材料力学习题解答(拉伸、压缩与剪切)

40kN 2 30kN 3 1

20kN (a)

1 2 3

3 2 1 (b)

P 1 4P 2 3 解: (a)

(1)求约束反力

40kN 2 30kN 3 1

20kN R 1 2 3 X0 R4030200

R50kN(2)求截面1-1的轴力

R 1 N1 1 X0 RNN150kN(3)求截面2-2的轴力

R 10

40kN 2 N2

2 X0 R40NN210kN(4)求截面3-3的轴力

N3 3 3 20kN

20

X0 20NN320kN(5)画轴力图

N ( KN ) 50 (+) 10 30

(-) －20 x (b)

(1)求截面1-1的轴力

1 N1

1 N10

(2)求截面2-2的轴力

2 N2

4P 2 2X0 N(3)求截面3-3的轴力

4P0N24P3

N3 4P P 3 X0 N3P4P0N33P

(4)画轴力图

N 4P 3P (+) x

2.3. 作用图示零件上的拉力P=38kN，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其

值。

20

P

1 1 22 10

2 2

3 3

P 22 15 15

50 50

解：(1) 1-1截面上的应力

上海理工大学 力学教研室 1

P38103167.86MPa 6A1(5022)2010(2) 2-2截面上的应力

P38103263.33MPa

A221520106(3) 3-3截面上的应力

P38103345.24MPa 6A3(5022)15210(4) 最大拉应力在1-1截面上

σmaxσ167.86MPa

2.4. 设图示结构的1和2两部分皆为刚体，钢拉杆BC的横截面直径为10mm，试求拉杆内

的应力。

P=7.5kN 1.5m 1.5m 3m G

E A 1 2 D 1.5m

0.75m

B C 解：(1) 以刚体CAE为研究对象 P=7.5kN

1.5m 3m E G

A NE’

1.5m

NC

C m

A'0 NE4.5NC1.5P30

(2) 以刚体BDE为研究对象

1.5m NE E D 0.75m B NB m上海理工大学 力学教研室 D0 NE1.5NB0.750

2

(3) 联立求解

'NBNC NENENC6kN(4) 拉杆内的应力

NB610376.4MPa 2A0.01/42.5.图示结构中，杆1、2的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。

2 1.5m 10kN

C B D A 1m 1m 1.5m 1.5m 1

解：(1) 以整体为研究对象，易见A处的水平约束反力为零；

(2) 以AB为研究对象(B处不带销钉) A XB B

RA YB

由平衡方程知

XBYBRA0

(3) 以杆BD为研究对象

由平衡方程求得

N2 D 1m C 1m 10kN B N1 mC0 N111010N110KN

Y0 N(4) 杆内的应力为

2N1100N220KN上海理工大学 力学教研室 3

N1101031127MPa2A10.01/42N2201063.7MPa2A20.02/43

2.7. 冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力P=1100

kN 。连杆的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4。材料为45钢，许用应力为[]=58 MPa，试确定截面尺寸h和b。 A B

h

b

解：强度条件为

P[σ] A又因为 A = bh = 1.4b2 , 所以

P1100103b116.4mm6 1.41.45810h1.4b162.9mm2.8. 图示夹紧机构需对工件产生一对20 kN的夹紧力，已知水平杆AB及斜杆BC和BD的

材料相同，[]=100 MPa，=30o。试求三杆的横截面直径。

C  工A B P 件  D

l l 解：(1) 以杆CO为研究对象 O C

S1  N uurmo(F)0 NlS1cos300l0N20103S123.1kNcos300cos300

(2) 以铰B为研究对象

上海理工大学 力学教研室 4

S1

P B S2 S1   P S2

PS1S223.1kN

(3) 由强度条件得三杆的横截面直径

dABdBCdBD423.11034P17.2mm 6[]100102.10 图示简易吊车的杆BC为钢杆，杆AB为木杆，。杆AB的横截面面积A1=100 cm2，许用

