一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中. 1．2015的倒数是（ ） A．﹣2015
B．
C．
D．2015
2．市2014年财政收入为253亿元，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.53×10 B．2.53×10 C．2.53×10 D．2.53×10
3．一组数据3，4，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数和方差分别是（ ） A．4和2
B．5和2
C．5和4
D．4和4
7
8
9
10
4．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，结果正确的是（ ） A．a•a=a
2
3
6
B．（2a）•（3a）=6a C．（a）=a D．a÷a=a
2
3
6
6
2
3
6．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠B=45°，∠E=30°，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75° 7．函数y=
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠0且x≠2 D．x＞2
8．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C=15°，则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 10．已知反比例函数（ ）
的图象如图，则一元二次方程x﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0根的情况是
2
2
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 11．函数
的自变量x的取值范围是 ．
12．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少为 个．
13．不等式﹣2x+3＞0的解集是 ．
14．若关于x的一元二次方程x+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是 ．
15．有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=
上，则点C的坐标为 ．
2
16．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④AD∥BC从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是 ． 17．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=45°，AB=BC=2，则图中阴影部分面积为 ．
18．一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第 象限．
▱ABCD中，19．如图，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为 ．
20．如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成…，第2015个图案中基础图形的个数有 ．
三、解答题（本大题5个小题，第21---25题，每小题6分，第26题8分，共38分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
﹣20
21．计算：﹣（）+|﹣3|﹣（2011﹣π）+
．
22．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a是方程﹣=1的解．
23．某小区便利店老板到厂家购进A、B两种香油共140瓶，花去了1000元．其进价和售价如下表：
A种香油 B种香油
进价（元/瓶） 售价（元/瓶）
6.5 8
8 10
（1）该店购进A、B两种香油各多少瓶？
（2）将购进的140瓶香油全部销售完，可获利多少元？
24．九年级数学教师将相关教学方法作为调查内容发到全年级500名学生的手中，要求每位学生选出自己喜欢的一种，调查结果如下列统计图所示：
（1）请你将扇形统计图和条形统计图补充完整； （2）写出学生喜欢的教学方法的众数；
（3）针对调查结果，请你发表不超过30字的简短评说．
25．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从A点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．
26．已知，如图，菱形ABCD中，E、F分别是CD、CB上的点，且CE=CF； （1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）若菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，∠EAF=60°，求菱形ABCD的面积．
27．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动．连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的AC边上时，求t的值；
（2）在移动的过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动的过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
28．已知：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，﹣2）与y轴交于点C（0，﹣），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=
y1，求y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
2
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形？若存在试求点Q的坐标；若不存在说明理由．
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．
湖南省娄底市中考数学模拟试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中. 1．2015的倒数是（ ） A．﹣2015
B．
C．
D．2015
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义可得2015的倒数是
．
【解答】解：2015的倒数是故选：C．
．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．市2014年财政收入为253亿元，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.53×10 B．2.53×10 C．2.53×10 D．2.53×10 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
