１４ 数学通讯一２００９年第ｌ２期（下半月） ·同步参考· 绝对值函数的解析性质与应用 康 宇 马跃进 （广东省深圳市石岩公学，５１８１０８） （江西省赣县教师进修学校，３４１１００） 对于形￣ｆｌｆ（ｘ）＝∑ｐ ｆ ｚ—ｎ ｆ（ｐ ， ∈Ｒ） 故（１）若∑ｉ＝ｌ Ｐｉ＞０，则由①可知 的函数，我们称之为绝对值函数． 当 ≤ａｌ时，‘．。，（ｚ）是递减函数，其图像是 近年来一些省市的高考试题中，常常可以发 条射线，．’． ｘ）＝ｆ（ａ１）；无最大值； 现以绝对值函数为背景的问题，文［１］、［２］分别从 当 。≤ ≤口２时，’．’ｆ（ｘ）的图像是一条线 绝对值的几何意义出发，给出了这类问题的一种 段，．‘． （ ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ａｉ），ｆ（ａ２）｝； 解法．本文拟以函数的视角来审视问题，给出绝对 值函数更为深刻的一些解析性质，并列举这些性 当 ≤ ≤ ＋ｌ时，’．’Ｊｒ（ ）的图像是一条线 质的一些应用，以供教学中参考． 段，．‘． （ ）＝ｍｉｎｌｆ（ａｊ），ｆ（ａｊ＋１）｝； 命题１ 设函数ｆ（ｚ）＝ Ｐ ｚ—日 ｌ（Ｐ ，ｎ ∈Ｒ）． 当ａ 一ｌ≤ ≤ｎ 时，。．‘ｆ（ｚ）的图像是一条线 （１）若 Ｐ ＞０，则 （ｚ）＝ｍｉｎ｛厂（ａ１）， 段，．。．厶 （ ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ａ 一１）。ｆ（ａ ）｝； ｆ（ａ２），…，，（口 ）｝，无最大值； 当ｘ≥ａ 时，。．‘厂（ｚ）是递增函数，其图像是 条射线，．’． （ｚ）＝ｆ（ａ ），无最大值． （２）若 Ｐ ＝０，则 （ ）＝ｒｎｉｎ｛ｆ（ｎ】）， ｆ（ａ２），…，ｆ（ａ ）ｌ， （ｚ）＝Ｈｍｘ｛ｆ（ａ，），ｆ（ａ２）， 因此，若 Ｐ ＞０，则当 ∈Ｒ时， （Ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），…，ｆ（ａ ）｝，无最大值．如图１ ｆ（ａ ）｝； （３）若 ＜０，则 （ｚ）＝ｎｍ｛ｆ（口Ｉ）， （１）所示． 同理可证，命题中的（２）、（３）也成立．如图１ ｆ（ａ２），…，ｆ（ａ ）｝，无最小值． （２）、（３）所示． 证明不妨设ａｌ≤ａ２≤。３≤…≤口 一】≤ｎ ． 则 ）’Ｊ （∑＝ｌ Ｐｉ）ｘ＋ ｐｔ，ｚ≤ ｉａｉ（户·一薹ｐ 一ｐｔ。一十壹Ｍ， ｛ ．Ｊ ＾／。 ‘。。。’—／＼＼～ Ｄ ｒ， ＼ｉ ０ Ｖ ｜ Ｄ 口ｌ≤ ≤ａ２， ） 图１（１） 图１ （２） 图１（３） （ｆ（ｘ）＝ 高ｐ 一 享－户 ） 一｜骞户 ① 综上可知，命题成立． ＋ 未。户 ， ≤ ≤ ＋－， 命题２若ｆ（ｘ）： Ｊ 一口 Ｊ，ｎｌ≤ａ２≤ａ３ ≤…≤ａ 一ｌ≤ａ ．则当ｎ为奇数时， （３２）： ＾一ｌ 一１ ，（ｎ ）；当 为偶数时， （ ）＝ｆ（ａ ）＝ （ ｐ —ｐ ）ｚ一 ｐ，ａ ＋ ， Ｚ ，（。婴＋１）－ ａ 一１≤ ≤ａ ， （１砉户 一砉觚， ≥ 证明由已知条件可得 同步参考· 数学通讯一２００９年第１２期（下半月） １５ 一舰＋ 口ｆ， ≤口ｌ， 证明 不妨设口１≤ｎ２≤ｎ３≤…≤口 一ｌ≤口 ． ａｓ＋ａ 一』＋１ ２ｍ（Ｊ １，２，…，ｎ）． （２一ｎ）ｘ一口ｌ＋妥ａｉ ｒａｌｅｘｉａ２， 由②，并结合图像直观可知 ｆ（ａｓ）一ｆ（ａ 一ｊ＋１） ｆ（ｘ）＝ （ 一 ） —Ｉ骞 享。 ② ［（ 一ｎ）ａｓ一蚤ｎ ＋ ａ ］ ｑ≤ ≤ ＋１， １１２（ 一 ）一 －一 ａ ｉ＝ｌ 耋＋。ｎ ｝ （２ｊ— ）（ ＋ 川）一（善ａｓ＋ ： ＋。口 （１ｌ＂一２）Ｘ一 ａｆ＋ａ ，ａ 一ｌ≤ ≤ｎ ， 辜。ａ ＋篙ｎ ） 舭一 口 ，ｚ≥口 ． （２ｊ一，ｚ）（ａｊ＋ａｎ－』＋１）一Ｊ（ａｓ＋ａｎ－ｊ＋１） 为奇数时，由②可知当 ＝！ 时，一 ，（２ ＋（ —ｊ）（ａｓ＋１＋ａｎ－』） （２ｊ— ）ｍ— ｍ＋（ 一Ｊ）ｍ＝０． ），…，［２（ｊ一１）一 ］均小于０，故，（ ）在区间 即ｆ（ａｓ）：ｆ（ａ 一ｊ＋１）． （一ＧＯ，ａ１］Ｕ［ａｌ，ａ２］Ｕ…Ｕ［ａｓ一１，ａｓ］内单调递 ，（ ）的图像关于直线 ＝ｍ对称．如图３ 减，￣ＹＬｆ（ｘ）在区间（一ｏｏ，ａｓ］是连续的，即知ｆ（ｘ） （１）、（２）所示． 在区间（一ｏｏ，ａｓ］单调递减（不一定严格，以下 同）． ） １ ． 同理可得，ｆ（ｘ）在区间［ａｓ，＋ｏｏ）是单调递增 ｜ ．／ ｜． （不一定严格，以下同）． 综上可知， （ ）＝ｆ（ａｓ）＝，（。 ）．如图２ Ｚ ｒＪ ｆ） ： （１）． Ｊ ｌ ｙ Ｉ 图３（１） 图３（２） １ 例１ （１）（２００６年全国高考卷Ⅱ理科题，文 ｉ～ ｜． √ 最后，我们来列举上述命题的一些运用． ［１］例２）函数ｆ（ｘ）＝ Ｉｚ—ｎＩ的最小值为 Ｄ “旦 ｒＪ ａ４“ ｌ （ ） （Ａ）１９０． （Ｂ）１７１． （Ｃ）９０．．（Ｄ）４５． 图２（２） （２）（２００７年广东高考 ｎ为偶数时，仿上可说明，ｆ（ｘ）在区间 题，文［１］例４）图４是某汽车 （一∞，ａ ］单调递减，在区间［ 苎＋ｌ，＋∞）单调递 ２维修公司的维修点环形分布 增． 图．公司在年初分配给Ａ、Ｂ、 又’－。ｎ号≤ ≤。号＋ｌ， Ｃ、Ｄ四个维修点某种配件各 图４ 号 ５０件．在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点 ｆ（ｘ）＝一 口 ＋∑口 ， · 的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整 ｉ ｛“ （ｚ） ，（。号） ，（。号＋，）·如图２（２）· 只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调 整，最少的调动件次（ 件配件从一个维修点调整 命题３若厂（ｚ） ｝ —ｎ ｌ，且ａｓ＋ 到相邻维修点的调动件次为 ）为 （ ） ａ 一，＋ｌ＝２ｍ（ｍ为常数，Ｊ＝１，２，…， ）．￣ｌＪｆ（ｘ） （Ａ）１８． （Ｂ）１７． （Ｃ）１６． （Ｄ）１５． 的图像关于直线ｚ＝ｍ对称． 分析 （１）。．。１，２，３，…，１９为等差数列， １６ 数学通讯一２００９年第１２期（下半月） ·同步参考· 直接利用命题２有 （ ）＝ｆ（１０）＝２（１＋２＋…＋９）＝９０．故 （Ａ）（～ｃｏ，一１］Ｕ［４，＋ｏｏ）． （Ｂ）（一ｏｏ，一２］Ｕ［５，＋ｏｏ）． （Ｃ）［１，２］． （Ｄ）（～ｃ一。，一１］Ｕ［２，＋ｃ，。）． （２）（２００７年全国高中联赛题，文［２］例题） 设实数ａ使不等式１ ２ｘ—ａ Ｉ＋Ｉ ３ 一２口ｌ≥ａ 对 选（Ｃ）． （２）设Ａ调Ｂ，Ｂ调Ｃ，Ｃ调Ｄ，Ｄ调Ａ的件 数顺次为 ｌ，ｚ２， ３，ｚ４，依题意需求函数 ＝ Ｉ ７ｌ３ Ｉ＋ｌ ３７２ Ｉ＋ｌ ７３３ Ｉ＋ｌ ７３４ Ｉ，可得Ｙ＝ｆ（３７１）＝ ｌ ７３ｌ Ｉ＋Ｉ ７３ｌ＋５Ｉ＋Ｉ ｌ＋１ ｌ＋ｌ ７３１—１０ｌ的最／Ｊ、值． 