°， 即：则PE＝PE，
，解得：
，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1）， PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18， ∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值， 当x＝2时，其最大值为18； （3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1）， 由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5， 解得：x＝2则点M坐标为（2+
或0或4（舍去0），
，﹣3﹣
）或（2﹣
，﹣3+
）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为（0，），
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点， 即：0＝
，＝
，
解得：n＝0或﹣4（舍去0）， 故点M（﹣4，3）；
故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴∴
，
，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴
，解得：
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4）， ∵CE∥y轴， ∴E（1，﹣2）， ∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN， 设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去）， ∴M（2，﹣1），
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3）， ∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a， ∴a2﹣3a＝2， 解得：a＝∴M（
，
，a＝
），
）．
（舍去），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝
＝
＝﹣，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．
37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移
个单位得到点Q，
连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且∴点D的坐标为D（1，﹣4）
＝＝1，＝＝﹣4
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6） ∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3 ∴当m＝
＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0） 在x轴上找一点K（
，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
，且点F（2，﹣2），
∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝∴点J（
，
）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝（2）由（1）知，点P（0，∵把点P向上平移∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝∠AQO＝∠GOQ
；
），
个单位得到点Q
，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G ①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ， ∵sin∠OAQ＝∴sin∠IOQ'＝
＝＝
＝
＝
，解得：|IO|＝
），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝∴点Q'的坐标为Q'（②如图3，
，﹣
）；
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（③如图4
，
）
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣④如图5
，
）
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（
），（﹣
，﹣
）
，﹣，﹣
） ），（
，
），（﹣
，
38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2， 故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2， 则函数表达式为：y＝ax2+bx+2， 将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大， 则函数对称轴x＝﹣即：﹣
≥0，而b＝2a+1，
，
≥0，解得：a
故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2， 过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°， S△PAB＝×AB×PH＝则yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1， 故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2）， 即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1， 解得：x＝﹣1或﹣1
，
，1）或（﹣1﹣
，﹣
）．
2
×PQ×
＝1，
故点P（﹣1，2）或（﹣1
39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE； ②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝
，∠CAE＝∠OBE时，求
﹣
的值．
【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0， ax（x+6）＝0， ∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点， ∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠COE， ∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，即E（m，0）， 由切割线定理得：CE2＝OE•AE， ∴（m﹣t）2＝m•（m+6）， ∴
①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理：即：∴由①②得
②，
， ， ，
整理得：t2+18t+36＝0， ∴t2＝﹣18t﹣36， ∴
．
40．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 （1，2） ．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴解得：
， ，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数根据题意，得∵x＞0， ∴∴
，，
，
的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
，
∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x
，
轴相交于点G．∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．
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