生产计划安排模型

摘要

本文是一篇关于生产计划安排的优化问题。为实现科学的安排生产，使得企业的利润达到最大，必须对生产计划进行合理有效的安排。

对于问题一，通过对生产要素的分析，由于电价的标准是分时段，所以在考虑问题时，细分了生产计划，使得生产的利润得到准确的最大化。最后列写出利润的目标函数和约束函数，使之成为一个优化数学模型。借助于LINGO软件强大的解决优化问题的功能，便可以得出生产计划安排的结果。从所得结果可以看出，生产的安排都尽量的安排在了0-8小时内生产，这也符合对0-8小时电价低生产成本低应该多安排生产计划的常识考虑。

对于问题二，设备的维修是可以自由安排的，这时，将各种设备在某月是否维修看做是变量，这样，通过对问题一中的模型进行适当修正，便可以得到本问题的优化模型。同样通过在编写好的LINGO程序运行下，可以得出生产计划安排的结果。通过结果显示，由于在此问题中，对设备维修做了更合理的安排，使得产品的利润比问题一中的利润有了明显的提高。

对于问题三，对5，6月份有供电的，在不满足前面问题情况时，约束函数中必须加入对工作计划中的工作功率进行，以满足最大工作功率不超过供电功率的要求。因此在5、6月份，除了需要维修的机器不工作外，还有一些设备为满足功率不超过最大也要不工作。所以此处转为如何合理地分配机器来生产不同的产品才能使利益达到最大的问题。同样的方法求解的结果显示，由于对供电功率的，未防止工作超过功率，就无法将大量的生产计划安排在0-8小时内生产，必须增加8-24小时的生产计划。

关键字： 生产计划 优化 LINGO 优化模型

1问题重述

企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。

已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下。

表1-1 产品大致利润 产品 售价/元 标准差/元 原料成本/元 I 200 50 40 II 160 40 30 III 80 10 12 IV 80 15 10 V 120 20 20 VI 90 8 15 VII 60 2 14 该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。

表1-2 产品所需台时 单位所需 台时 设备 磨床 立钻 水平钻 0.5 0.1 0.2 0.7 0.2 — — — 0.8 — 0.3 — 0.3 — — 0.2 0.5 0.6 — — 0.6 I II III IV V VI VII 镗床 刨床 0.05 0.03 — — — 0.07 0.1 — 0.08 0.05 0.01 — 0.05 — 从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。若每台设备的功率如下：

磨床，5 kw；立钻8kw；水平钻6Kw；镗床8kw；刨床12kw

供电功率为70Kw；

电价：0-8时0.8元/kwh；8-24时1.2元/kwh。

又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。

表1-3 产品最大需求量 1月 2月 3月 4月 5月 6月 I 1000 800 400 400 100 800 II 1500 600 600 500 200 400 III 300 200 0 400 500 300 IV 300 0 0 500 100 300 V 800 400 500 200 1000 1500 VI 200 300 400 0 300 500 VII 100 150 100 100 0 80 每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。

