抛物线的性质
一、一周知识概述
本周主要学习抛物线的性质，重点掌握抛物线的对称性、顶点和范围，以及直线与抛物线位置关系的判定、直线与抛物线相交的有关问题. 二、重难点知识归纳
1、抛物线、椭圆、双曲线几何性质的区别
2、弦长的算法
设直线l：y＝kx＋b交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝
|x1－x2|＝
＝
·|y1－y2|＝
3、焦点弦的性质与弦长
如果抛物线y2=2px(p>0)上两点M(x1，y1)、N(x2，y2)与焦点F(，0)共线，则有y1y2
＝－p2，x1x2＝；|MN|＝x1＋x2＋p≥2＋p＝2p，当且仅当x1＝x2＝
时，|MN|
＝2p叫通径，通径是最短的焦点弦．取∠xOM＝θ，则|MN|＝．
三、典型例题剖析
例1、一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3
，求抛物线方程．
分析：本题可用待定系数法，设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，由弦长公式求出待定系数p，从而确定抛物线的方程．
解：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，将直线方程y＝2x－4代入整理得：2x2－(8＋p)x＋8
＝0． 设方程的两个根为x1、x2，则根据韦达定理有x1＋x2＝，x1x2＝4．
由弦长公式得：(3
)2＝(1＋22)［(x1＋x2)2－4x1x2］
即9＝()2－16
整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2或p＝－18，此时Δ>0． 故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x．
例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
分析： 结合图形可知，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出边长．
解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y12＝2px1，y22＝2px2．
又|OA|＝|OB|，所以x12＋y12＝x22＋y22， 即x12－x22＋2px1－2px2＝0， 整理得：(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1>0，x2>0，2p>0．
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y12＝2px1联立解得y1＝2
p．
∴|AB|＝2y1＝4
p．
例3、正方形ABCD的边AB在直线y＝x＋4上，C、D两点在抛物线y2＝x上，求正方形ABCD的面积．
分析：
设直线CD的方程，代入抛物线方程，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求解．
解： 依题意，设直线CD的方程为y＝x＋b，C(x1，y1)、D(x2，y2)．将直线CD方程代入抛物线方程，消去x，得y2－y＋b＝0． 由韦达定理得：y1＋y2＝1，y1y2＝b．
∴|CD|＝．
又CD和AB间的距离d＝，
由＝
，解之得b1＝－2，b2＝－6．
∴|CD|＝3或|CD|＝5，∴S＝18或S＝50．
例4、直线l通过抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点，并且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．
(1)求证：y1y2＝－p2；
(2)点C在抛物线的准线上，并且AC∥x轴，求证：B、C和抛物线的顶点三点共线． 分析：
斜率相等是描述三点共线的简便方法，但对于(1)应区分AB是否平行于y轴．
证明： (1)若AB平行于y轴，则x1＝x2＝ ∵y12＝2px1，y22＝2px2．
∴(y1y2)2＝4p2x1x2＝p4，又y1与y2异号． ∴y1y2＝－p2．
．
若AB不平行于y轴，则x1≠x2，由A、B、F三点共线，
得 ①
∵y12＝2px1，y22＝2px2，∴x1＝，x2＝
．
代入①，得，即
，∴y1y2＝－p2．
(2)抛物线y2＝2px的顶点O(0，0)，准线方程为x＝－，
∵AC平行于x轴，且C在准线上，∴C(－
，y1)，
∵kBO，kOC＝，∴kBO＝kOC．
故B、O、C三点共线．
例5、设抛物线y2=4x截直线y=2x＋k所得弦长|AB|=3 (1)求k的值；
．
(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标．
分析：本题考查直线与抛物线的性质及综合运算能力． 解：
(1)设A、B,由
得，
∴k<．
又由韦达定理,
∴|AB|=·=·.
即=3，∴k=－4．
(2)设x轴上点P(x，0)，P到AB的距离为d,则
d==,
S△PAB=·3·=39，
∴|2x－4|=26. ∴x=15或x=－11.
∴P点为(15，0)或(－11，0).