n
7
8
9
10
【解答】解：将253亿用科学记数法表示为：2.53×10． 故选D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．一组数据3，4，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数和方差分别是（ ） A．4和2
B．5和2
C．5和4
D．4和4
n
10
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【分析】首先根据其平均数为5求得x的值，然后再根据中位数及方差的计算方法计算即可． 【解答】解：∵数据3，4，x，6，7的平均数是5， ∴3+4+x+6+7=5×5 解得：x=5， ∴中位数为5，
方差为s= [（3﹣5）+（4﹣5）+（5﹣5）+（6﹣5）+（7﹣5）]=2． 故选B．
【点评】本题考查了中位数的定义及方差的定义与意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
2
2
2
2
2
2
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题．
【分析】由正方形ABCD的边长是3cm，小正方形的边长为1cm，则小正方形在正方形ABCD每条边上翻转两次，每个直角处翻转一次，小正方形共翻转12次回到原来的位置，即可得到它的方向．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长是3cm，小正方形的边长为1cm，
∴小正方形在正方形ABCD每条边上翻转两次，每个直角处翻转一次，小正方形翻转12次回到原来的位置，
∴它的方向为B选项所指的方向． 故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
5．下列计算中，结果正确的是（ ） A．a•a=a
2
3
6
B．（2a）•（3a）=6a C．（a）=a D．a÷a=a
2
3
6
6
2
3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】计算题．
【分析】分别根据同底数幂的乘法的性质，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为a•a=a=a，故A错误 B、应为（2a）•（3a）=6a，故B错误
22
3
2+3
5
C、（a）=a=a，故C正确； D、应为a÷a=a故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，单项式乘单项式，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠B=45°，∠E=30°，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ ）
6
2
6﹣2
232×36
=a．故D错误
4
A．45° B．50° C．60° D．75°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠E=∠ECB=30°，再计算出∠ACE的度数，然后利用三角形内角和即可算出∠AFC的度数． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴∠E=∠ECB=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°﹣30°=15°， ∵∠FAC=90°，
∴∠AFC=180°﹣90°﹣15°=75°． 故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 7．函数y=
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠0且x≠2 D．x＞2 【考点】函数自变量的取值范围． 【专题】计算题．
【分析】让分母不为0列式求值即可． 【解答】解：由题意得x﹣2≠0， 解得x≠2． 故选A．
【点评】考查函数自变量的取值；用到的知识点为：函数为分式，分式的分母不为0．
8．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C=15°，则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】圆周角定理．
【分析】由于OA、OC都是⊙O的半径，由等边对等角，可求出∠A的度数；进而可根据圆周角定理求出∠BOC的度数． 【解答】解：∵OA=OC， ∴∠A=∠C=15°； ∴∠BOC=2∠A=30°； 故选B．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
9．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【考点】弧长的计算． 【专题】几何图形问题．
【分析】本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：
=4π，
圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．
【解答】解：弧长： =4π，
圆锥底面圆的半径：r=故选：C．
=2（cm）．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
10．已知反比例函数（ ）
的图象如图，则一元二次方程x﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0根的情况是
2
2
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
【考点】根的判别式；反比例函数的图象． 【分析】首先根据反比例函数
2
2
的图象可以得到k的取值范围，然后根据k的取值范围即
可判断方程x﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况． 【解答】解：∵反比例函数∴k﹣2＞0， ∴k＞2，
∵一元二次方程x﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的判别式为 △=b﹣4ac=（2k﹣1）﹣4（k﹣1）=﹣4k+5， 而k＞2， ∴﹣4k+5＜0， ∴△＜0，
∴一元二次方程x﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0没有实数根． 故选C．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质及一元二次方程判别式的应用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．
二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 11．函数
的自变量x的取值范围是 x≤2 ．
2
2
2
2
2
2
2
的图象在第一、三象限内，
