抛物线经典习题()

考试范围：抛物线 命题人：李志娜 审核人：李萌 考试时间：2015.10.29

一、选择题（共12题，每题5分） 1．抛物线x28y的准线方程是( ). Ａ． y2 Ｂ． x【答案】A

【解析】本题考查抛物线的简单几何性质，根据抛物线的简单几何性质易知抛物线x28y的准线方程是y2，选A

2．若抛物线xay2的离心率e2a，则该抛物线准线方程是 （ ） A ．x1 B ． x【答案】B 【解析】

试题分析：根据抛物线的离心率为1，可知2a=1,a=

11 Ｃ．y Ｄ．y2 3232111 C． x D ． x

8241,那么可知抛物线的方程为211p1xy2y22x2p2,，因此可知准线方程为x，故选B.

2222考点：抛物线的性质

点评：主要是考查了抛物线的方程以及性质的运用，属于基础题。

2

3．抛物线y＝2ax(a≠0)的焦点是( ) A.(a，0) B.(a，0)或(－a，0)

222C.(0，1) D.(0，1)或(0，－1) 8a8a8a【答案】C

【解析】试题分析：将方程改写为x即(0，

2y11|，当a＞0时，焦点为(0，||)，，可知2p＝|2a2a8a1)； 8a111|)，即(0，)；综合得，焦点为(0，)，选C 8a8a8a当a＜0时，焦点为(0，－|考点:抛物线的基本概念

4．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为

A．10或 1 B．9或 1 C．10或2 D．9或2

试卷第1页，总9页

【答案】B

【解析】考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为（x0，±6）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P到准线的距离为10，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．

2

解答：解：∵抛物线y=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6， ∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）

p的距离为10 2p∴由抛物线的定义，得x0+=10…（1）

2∵P到抛物线的准线x=-∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36…（2） （1）（2）联解，得p=2，x0=9或p=18，x0=1 故选：B

点评：本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

5．设过抛物线的焦点F的弦为PQ,则以PQ为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上答案均有可能 【答案】B

【解析】过点P、Q分别作准线的垂线PP1、QQ1,其中P1、Q1为垂足.由抛物线的定义|PP1|+|QQ1|=|PF|+|FQ|=|PQ|. ∴直径PQ的中点到准线的距离d=切.

考点：1、抛物线的简单性质；

6．若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+M对称,且x1·x2=A.11(|PP1|+|QQ1|)=|PQ|,即圆心到准线的距离等于半径.∴相221,则M等于( ) 23 2 B.

3 2 C.-3 D.3

【答案】B

2yy2y12x1,2 (x1+x2), 【解析】由得12xx12y22x2,1即x1+x2=.

21又x1x2=,

21∴x1=-1,x2=.

2试卷第2页，总9页

∴A(-1,2),B(∴M=y-x=

1115,),AB中点(,)在直线y=x+m上. 22443. 27.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )

A．y2＝9x

B．y2＝6x C．y2＝3x

D．y2＝3x

解析：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题|BB1||BC|222p2p意得|FF|＝|CF|＝3，所以|BB1|＝3|FF1|＝3，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝3.令

1

pp

A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F(2，0)，可设直线l的方程为y＝k(x－2)．

y2＝2pxk2p2222

联立方程p，消去y得kx－p(k＋2)x＋4＝0，则x1＋x2＝

y＝k（x－2）p（k2＋2）p2pp1，x·x＝.又由抛物线的定义知|AF|＝x＋，|BF|＝x＋，则可得21212

k422|AF|＋121322＝，于是有＋＝，解得2p＝3，所以此抛物线的方程是y＝3x，选C. |BF|p32pp

答案：C

8．抛物线yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是 （ ）

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2A．（1，1） B．（【答案】A 【解析】

1139,） C．(,) D．（2，4）

24242试题分析：设抛物线上的点为x0,x0点到直线的距离为d22x0x045，当x01时取得

最小值，所以点的坐标为（1，1）

考点：1．点到直线的距离；2．函数求最值

9．抛物线y2px(p0)的焦点为F，已知A,B为抛物线上的两个动点，且满足

2AFB120，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

值为 （ ）．

A． 2 B．【答案】D 【解析】 试

2|MN|的最大|AB|233 C．1 D． 33题分析：设AFa,BFb222，由余

2弦定

2理得

2ab3ABab2abcos120abababababab2422，

abAFBFMNAB2MN332 2MN4AB3考点：1．抛物线方程及性质；2．余弦定理

10．已知F是抛物线x4y的焦点，直线ykx1与该抛物线交于第一象限内的点A,B，若AF3FB，则k的值是 （ ）

2A．3 B．【答案】D

【解析】

3323 C． D． 233试卷第4页，总9页

x24y试题分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由消去x得y2(24k2)y10，则

ykx1又AFy11，BFy21，由已知y113(y21)③，y1y224k2①，y1y21②，由②③得y13,y2123，代入①得k（A,B在第一象限）. 33考点：直线和抛物线位置关系.