应力[]1=7 MPa；杆BC的横截面面积A2=6 cm2，许用应力[]2=160 MPa。求许可吊重P。 C 钢

30o B A 木 P

解: (1) 以铰B为研究对象，画受力图和封闭的力三角形； N2 N2 P N1 B 30o

N1

P N1Pctg30o3P PN22Posin30(2) 由AB杆的强度条件

N13P[]1 []1A1A1A1[]110010710P334640.4kN

(3) 由BC杆的强度条件

N22P[]2 []2A2A2A2[]2610P2(4) 许可吊重

41601048kN6

2[P]40.4kN

上海理工大学 力学教研室 5

注：BC杆受拉，AB杆受压；BC杆的强度比AB杆的强度高。

2.11 拉伸试验机通过杆CD使试件AB受拉，如图所示。设杆CD与试件AB的材料同为低

碳钢，其p=200 MPa，s=240 MPa，b=400 MPa。试验机的最大拉力为100 kN。 (1) 用这试验机作拉断试验时，试件最大直径可达多少？

(2) 设计时若取安全系数n=2，则CD杆的横截面面积为多少？

(3) 若欲测弹性模量E，且试样的直径d=10 mm，则所加拉力最大值为多少？

D

C B

A

解：(1) 试样拉断时

NPb1A2dmax4dmax2Pmax

b21001017.84mm6400103(2) 设计时若取安全系数n=2，则CD杆的强度条件为：

N[]s ACDn所以CD杆的截面面积为

ACDNns100102833mm32240106

(3) 测弹性模量E时，则AB杆内的最大应力为：

max所加最大拉力为

NmaxP AAB1NmaxPAAB2001060.01215.71kN

42.13 阶梯杆如图所示。已知：A1=8 cm2，A2=4 cm2，E=200 GPa。试求杆件的总伸长。

A2 A1 60kN 40kN 20kN

200 200

上海理工大学 力学教研室 6

解: (1) 用截面法求1-1, 2-2截面上的内力： A2 2 60kN 40kN

200

2 A1 1 20kN 200 1 N120kN N240kN

(2) 求A1段的变形：

201030.2N1L1l10.025mm

EA12001098104(3) 求A2段的变形：

401030.2N2L2l20.1mm 94EA220010410(4) 杆件的总变形：

ll1l20.075mm

注：A1段缩短，A2段伸长，总变形为伸长。

2.14 在图示结构中，设CF为刚体(即CF的弯曲变形可以不计)，BC为铜杆，DF为钢杆，

两杆的横截面面积分别为A1和A2，弹性模量分别为E1和E2。如要求CF始终保持水平位置，试求x。

D

B

A1 A2 l2 l1 P C F x l

解: (1) 研究CF，求BC和DF的受力： NBC P NDF

F C x l

MC0 PxNDFl0NDFxPl7

上海理工大学 力学教研室 MF0 PlxNBCl0NBClxPl

(2) 求BC和DF杆的变形；

lBCNBClBClxPl1E1A1lE1A1NDFlDFxPl2E2A2lE2A2

lDF(3) 变形关系；

lBClDFlxPl1xPl2 lE1A1lE2A2xl1E2A2l

l1E2A2l2E1A12.15 像矿山升降机钢缆这类很长的拉杆，应考虑其自重影响。设钢缆密度为ρ，许用应力为

[]，下端所受拉力为P，且截面不变。试求钢缆的允许长度及其总伸长。 解：(1) 分析钢缆的受力 N(x)

l q

x P P (2) 钢缆重量沿杆长的分布集度为：

qgA

(3) 钢缆的内力：

N(x)PqxPgAxNmaxPgAl(4) 钢缆的强度条件：

maxNmaxPgl[]AA P[]A[]APlggA(5) 钢缆的总伸长：

上海理工大学 力学教研室 8

lPgAxNx2PlgAl2ldxdx0EA0EA2EA 222A[]P2EA2gl2.22 由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面面积均为500 mm2，E=200 GPa。设沿对