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【解答】解：依题意，得2﹣x≥0， 解得x≤2． 故答案为：x≤2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少为 5 个．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由左视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由左视图可得第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有4个，由左视图可知第二层最少有1个，
故组成这个几何体的小正方体的个数最少为：4+1=5（个）， 故答案为：5．
【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．
13．不等式﹣2x+3＞0的解集是 x＜ ． 【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得． 【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣3， 系数化为1，得：x＜，
故答案为：x＜．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14．若关于x的一元二次方程x+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是 1 ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】欲求方程的另一个根，可将该方程的已知根﹣2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一个根．
【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2=﹣2．
2
∴，
解方程组可得x1=1．
【点评】此题也可用此方法解答：将﹣2代入一元二次方程可求得k=﹣2，则此一元二次方程为x+x﹣2=0，解这个方程可得x1=﹣2，x2=1．
2
15．有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=
上，则点C的坐标为 （
，0）（，0），（，0），
（﹣，0）． ．
【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】由于反比例函数的图象是双曲线，点A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因为斜边BC在x轴上，所以可能点B在点C的右边，也可能点B在点C的左边，故一共分四种情况．针对每一种情况，都可以运用三角函数的定义求出点C的坐标． 【解答】解：
①当点A在第一象限时，如上图， 过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1， ∴BD=，AD=
，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=时，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD﹣CD=2﹣=，
∴点C的坐标为（，0）； ②
当点A在第一象限时，如上图， 过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1， ∴BD=，AD=
，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=时，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴点C的坐标为（，0）； ③
当点A在第三象限时，如上图， 过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1， ∴BD=，AD=
，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=﹣时，x=﹣2，
∴A（﹣2，﹣），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD﹣CD=2﹣=，
∴点C的坐标为（﹣，0）；
④
当点A在第三象限时，如上图， 过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1， ∴BD=，AD=
，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=﹣时，x=﹣2，
∴A（﹣2，﹣），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
综上，可知点C的坐标为
【点评】本题考查反比例函数的综合运用以及30°角的直角三角形的性质，本题的关键是看到C
的位置有4种不同的情况．
16．已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④AD∥BC从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是 【考点】列表法与树状图法；平行四边形的判定．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能推出四边形ABCD是平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
．
∵共有12种等可能的结果，能推出四边形ABCD是平行四边形的有6种情况， ∴能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是：
=．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=45°，AB=BC=2，则图中阴影部分面积为 1 ．
【考点】圆周角定理；等腰直角三角形． 【专题】压轴题；探究型．
【分析】连接OD，由等腰三角形及三角形内角和定理可知OD⊥AB，再根据S阴影=S△ABC﹣S扇形BOD+S
扇形OAD
﹣2S△AOD即可．
【解答】解：连接OD， ∵OA=OD，∠OAD=45°， ∴∠OAD=∠ADO=45°， ∴∠AOD=90°，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形BOD+S扇形OAD﹣2S△AOD S阴影=S△ABC﹣S半圆+S扇形OAD﹣S△AOD
=×2×2﹣+﹣2××1×1
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是扇形的面积，根据题意得出阴影=S△ABC﹣S扇形BOD﹣S扇形OAD﹣2S△AOD是解答此题的关键．
18．一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第 三 象限． 【考点】一次函数的性质．
【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．
【解答】解：因为解析式y=﹣3x+2中，﹣3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限． 故答案为：三