若该工厂每月工作30天，每天三班（0-8时；8-16时；16-24时），每班8小时，要求

（1） 该厂如何安排生产，使企业利润最大；若原材料价格上涨10%，如何安排生产。

（2） 若对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。

（3） 由于供电紧张；5-6月仅供应50Kw的电力，如何调整计划。

2问题分析

本文是一篇关于在诸多生产条件的情况下，进行合理安排生产计划，从而实现企业的利润最大化。

对于问题一，产品利润的计算为总收入减去生产的成本。

总收入为产品销售所得收入，即各个月份各种产品销售量乘以对应的售价的总和。

总成本则包括生产原料成本、库存成本以及生产所用电费三个成本和。

成本一：生产原料成本为各个月份生产各种产品的原料成本乘以生产量的和。

成本二：库存成本为各月各产品库存量乘以单位库存费的和。

成本三：生产所产生的电费为所用的功率乘以电价，而电价是分时收费标准，所以此处在对生产计划设变量时，应在0-8小时和8-24小时不同时间段设不

同的变量，以计算在不同时间段的电费，所求的结果也很清楚的显示不同时间段的生产计划。

由上可以列写出目标函数。

与此同时，生产计划还受到以下因素的制约：

（1） 设备数量的，以及每月的设备维修。

（2） 工作时间的。

（3） 供电功率的。

因素一：由于设备有限，生产计划中所用的设备数量不可以大于现有的设备数量，同时，设备又需要维修，所以在每月还会有部分设备无法投入到使用中。总之，生产计划所用的各种设备数要小于等于各种现有设备数减去维修设备数。

因素二：每天的工作时间最多只有24个小时，工作计划所安排的工作时间不能够大于这个时间。因为在模型的建立中，对0-8小时和8-24小时不同时间段的工作计划单独考虑，所以此处对于工作时间的也要分时间段进行。即每天0-8小时工作计划时间小于等于8个小时，8-24小时工作计划时间小于等于16个小时。

因素三：在工作计划中，可能会出现同时工作的设备较多或多台功率大的设备同时工作而使得生产功率大于供电功率，因此，必须使得任何时候的生产工作功率小于等于供电功率。

通过目标函数以及约束函数的得出，便可以建立一个关于如何安排生产计划的数学优化模型。当生产原料的成本变化时，通过lingo的灵敏度分析，在生产计划不改变的情况下，各产品在各月的生产原料成本变化范围，并计算出成本的上涨率与下降率，取最小值作为生产计划不变的原料成本波动率。这样，题给的上涨率

若在这个范围，则生产计划不变，若不在，则需要重新调整，此时，可以再次利用模型，对模型的参数进行重新设置，以得出新的生产计划。

对于问题二，规定了各种设备维修时间是不定的，可以自由安排，即无法工作的设备是不定的。这时，将问题一模型中无法工作的设备有定植改为变量值，便可以得到解决本问题的优化模型。

对于问题三，对5、6月份的供电的从70kw减为50kw，这时就必须对5、6月份的工作功率做特别的，以满足最大工作功率不超过规定的供电功率。因此不能像前两问一样，除了维修的机器剩余机器都能工作，必须有部分设备除维修原因不工作外，可能还会有设备因供电无法工作。