角线AC方向作用一对20 kN的力，试求A、C两点的距离改变。

A B

a

C

D a

解：(1) 分析铰A的受力 P P N AD NAB A

NAB

NAD NABNAD(2) 分析铰B的受力

N’AB NBD B 2P 2NBD

N’AB

NBC

NBC

'NBCNAB'NBD2NAB2P2 P同理可得：

NCD(3) 使用功能原理

2P 2W21P 22Pa22NiliP22a22P2aU4

2EA2EA2EA2EA上海理工大学 力学教研室 9

UWPa20103a2222

EA2001095001066.83104a2.26 受预拉力10 kN拉紧的缆索如图所示。若在C点再作用向下15 kN的力，并设缆索不

能承受压力。试求在h=l/5和h=4l/5两种情况下，AC和BC两段内的内力。 YB B B l C C 15KN

h

A A

YA

解：(1) 分析AB杆的受力，列平衡方程

YBYA15  0

(2) 求BC、AC段的变形

lBCNBClBCYBlhEAEA NlYhlACACACAEAEA(3) 根据变形谐调条件

lbClAClYBlhYAh10l

EAEAEAYB10hYBYAl(4) 当h=l/5时

YB13 kN YA2 kN

缆索只能受拉不能受压，则AC段的内力为零

YA0 YB15 kNNAC0 NBC15 kN(4) 当h=4l/5时

上海理工大学 力学教研室 10

YA7 kN YB22 kNNAC7 kN NBC22 kN

2.28 在图示结构中，设AC梁为刚杆，杆件1、2、3的横截面面积相等，材料相同。试求三

杆的轴力。 2 1 3

a a l

A B C

P

解：(1) 以刚杆AC为研究对象，其受力和变形情况如图所示 N1 N2 N3

C B A ΔL3 P ΔL2 ΔL1

(2) 由平衡方程

Y0 NNNP0

m(F)0 Na2Na0123A23(3) 由变形协调条件

Δl1Δl32Δl2

(4) 由物理关系

Δl1(5) 联立求解得

NlN1lNl Δl22 Δl33 EAEAEA511N1P N2P N3P

6362.31 阶梯形钢杆的两端在T1=5oC时被固定，如图所示，杆件上、下两段的横截面面积分别

是A上=5 cm2，A下=10 cm2。钢材的=12.5×10-6 /oC，E=200 GPa。若温度升高至T2=25oC，试求杆内各部分的温度应力。

上海理工大学 力学教研室 11

R1

A1 a

A2 a

解：(1) 阶梯杆的受力如图所示，由平衡条件可得

A1 a A2

a R2 R1R2

(2) 由温度升高引起的阶梯杆伸长为

lttl(T2T1)2a

由两端反力引起的阶梯杆缩短为

Δl(3) 变形谐调关系

R1aR2a EA1EA2llt0 R1aR2a(T2T1)2aEA1EA2求得约束力

R1R22ET1T2A1A2A1A2220010912.5106255510410104510101044

33.3KN(4) 计算杆内的应力

1R1R66.7MPA 2133.3MPa A1A22.33 在图示三杆桁架中，1、2两杆的抗拉刚度同为E1A1，杆3为E3A3。杆3的长度为l+，

其中为加工误差。试求将杆3装入AC位置后，杆1、2、3的内力。

上海理工大学 力学教研室 12

B D C C 1 3 2

l l+δ

α α

A A’

解：(1) 杆1、2、3装配后，三杆的铰接点为A1，假设杆3压缩，而杆1和杆2伸长。对

A1受力分析 N1 N2

A1

N3

由平衡方程

X0 (NY0 (N(2) 三杆的变形关系

由此得变形谐调条件

2N1)sin0N2)cosN30

1A l2 l1 A1 δ l3 Δl1(δΔl3)cosα

(3) 三杆的变形-物理关系

l1NlN1l1Nl l222 l33 E1A1E1A1E3A3l1l2lcos

得补充方程

NlN1l1(3)cos E1A1E3A3(4) 联立求解平衡方程和补充方程得到三根杆的内力

E1A1E3A3cos2N1N2l(2E1A1cos3E3A3)N32E1A1E3A3cosl(2E1A1cos3E3A3)13

3

上海理工大学 力学教研室 2.38 一螺栓将拉杆与厚为8 mm的两块盖板相联接，如图所示，各零件材料相同，许用应

力均为[]=80 MPa，[]=60 MPa，[bs]=160 MPa。若拉杆的厚度t=15 mm，拉力P=120 kN，试确定螺栓直径d及拉杆宽度b。

d

P/2

t P

P/2

b P P

解：(1) 根椐螺栓剪切强度条件

QP/2Ad2/42P2120103d35.7 mm66010(2) 根椐拉杆挤压强度条件

bsdFbsPbsAbsdtP1201050 mm0.0151601063

tbs(3) 根椐拉杆拉伸强度条件

bNPA拉杆btPt12010100 mm0.015801063

(4) 取螺栓直径d=50 mm，拉杆宽度b=100 mm。

注：螺栓挤压强度比拉杆挤压强度高，所以按拉杆挤压强度计算。

2.41 图示车床的传动光杆装有安全联轴器，过载时安全销即被剪断。已知安全销的平均直

径为5 mm，材料为45钢，其剪切极限应力为u=370 MPa，求联轴器所能传递的最大力偶矩m。

m

20

轴 套筒 光杆 安全销

解：(1) 安全销被剪断时

上海理工大学 力学教研室 14

QmaxQmaxuA

1Au0.0523701067.265KN4(2) 联轴器所能传递的最大力偶矩是

MQ7.2651030.02145.3 Nm

2.42 木榫接头如图所示。a=b=12 cm，h=35 cm，c=4.5 cm，P=40 kN。试求接头的剪切和挤

压应力。 c a P P

P

解：(1) 接头的剪切应力

h h b P QP Abh QP40103 0.952MPaAbh0.120.35(2) 接头的挤压应力

PbsP Absbc PbsP40103bs7.41MPaAbsbc0.120.045上海理工大学 力学教研室 15