【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
▱ABCD中，19．如图，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为 9.6 ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质、全等三角形的判定定理ASA证得△AFO≌△CEO；然后由全等三角形的对应边相等推知OF=OE，CE=AF；最后由平行四边形的对边相等、等量代换可以求得四
边形BCEF的周长为：BC+EC+OE+OF+BF=AD+AF+2OF+BF=AD+AB+2OF=9.6． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴OA=OC（平行四边形的对角线相互平分），AB∥CD（平行四边形的对边相互平行）， ∴∠DCO=∠BAC（两直线平行，内错角相等）； 在△AFO和△CEO中，
，
则△AFO≌△CEO（ASA），
∴OF=OE，CE=AF（全等三角形的对应边相等）；
又∵AD=BC（平行四边形的对边相等），AB=4，AD=3，OF=1.3，
∴四边形BCEF的周长为：BC+EC+OE+OF+BF=AD+AF+2OF+BF=AD+AB+2OF=9.6； 故答案是：9.6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．运用全等三角形的对应边相等找到与求四边形BCEF周长相关线段的长度是解题的关键．
20．如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成…，第2015个图案中基础图形的个数有 6046 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】观察发现，后一个图案的基础图案比前一个图案多3个基础图案，然后根据此规律解答即可．
【解答】解：∵第1个图案中基础图形的个数为3×1+1=4； 第2个图案中基础图形的个数为3×2+1=7； 第3个图案中基础图形的个数为3×3+1=10； …
∴第2015个图案中基础图形的个数为3×2015+1=6046． 故答案为：6046．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题5个小题，第21---25题，每小题6分，第26题8分，共38分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21．计算：﹣（）+|﹣3|﹣（2011﹣π）+
﹣2
0
．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题．
【分析】根据有理数的负整数指数次幂等于正整数次幂的倒数，绝对值的性质，任何非0数的0次幂等于1，立方根的定义进行计算即可求解． 【解答】解：﹣（）+|﹣3|﹣（2011﹣π）+
﹣2
0
=﹣9+3﹣1+4
=﹣10+7 =﹣3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．
22．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a是方程﹣=1的解．
【考点】分式的化简求值；分式方程的解．
【分析】首先把括号里分式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解分式方程
﹣=1求出a的值，最后代值计算．
【解答】解：原式=，
=﹣，
解分式方程﹣=1得：x=2，
经检验可知x=2是分式方程的解， ∴a=2，
当a=2时，原式=﹣
=﹣1．
【点评】主要考查了分式的化简求值问题．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除运算．
23．某小区便利店老板到厂家购进A、B两种香油共140瓶，花去了1000元．其进价和售价如
下表：
A种香油 B种香油
进价（元/瓶） 售价（元/瓶）
6.5 8
8 10
（1）该店购进A、B两种香油各多少瓶？
（2）将购进的140瓶香油全部销售完，可获利多少元？ 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据表示出买A、B两种香油共140瓶，花去了1000元的等式即可得出答案； （2）根据图表得出每瓶的利润即可得出总的获利．
【解答】解：（1）设购进A种香油x瓶，则购进B种香油（140﹣x）瓶， 根据题意，得6.5x+8（140﹣x）=1000， 1.5x=120， 解得x=80． ∴140﹣80=60．
答：购进A、B两种香油分别为80瓶、60瓶；
（2）由题意得：80（8﹣6.5）+60（10﹣8）=240元， 答：购进的140瓶香油全部销售完，可获利240元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
24．九年级数学教师将相关教学方法作为调查内容发到全年级500名学生的手中，要求每位学生选出自己喜欢的一种，调查结果如下列统计图所示：
（1）请你将扇形统计图和条形统计图补充完整； （2）写出学生喜欢的教学方法的众数；
（3）针对调查结果，请你发表不超过30字的简短评说． 【考点】条形统计图；扇形统计图；众数． 【专题】图表型．
【分析】（1）根据总数500名学生以及两个统计图中的数据，利用百分比=各个项目的数据÷总数，进行计算未知的数据；
（2）根据众数的概念：出现次数最多的数据即为这组数据的众数； （3）根据对学生的调查数据结果回答． 【解答】解：（1）
喜欢第（2）种教学方法的人数=500×10.2%=51（名） 喜欢第（4）种教学方法的人数=500×42.6%=213（名）；
（2）学生喜欢的教学方法的众数是第（4）种教学方法；
（3）根据对学生的调查数据结果，数学教师要改进自己的教学方法，使自己的教学让更多的学生喜欢．
【点评】能够读懂统计图，从不同的统计图中获得有用的信息，能够结合两个统计图进行正确的计算．理解众数的概念．
25．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从A点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】计算题．
【分析】本题就是已知直角三角形ABC中的一角以及邻边，进而求对边的问题． 【解答】解：在△ABD中，∠A=45°，∠D=90°，AD=200． ∴
．BD=AD×tan45°=200．
在△BCD中，CD=200﹣50=150 ∴
∴1号救生员到达B点所用的时间为
．
（秒）
2号救生员到达B点所用的时间为（秒），
3号救生员到达B点所用的时间为∵
，
（秒）．
∴2号救生员先到达营救地点B．
【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
26．已知，如图，菱形ABCD中，E、F分别是CD、CB上的点，且CE=CF； （1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）若菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，∠EAF=60°，求菱形ABCD的面积．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】常规题型．