3模型假设

（1） 假设生产的成本不会受到其他因素的影响。

（2） 假设产品的的市场最大需求量不会改变。

（3） 假设企业总收益不会受到其他的因素影响。

（4） 假设生产的产品对工序没有要求。

4符号说明 --第

种产品的售价。

--第

种产品的原料成本。

--第

种设备的功率。 --第

种设备的数量。

--第

月第

种设备的维修数量。

--第

月第

种产品的销量。

--第 月第

种产品的产量。

--第

月第

种产品的库存。 --第

月第

种产品在0~8时的产量。

--第 月第

种产品在8~24时的产量。

--第

种设备生产第

种产品所需用时。

--第

月第

种产品的需求量。

--0~8时第

月第

种设备的不工作数量。

--8~24时第 月第

种设备的不工作数量。

--第

种产品生产的原料成本浮动率。

--总工作月数。

--总产品种类数量。

--总设备种类数量。

--每月每件库存收费。

--0-8小时工作时间内的电价。

--8-24小时工作时间的电价。

--生产的总利润。

5模型建立与求解

5.1问题一模型的建立与求解：

5.1.1 成本未上涨时：

建立的优化模型应包括目标函数，和约束函数。

首先考虑目标函数，列写目标函数，要用总收入减去生产成本。对于总收入，在本文中是指总工作时间内各种产品的总销售收入：

其中

为第

种产品的售价，

-为第

月第

种产品的销量，

表示总工作月数，

表示总产品种类数。

生产成本其一为生产原料成本，数学表达式为：

式中， 为第

种产品的原料成本，

为第

月第

种产品的产量。

生产成本其二为库存费用，数学表达式为：

式中，

表示每月每件库存收费，

为第

月第

种产品的库存。

生产成本其三为电费，数学表达式为：

式中，

为第

月第

种产品在0~8时的产量，

为第 月第

种产品在8~24时的产量。

为第

种设备生产第 种产品所需用时，

为第

种设备的功率，

为0-8小时工作时间内的电价，

为8-24小时工作时间的电价。

综上所述，

式可以得到目标函数为：

根据问题中的条件，可以得到以下约束函数：

（1） 最大工作时间满足：

式中，

为第

种设备的数量，

为第

月第

种设备的维修数量。

（2） 库存量不得超过100，且最后一个月达到库存为50，即：

（3） 销售量和库存量满足：

（4） 并将1月初库存量为0表示为：

（5） 并且，销售量必须满足最大需求量：

因为每月至少有一设备在维修，比如：1月份，一台功率最小的设备因维修不工作，此时的工作功率最大。经计算，发现所有除了维修的机器全部都在工作的功率只有69kw（具体可见附录（一））。所以可以得知，在正常生产工作中，无论如何安排，设备的工作功率永远都小于供电功率，满足条件，所以不受供电功率的，即工作的机器数就是总机器数减去当月的维修数。

综上

~

可以得出，约束函数为：

有目标函数

以及约束函数

组成优化模型为：

目标函数：

约束函数：

对于本文的特定问题，有部分参数为已知，已知参数如下：

为方便模型的求解，此处将已知的参数代入模型，以简化模型。简化后的优化模型为：

目标函数：

约束函数：

通过编写LINGO程序，可以求解出上模型的结果为：

总利润为：

，生产计划安排见下表1-5：

表1：1-6月各月产品计划生产表 产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 7 1 1000 900 0 400 100 850 2 1500 700 0 500 200 450 3 300 200 0 400 600 0 4 300 0 0 500 100 350 5 800 500 0 200 1100 0 6 200 300 400 0 300 550 7 100 250 0 100 100 0 表2：1-6月各月产品计划生产表（0-8小时）

1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 1000 0 520 0 400 100 850 300 300 433.3333 500 0 200 1100 0 200 300 400 0 266.6667 333.3333 100 0 0 100 100 0 700 170 0 0 0 0 500 400 333.3333 200 600 100 450 0 350 表3：1-6月各月产品计划生产表（8-24小时）

1 0 2 3 4 5 366.6667 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 33.3333 216.6667 7 0 250 0 0 0 0 1500 0 0 30 0 0 0 0 166.6667 0 0 0 0 380 0 0 0 0 0 0 0 0 0 表4：1-6月各月产品销售情况表

1 1000 800 100 400 100 800 2 1500 600 100 500 200 400 3 300 200 0 400 500 50 4 300 0 0 500 100 300 5 800 400 100 200 1000 50 6 200 300 400 0 300 500 7 100 150 100 100 0 50 产品 月份 1 2 3 4 5 6 表5：1-6月各月产品库存表

1 0 100 0 0 0 50 2 0 100 0 0 0 50 3 0 0 0 0 100 50 4 0 0 0 0 0 50 5 0 100 0 0 100 50 6 0 0 0 0 0 50 7 0 100 0 0 100 50 从所得结果可以看出，生产的安排都尽量的安排在了0-8小时内生产，这种结果非常符合我们对0-8小时电价低生产成本低应该多安排生产的常识考虑。

考虑产品价格的浮动：

当产品的价格发生变化时，企业的利润也会发生变化，即所建模型中的参数发生了变化，则先前所得到的生产计划有可能会发生变化，下面通过LINGO灵敏度分析验证工作计划是否需要改变。

