第4章幂函数、指数函数和对数函数
4.1 实数指数幂和幂函数
4.1.3 幂函数 课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A.f(x)=3x2 C.f(x)=𝑥4 答案C 解析函数f(x)=3x2,不是幂函数;
函数f(x)=√𝑥,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)=𝑥4=x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;
函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.
2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),则下列关于f(x)的说法正确的是( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的定义域为(0,+∞) D.f(x)在(0,+∞)上单调递增 答案D 解析设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=2,∴幂函数f(x)=𝑥2.
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∵2>0,∴幂函数
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B.f(x)=√𝑥 D.f(x)=x-3
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f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=𝑥的定义域为[0,+∞),
12不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D. 3.已知a=1.2,b=0.9,c=√1.1,则( ) A.c1-212-12B.c11
9-2(10)
=
1102(9),c=√1.1=1.12,
∵2>0,且1.2>9>1.1, ∴1.2>
121102(9)>1.12,即
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a>b>c.
4.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )
A.函数y=xα的图象过原点 B.函数y=xα是偶函数 C.函数y=xα是减函数 D.函数y=xα的值域为R 答案AD 解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.
故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD. 5.若(a+1)3<(3-2a)3,则a的取值范围是 . 答案(-∞,3)
解析因为函数f(x)=𝑥的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<3.
6.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 . 答案9 解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=𝑥2.由𝑥2=3,得x=9,即明文是9.
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关键能力提升练
7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=( ) A.8 答案D 解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=𝑥,所以f(2)=2,故选D.
8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f(x)=𝑥2,若f(a-1)1B.3 C.-1 D.
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( )
A.[-1,3) C.[1,5) 答案C B.(-∞,5) D.(5,+∞)
解析由幂函数f(x)=𝑥,若f(a-1)𝑎-1≥0,可得√𝑎-1<√14-2𝑎,即{14-2𝑎≥0,得1≤a<5.所以a的取值范围为[1,5).
𝑎-1<14-2𝑎,9.函数f(x)=(m2-m-1)𝑥𝑚
2+𝑚-3
12是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足
𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)
>0,若𝑥1-𝑥2
a,b∈R,且
a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ) A.恒大于0 C.等于0 答案A 解析由已知函数f(x)=(m2-m-1)𝑥𝑚
2+𝑚-3
B.恒小于0 D.无法判断
是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2
𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)
>0,函数在(0,+∞)上单调𝑥1-𝑥2
时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足
递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
10.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数. (1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
学科素养创新练
11.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f(x)=𝑥𝑚则m= ,f答案2或3 4 解析幂函数y=𝑥𝑚
2-5𝑚+4
2-5𝑚+4
(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,
1
2
= .
为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-
5m+4<0得1由题知m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f
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=4.
