第五章扭转杆件的强度与刚度计算圆轴扭转时的应力和变形计算

第五章扭转杆件的强度与刚度计算圆轴扭转时的应力和变形计算圆轴扭转时的强度和刚度计算非圆截面杆的自由扭转简介1圆轴扭转时的应力和变形计算纯扭转圆轴横截面上的内力分量─扭矩T假设─横截面保持为平面横截面上的应力─没有正应力─只有切应力─垂直与半径3圆轴扭转时的应力和变形计算物性关系---剪切胡克定律–在弹性范围内加载，当切应力不超过材料的剪切比例极限b时，切应力与切应变成正比，其比例系数为材料的切变模量G= G即得横截面上处的切应力为＝G dφ/dx横截面上切应力的分布规律如图示5圆轴扭转时的应力和变形计算实验现象─圆周线大小、形状、间距不变，只是转过了一个角度─纵向线转过了一个角度，矩形网格变成平行四边形切应变2圆轴扭转时的应力和变形计算横截面上切应力公式推导属于超静定问题，需借助于变形协调、物性关系、静力关系。变形协调方程设dφ代表微段dx相对扭转角则距轴线为处的切应变为= dφ/dx最大的切应变发生在最外层=R dφ/dxρ∝4圆轴扭转时的应力和变形计算静力关系横截面上切应力合成的结果是该截面上的扭矩TdddxGA2dAdAAdxGIPdTdxGIPIP－圆截面的极惯性矩G IP－圆轴的抗扭刚度61圆轴扭转时的应力和变形计算圆轴扭转切应力表达式TIPmaxTRTI PWP处于圆截面外边缘上圆截面的扭转截面系数WP＝IP/R 7薄壁圆筒的扭转切应力薄壁圆筒定义 R0/10假设─切应力沿壁厚均匀分布扭转切应力公式─仅由扭转切应力与扭矩之间的静力关系可得T2R029切应力互等定律及纯剪切的概念切应力互等定理─在单元体相互垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力大小相等，方向指向或背离该交线纯剪切─单元体的各个侧面上只有切应力而无正应力11圆截面极惯性矩和扭转截面系数圆轴扭转切应力表达式 TTRImaxITzPPWPO直径为D 的实心圆轴dD4D3DIP32WP16内、外径分别为d、D 的空心圆轴，＝d /DID4D34P32(14)WP16(1)8切应力互等定律及纯剪切的概念切应力互等定理及纯剪切的概念由单元体的平衡方程：MzF0dydzdxdxdzdy010剪切胡克定律弹性材料常数关系物性关系---剪切胡克定律─在弹性范围内加载，当切应力不超过材料的剪切比例极限τb时，切应力与切应变成正比，其比例系数为材料的切变模量Gτ= G三个材料常数有如下关系GE2(1)122圆轴扭转时的变形计算相距dx的两个横截面之间的相对扭转角dTGIdxP相距为l 的两个横截面之间的扭转角TlGIdxP长为l ，扭矩为常数的等截面圆轴TlGIP的单位为rad（弧度），GIP 为扭转刚度13第五章扭转杆件的强度与刚度计算圆轴扭转时的应力和变形计算圆轴扭转时的强度和刚度计算非圆截面杆的自由扭转简介15圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件可进行三方面的计算–校核强度–选择截面尺寸–确定许可荷载17圆轴扭转时的变形计算杆长为l 的圆杆扭转变形的三种计算表达式常数TlGIP分段函数TiliGIPi积分T(x)lGIdxP(x)14圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件─在纯剪应力状态，最大工作切应力不超过材料的许用切应力max[]Tmax(W)max[]P塑性材料：0.50.6脆性材料：0.81.016例1 如图示等截面传动轴上作用三个外力偶矩，MeA=1kN·m，MeB=2kN·m，MeC= 3kN·m；材料的许用切应力[] = 60MPa。（1）若轴的直径D = 60mm，试校核该轴强度；（2）若将实心轴改为= d /D1= 0.916的空心轴，在max相同的情况下，求空心轴的外径D1及空心轴与实心轴的重量比。1832解：（1）作扭矩图如图b示1（2）由强度条件有TmaxTmax(2103)16maxWPD33.14(60103)31647.2MPa[]60MPa实心轴的强度足够19圆轴扭转时的强度和刚度计算受扭圆轴的刚度计算–单位扭转角沿轴线的变化率dTdxGIP扭转角沿轴线变化率的许用值[] (单位rad/m或0/m)─对于一般传动轴，[] ＝(0.5~1.0)0/m─对于精密机械中的轴，[] ＝(0.15~0.5)0/m受扭圆轴的刚度条件(TGI)max[]P等截面受扭圆轴的刚度条件TmaxGI[]P21解：（1）内力分析TADTDB200 NmTBC400 Nm作扭矩图23（3）依题意，空心、实心轴的最大切应力相等，即TmaxTmax3D3maxDW1PWP11616(14)DD601031314310.9190mmW21A1D1(12)(90103)2(10.9162WAD2)(60103)20.362（4）问题：若将空心轴改为截面面积相等的实心轴，强度是否仍满足要求？为何从强度观点考虑，空心轴较实心轴合理？20例2 如图a所示的圆截面阶梯轴，dd知作用在轴上的外力1= 30mm，2=40mm。已偶矩，MeA=200Nm，G M= 80GPa；eB= 600Nm，M[] =2eC= 400Nm材料的剪切弹性模量0/m 。试求扭转角AC并校核轴的刚度。22（2）计算截面的极惯性矩AD 段：Id4(30103 )4P1132327.9510-8 m4DC 4段：(40103 )4IdP22323225.110-8 m4（3）计算扭转角ACACADDBBC TADlADTDBlDBTBClBCGIP1GIP2 5.45103 rad244（4）刚度校核应分别校核AD 段和BC 段的扭转刚度TAD200 180ADGI180P1(80109 7.9510-8) 1.880/m[]BCTBC180400GI 180P2(80109 )(25.110-8) 1.140/m[]该轴满足刚度要求25非圆截面矩形杆扭转问题简介特点：横截面不再保持为平面而发生翘曲扭转类型─自由扭转：扭转杆横截面的翘曲不受任何约束。即各横截面的翘曲程度相同，其上只有切应力而无正应力─约束扭转：各横截面的翘曲程度不相同，其上既有切应力又有正应力27非圆截面矩形杆扭转问题简介（4）短边中点处的切应力是短边上各点切应力的最大值：maxmax是为长边中点处的切应力,也是与截面边长比值h /b有关的因数（5）杆件两端相对扭转角为：TlTlGhb3GItGIt=Ghb3：杆件的抗扭刚度。也是与截面边长比值h /b有关的因数29第五章扭转杆件的强度与刚度计算圆轴扭转时的应力和变形计算圆轴扭转时的强度和刚度计算非圆截面杆的自由扭转简介26非圆截面矩形杆扭转问题简介矩形截面等直杆的自由扭转问题：杆横截面上的切应力分布如图示特点(1) 截面边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流(2) 四个角点上的切应力等于零(3) 在矩形长边的中点处，切应力为最大值：Tmaxhb2是一个与截面边长比值h /b (hb)有关的因数28在横截面积相等的条件下，矩形扭杆产生的最大切应力要比圆杆的大得多。305