首先，对于产品价格，题中给出的是价格的标准差，此处可以通过概率学中的置信区间知识求得价格波动。

本问题中国，已知价格和标准差，由于样本个数没有告知，假设样本数为100。函数

是子样均值，是母体均值

的点估计，它服从标准正态分布，若给定置信度1- =95%，

=0.05，

=0.025，查正态分布

（0，1）得到

=1.96，子样观察得到

（

=1.2.3.4.5.6.7）， =100。计算得

的一个置信区间如下表：

表6：价格置信区间表 产品 售价/元 标准差/元 方差 95%置信区间下限 95%置信区间上限 1 200 50 2500 2 160 40 1600 3 80 10 100 4 80 15 225 5 120 20 400 6 90 8 7 60 2 4

190.2 152.16 78.04 77.06 116.08 88.43 59.61 209.8 167.84 81.96 82.94 123.92 91.57 60.39 由上表中可以看出，价格波动范围情况如下：

表7：价格波动表 产品 1 2 3 4 5 6 7 产品售价 200 160 80 80 120 90 60 产品价格波动差价 9.8 7.84 1.96 2.94 3.92 1.57 0.39 波动幅度 4.90% 4.90% 2.45% 3.68% 3.27% 1.74% 0.65% 在LINGO灵敏度分析报告中，可以计算出各产品价格浮动情况，汇总如下表：

表8：各月产品价格浮动表 产品 月份 1 1 2 3 下降 4 5 6 1 上涨 2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 77.84% 78.09% 80.08% 83.06% 81.40% 75.60% 66.88% 103.35% 397.43% 96.93% 107.00% 105.45% 99.17% 117.40% 95.78% 24.91% 100.00% 107.52% 93.98% 103.41% 80.22% ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 4 5 6 7 77.07% 77.25% 80.08% 84.54% 80.43% 77.32% 63.66% 77.06% 77.30% 77.62% 95.56% 80.67% 77.53% 62.99% 74.56% 19.45% 80.08% .31% 76.50% 78.18% 53.65% 3 4 5 6 25.77% ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 262.88% ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 455.48% 178.30% ∞ 从上表中可以看出，在产品价格下降25.77%和上涨19.45%以内，生产计划不需要变动。而问题中给定的价格浮动率从表7中可以看出最大为4.9%，小于19.45%。所以在此价格浮动区间内，生产计划不需改变。

但对于价格的变动，企业的利润的是发生变化的，现在取各产品价格的最低值和最高值分别计算利润值，计算所得利润浮动区间为：（1382847,1535771）。

5.1.2 成本上涨10%时：

当生产的成本上涨时，必然会影响企业的利润。这时为了使得企业的生产利润最大，就必须考虑是否要进行生产计划的重新调整。对于生产成本的上涨问题可以通过对上一问题的结果进行灵敏度分析，分析出生产的成本的涨落在何范围内的生产计划是不需要改变的。

从LINGO灵敏度分析报告中，选取成本涨落最少的值进行计算成本的上涨幅度以及下落幅度。以此作为生产计划不需要调整的涨落标准。

经计算（计算过程见附录一），可以得到在计划不变的情况下各月各种产品的原料成本涨落最大情况如下表：

表9：各月产品生产成本涨降表 产品 月份 1 2 3 4 5 6 7 1 下降 12.43% 16.94% 25.27% 138.16% 26.40% 34.57% 28.55% 2 3 4 5 6 1 2 3 上涨 4 5 6 ∞ ∞ 58.07% 88.16% 37.25% 92.40% 129.67% ∞ 41.67% 2933.81% 1577.27% 17.87% 2318.42% 25% ∞ 33.33% 35.71% 33.33% ∞ 1952.06% 12.52% 16.72% 41.67% 50.24% 12.50% 16.67% ∞ ∞ ∞ ∞ 50.00% ∞ 1069.80% ∞ 385.37% 411.97% 533.87% 676.32% 482.60% 463.91% 272.82% 12.43% 16.94% 25.27% ∞ ∞ 103.73% 58.07% ∞ 26.40% ∞ 34.57% 28.55% 37.25% ∞ 3.21% 416.46% 41.67% 88.16% 12.52% 16.72% 41.67% 50.24% 12.50% 16.67% 356.60% 50.00% 488.40% 17.87% 92.40% 25.00% ∞ 33.33% 35.71% 33.33% ∞ 通过Excel表格筛选出下降与上涨率最小值均为12.43%，即涨落幅度在12.43%以内，均不需要进行生产计划的调整，即成本上涨10%时，计划不需要调整。