应用命题１，可知 于任何实数ｚ恒成立，则满足条件的ａ所组成的 集合为 （ ） （ｚ１）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｏ）， ，（一５），ｆ（一１），－厂（１０）｝：ｒａｉｎ｛１６，２４，ｌ６，３６｝＝ １６．选（Ｃ）． 例２（２００９年上海高考理科题）某地街道 呈现东一西、南一北向的网络状，相邻街距都为 １．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两 条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（～２， ２），（３，１），（３，４）（一２，３），（４，５），（６，６）为报刊零 售点。请确定一个格点（除零售点外）——为发 行站，使６个零售点沿街到发行站之间路程的和 最短． 分析设发行站的位置坐标为（３７，Ｙ），零售 点到发行站的距离为 ＝２Ｉ ＋２ Ｊ＋Ｊ Ｙ一２ ｌ＋２ Ｊ 一３ Ｊ＋Ｊ ｙ一１ Ｊ＋ＩＹ一４Ｉ＋】Ｙ一３ｊ＋Ｊ ｚ～４ Ｊ＋Ｊ ｙ一５ Ｊ＋ｊ ～６ Ｊ ＋ｌｙ一６ Ｊ 命，（ｚ）＝２ｌ ＋２ Ｉ＋２ Ｉ７３—３ Ｉ＋ｌ ７３—４ Ｉ＋ Ｉ７３—６Ｉ， ｇ（Ｙ）＝ＩＹ一１ｌ＋ｌ 一２Ｉ＋Ｉ 一３Ｉ＋ｌＹ～４ｌ ＋ＩＹ一５Ｉ＋Ｉ Ｙ一６１． 则 ＝ｆ（３７）＋ｇ（Ｙ）．欲求 的最小值，只需 分别求Ｉ￣ｆ（３７），ｇ（Ｙ）的最小值即可． 由命题１有 ｆ，ｍ ３７）＝ｍｉｎ｛ｆ（一２），ｆ（３），ｆ（４），ｆ（６）｝＝ ｍｉｎ｛２４，１４，１６，２４｝＝１４，此时３７＝３． ｇ （Ｙ）＝ｍｉｎ｛ｇ（１），ｇ（２）、，ｇ（３），ｇ（４）， ｇ（５），ｇ（６）｝＝ｍｉｎ｛１５，１０，９，９，１１，１５｝＝９，此时Ｙ ＝３，４． 即取点（３，３）或（３，４）时， 取得最小值．但依 题意，只能取点（３，３）时，２取得最小值２３． 例３ （１）（２００９重庆高考理科题）不等式 Ｉ ＋３ ｌ—Ｉ ｚ一１ １≤ａ 一３口对任意实数３７恒成 立，则实数ａ的取值范围为 （ ） （Ａ）［～号，号］． （Ｂ）［一号，丢］． （Ｃ】卜丢，号］．（Ｄ）［＿３，３］． 分析（１）设ｆ（ｘ）＝ｆ ＋３ ｉ ～１ ｆ．由命 题１知 （ ）：ｍａｘ｛ｆ（一３），，（ｉ）｝＝４． 依题意有ａ 一３口≥４ ｎ≤一１，或ａ≥４．选 （Ａ）． （２）设ｆ（ｘ）：ｆ２３７一ａｆ＋ｆ３ｚ一２ｎｉ＝２ｆｚ一 旦２ ｌ＋３］ｘ－等１． 则由命题１知，Ｊｒ（ ）的最小值为ｒｎｊｎ｝，（詈）， （警）｝＝号ｌａｌ，只须号ＩｎＩ＞／ａ２，解得ｌ ｎＩ≤号， 故选（Ａ）． 例４ （２００８年山东高考理科题）设函数 ｆ（ ）＝Ｉ ＋１ Ｉ＋Ｉ ｚ—ａ ｌ的图像关于直线 ＝１ 对称，则ａ的值为 （ ） （Ａ）３． （Ｂ）２． （Ｃ）１． （Ｄ）一１． 分析利用命题３，设～１＋ａ：２ｍ，￣ｌＪｆ（ｘ） 的图象关于直线 ：ｍ对称．依题意可得挚 ＝１ 口＝３．选（Ａ）． 值得指出的是，上述绝对值函数的解析性质， 还可以有更广泛的应用，有兴趣的读者不妨继续 探讨． 参考文献： ［１］郝彪杰．绝对值几何意义的应用．数学通讯， ２００９（９上半月）． ［２］龚兵．一道数赛题的巧解及推广应用．数 学通讯，２００９（９上半月）． （收稿日期：２００９—０９—２４）