【分析】（1）根据SAS即可判断出△ABE≌△ADF．
（2）连接AC，则可将菱形分成两个全等的等边三角形，从而根据AB=4可求出面积． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC=CD，∠B=∠D， ∵CE=CF， ∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）连接AC， ∵∠C=120°，
∴可得△ABC和△ACD为两个全等的等边三角形， 又∵AB=4， S△ABC=S△A，DC=4∴S菱形ABCD=
， ．
【点评】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是根据题意条件得出证明结论需要的条件．
27．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同
一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动．连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的AC边上时，求t的值；
（2）在移动的过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动的过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）作出辅助线，计算出HC=5，即可；
（2）分情况讨论．先分成0≤t≤5和5＜t≤10两种，每一种又要按边分情况讨论分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ．即可；
（3）由△PQE为直角三角形，所以按直角顶点分三种情况，再利用相似，找出相等关系，求解即可．
【解答】解：（1）作DH⊥EF于H．如图1，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6 ∴AB=
=10
∵∠EDF=90°，∠DEF=45° ∴∠F=45° ∴HE=HF=EF=5
∴t=5 即t=5s时，点D在AC边上．
（2）①当0≤t≤5，即直角边DE与AC相交于Q点时， 由题意知：AP=CE=CQ=t ∴AQ=8﹣t
（ⅰ）当AP=AQ时，t=8﹣t 解得t=4
（ⅱ）当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M， 则AM=QM=AQ=（8﹣t） 经探索：△APM∽△ABC ∴
即
∴AM=t，
∴t=（8﹣t）
解得t=，
（ⅲ）当QP=QA时，作QN⊥AP于N， 则AN=PN=AP=t， 经探索：△AQN∽△ABC
∴ 即∴t=
②当5＜t≤10时，即直角边DF与AC相交于Q点时， 由题意知：AP=CE=t，CQ=CF=10﹣t，PB=10﹣t，AQ=t﹣2 （ⅰ） 当AP=AQ时， ∵t≠t﹣2 ∴不存在
（ⅱ）当QA=QP时，作QG⊥AP于G， 则PG=AG=AP=t 经探索：△AQG∽△ABC ∴
即
∴t=
（ⅲ）当PA=PQ时，作PI⊥AQ于I， 则AI=QI=AQ=（t﹣2） 经探索：△API∽△ABC ∴
即
∴t=﹣（舍去）
综上所述：当t=4，，，时，△APQ是等腰三角形．
（3）①当∠PQE=90°时，作PH⊥AQ于H ∵∠ACB=90°，∠DEF=45° ∴∠CQE=45° ∴∠PQH=45° ∴PH=QH ∵AP=t
∴PH=t，AH=t， 又∵CQ=CE=t ∴t=8﹣t﹣t
解得t=
②当∠PEQ=90°时，作PG⊥BC于G， ∵∠QEC=45° ∴∠PEG=45° ∴PG=GE ∵AP=t ∴PB=10﹣t
∴BG=（10﹣t），PG=（10﹣t）
∴（10﹣t）=6﹣（10﹣t）﹣t 解得t=20（不合题意，舍去）
③当∠QPE=90°时，作QM⊥AB于M，EN⊥AB于N， ∵AP=CE=CQ=t
∴PB=10﹣t，AQ=8﹣t，BE=6﹣t ∵△BNE∽△BCA
∴BN=（6﹣t），NE=（6﹣t），PN=10﹣t﹣（6﹣t） ∵△AMQ∽△ACB
∴AM=（8﹣t），QM=（8﹣t），PM=t﹣（8﹣t） 经探索：△PNE∽△QMP
∴即
t1=4 t2=（舍去）
综上所述，存在或4时，△PQE为直角三角形．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形和直角三角形的性质，分情况是解本题的关键．
28．已知：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，﹣2）与y轴交于点C（0，﹣），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=
y1，求y1与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
2
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形？若存在试求点Q的坐标；若不存在说明理由．
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣1）﹣2，将点C的坐标代入即可得出答案； （2）先证明△MPQ∽△MBP，根据相似的性质列等式，求y1与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标，；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，﹣2）可设y=a（x﹣1）﹣2， 由点（0，﹣）得：a﹣2=﹣，
2
2
∴a=．
∴=，
即y=x﹣x﹣；
2
（2）在x2=3中，由y=0，得0=x﹣x﹣， 解得：x1=﹣1，x2=3，
∴A为（﹣1，0），B为（3，0）． ∵M（1，﹣2）， ∴∠MBO=45°，MB=2
，
2
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ， 又∵∠M=∠M， ∴△MPQ∽△MBP， ∴
=
2
，
∴MP=MB•MQ， 即2+（x﹣1）=2
2
2
，
∴y1=（x﹣1）+2，（0≤x＜3）．
（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形， 作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB． ∴∠QPB=∠MBP=45° 又∵∠MPQ=45°， ∴此时MP⊥x轴， ∴P为（1，0）， ∴PB=2．
2
∴Q的坐标为（2，﹣1），
②如图，使△BMF是等腰三角形的F点有： ∵M（1，﹣2），B（3，0）， ∴BM=2
，
时，F1（1，﹣2﹣2
），
当MF=BM=2
当MF=BF时，F2（1，0）， 当MF=BM=2当BF=BM=2
时，F3（1，﹣2+2时，F4（1，2）．
），
【点评】本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，还考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用．
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