为了方便计算成本涨落的利润，可以引入成本涨落变量

，即第

种产品生产的原料成本浮动率。将此变量加入到模型的目标函数中，结果如下：

对于此问题，

，同样适用LINGO软件计算可以得到结果：总利润为

，同样也可以从程序运行的结果报告中看出产品的生产计划与原料成本上涨前一样，不需要改动，验证了通过灵敏度分析得到的结果。

考虑到产品价格浮动，可以计算出利润浮动区间为：（1348152，1501076）。

5.2问题二模型的建立与求解：

在问题二中，与问题一不同的是设备的维修可以任意安排，此处可以引入变量

，表示k月i机器的维修数。这样，可以直接套用问题一的模型。则模型修改如下：

目标函数：

约束条件：

通过LINGO编写程序语言，可以可以求解得到结果为：

总利润为：

，而对于设备维修情况则如下表所示：

表10：设备维修及计划表 设备 月份 1 2 3 4 5 6 磨床 0 0 0 0 2 0 立钻 1 0 0 0 1 0 水平钻 0 0 0 0 3 0 镗床 0 0 0 0 1 0 刨床 0 0 0 0 1 0 从表中可以看出，现在的安排不同于问题一中的维修计划，此处做了更加合理的安排，从此计划中的产品利润

比问题一中的利润

有了明显的提高，也可以验证此处设备维修计划的更加合理性。

各产品的生产计划则如表11-15所示：

表11：1-6月各月产品计划生产表 产品 月份 1 2 3 1 1000 800 400 2 1500 600 600 3 300 200 0 4 300 0 0 5 800 400 500 6 200 300 400 7 100 150 100 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6

1 500 0 850 600 0 450 500 0 350 600 0 350 300 0 1550 0 300 550 100 0 130 表12：1-6月各月产品计划生产表（0-8小时）

2 242.1 435.71 600 600 0 0 3 4 5 6 2.63 300 400 0 300 516.07 7 100 150 100 100 0 130 1000 800 400 500 0 653.57 300 300 800 200 0 0 0 400 500 500 600 300 0 0 0 350 350 1550 表13：1-6月各月产品计划生产表（8-24小时）

1 0 0 0 0 0 196.43 2 1257.9 1.29 0 0 0 450 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 197.37 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33.93 表14：1-6月各月产品销售情况表

产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 1 1000 800 400 400 100 800 2 1500 600 600 500 100 400 3 300 200 0 400 100 300 4 300 0 0 500 100 300 5 800 400 500 200 100 1500 6 200 300 400 0 300 500 7 100 150 100 100 0 80 表15：1-6月各月产品库存表

1 0 0 0 100 0 50 2 0 0 0 100 0 50 3 0 0 0 100 0 50 4 0 0 0 100 0 50 5 0 0 0 100 0 50 6 0 0 0 0 0 50 7 0 0 0 0 0 50 考虑到产品价格浮动，可以计算出利润的波动区间为：（1556858，1728818）。

5.3问题三模型的建立与求解：

由于有供电量的，不工作的机器数目就必然大于维修的机器数目。又因为0~8，8~24两段的电价不同，故引入变量

和

分别表示5，6月两个时段不工作机器的数目。

其中，

和

又满足：

总利润为：

，生产计划安排见下表16-20：

表16：1-6月各月产品计划生产表 产品 月份 1 1 1000 2 1500 3 300 4 300 5 800 6 200 7 100 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 1 0 1 900 0 400 100 850 700 0 500 200 450 200 0 400 600 0 0 0 500 100 350 500 0 200 1100 0 300 400 0 300 550 250 0 100 100 0 表17：1-6月各月产品计划生产表（0-8小时）

2 3 4 5 433.3333 500 0 200 1100 0 6 200 300 400 0 300 333.3333 7 100 0 0 100 0 0 1000 0 520 0 400 0 850 700 0 500 128.5714 450 300 300 170 0 0 0 400 333.333 600 100 0 350 表18：1-6月各月产品计划生产表（8-24小时）

2 1500 3 4 0 0 30 0 0 0 0 166.6667 0 0 0 0 5 366.6667 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 216.6667 7 0 250 0 0 100 0 380 0 0 0 0 0 100 71.4286 0 0

表19：1-6月各月产品销售情况表 产品 月份 1 2 3 4 5 6 产品 月份 1 2 3 4 5 6 1 0 100 0 0 0 50 2 0 100 0 0 0 50 3 0 0 0 0 100 50 4 0 0 0 0 0 50 5 0 100 0 0 100 50 6 0 0 0 0 0 50 7 0 100 0 0 100 50 1 1000 800 100 400 100 800 2 1500 600 100 500 200 400 3 300 200 0 400 500 50 4 300 0 0 500 100 300 5 800 400 100 200 1000 50 6 200 300 400 0 300 500 7 100 150 100 100 0 50 表20：1-6月各月产品库存表

通过此问题的结果与前两问结果分析可以看出，问题三的8-24小时生产量为：3181.429问题二：2299.82问题一：2943.333。由于对供电功率的，未防止工作超过功率，就无法将大量的生产计划安排防灾0-8小时内生产，必须增加8-24小时的生产计划。

考虑产品价格浮动，可以计算出利润区间为：（1382282，1535206）。

6模型评价

优点：基于电价，机器维修的因素使模型更加吻合实际，易于推广。

1. 由于考虑到分时段电价的不同，故在不同的时段分别设了生产量。进而在销售量一定的情况下，尽可能的使产品在前段电价相对较便宜的时段生产，从而达到利润的最大化。

2. 在第二问中，考虑到了机器维修数目可以自由分配，调整了机器维修的计划，进而使资源合理利用来获取更大的利润。事实证明，通过优化维修的问题，明显看出利润由1459309元上升到12838元。因此，在实际生产中，资源的合理分配对产业的利润有很大影响。

3. 在模型的建立过程中，虽然有很多是常量（例如售价，电费等），但考虑到实际情况中这些量的不确定性和不稳定性，为了使模型能适用于一系列生产优化问题，故将这些“常量”设置为变量。于是，通过简单的变化便可以解决各个问题，具有很好的普遍性和推广度。

缺点：由于未考虑产品滞销，市场变化对售价，销量的影响，故有以下不足：

1. 在此模型中，把每月销量看成是一个的整体。未考虑上个月的销量对下个月生产量与售价所造成的影响。然而，在实际生活中，例如：2月份供过于求，势必会引起3月的生产量的减少和售价的降低。从而达到“薄利多销”，减少库存量等因素对生产造成的负担，也就是商家常常说的“清仓”。

2. 在2，3，4，6月份，可以明显的看出：产品出现了滞销的情况，在3月份尤为明显：只有一种产品在进行销售。然而，实际上，商家不会为了谋求最大的利润，在该月对某产品要求停止生产或中断进货，这样势必会对买家的心理造成一

定影响，进而影响下个月的销量。因此，在生产量方面还有待进一步的市场研究调查与社会心理分析，才能得出更贴近实际的生产优化。

参考文献

[1]邬学军等，《数学建模竞赛辅导教程》，浙江大学出版社，2009。

[2]袁新生等，《LINGO和Excel在数学建模中的应用》，科学出版社，2007。

[3]dphu《LINGO教程》， ，2010.8.25