11．过抛物线y4xp0的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则

211（ ） ABCDA．2 B．4 C．【答案】D 【解析】

11 D． 24试题分析：根据题意，抛物线的焦点为1,0，设直线AB的方程为ykx1，直线CD的

1x1,代入y24x得:k2x22k24xk20,由韦达定理k442得:xAxB22,所以:ABxAxB242,,同理:CDxCxD44k,所

kk方程为：y11k211以22,所以答案为D．

ABCD4k44k44考点：1．韦达定理；2．抛物线的定义．

12．已知抛物线yx上一定点B（1，1）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是（ ）

A． B． （，-2][2，）（，-1][3，）C． D． （，0][3，）（，1][4，）【答案】B 【解析】

试题分析：设P(t,t)，Q(s,s)∵BP⊥PQ，∴BPPQ0，即

222(t21,t1)(s2t2,st)(t21)(s2t2)(t1)(st)0t2（s1）ts10

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，即

∵t∈R，∴必须有(s1)24(s1)0．即s22s30，解得s1或s3 答案：（－∞，－1]∪[3，+∞）

考点：抛物线的性质．

二、填空题（共4题，每题5分）

2

13．已知点A（0,2），抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__________． 【答案】2 【解析】

pp试题分析：由题意得：点B为线段FA中点，即B(,1)，所以12pp2.

44考点：抛物线定义

14.设坐标原点为O,抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点,则OAOB等于_____.解:设A(x1,x2)、B(x2,y2),则OAOBx1x2y1y2,由抛物线的过焦点的弦的 1p2132性质知:x1x2,y1y2p1.OAOB1.444415．已知直线ya交抛物线yx于A、B两点，若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角，则a的取值范围为___________．

【答案】a1 【解析】 试

题

分

析

：

设

2Cm,m2Aa,a,Ba,a

2ACma,ma,BCma,m2a

ACBC0 m2a10a1

考点：直线与抛物线相交问题

x2y216．已知抛物线y4x的准线与双曲线221(a0，b0)交于A、B两点，点F为

ab2抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】

5.

【解析】

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0)2)试题分析：抛物线焦点F(1，，由题意0a1，且AFB90并被x轴平分，所以点(1，在

04a2142bc2a221221a双曲线上，得ab，即，

4a25a2a4c25a2422cae11a21a2，所以a21a21a2， 即

20a1，e25，故e5.

考点：抛物线；双曲线.

三、解答题（共2题，每题10分） 17．（本小题满分10分）

已知直线l经过抛物线x24y的焦点，且与抛物线交于A,B两点，点O为坐标原点.

Y B A F O X

（Ⅰ）证明：AOB为钝角.

（Ⅱ）若AOB的面积为4，求直线l的方程;

【答案】(I)见解析；(Ⅱ)直线方程为y3x1,y3x1。 【解析】

试题分析：(I)依题意设直线l的方程为：ykx1（k必存在）

ykx1x24kx40，16k2160设直线l与抛物线的交点坐标为2x4yx12x221,x1x2y1y230，依向量的数A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1x24,y1y244量积定义，cosAOB0即证AOB为钝角 (Ⅱ) 由（I）可知:AB1k2x1x24(k21) ,d试卷第7页，总9页

1k12,

SAOB1ABd2k2142,k3, 直线方程为

y3x1,y3x1

考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系；弦长公式。

点评：利用一元二次方程根与系数的关系，结合数量积的坐标运算，将问题进行了等价转化。

18．（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y22px(p0)，在此抛物线上一点N(2,m)到焦点的距离是3. （1）求此抛物线的方程；

（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q(x0,y0)满足QAQB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y24x;（2）550,,05. 5【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的定义列式即可求之；（2）根据题意设出直线方程，联立直线方程

y24x2和抛物线方程，整理得ky4y4k0，假设存在直线与抛物线交于两点，

yk(x1)k0可得，得1k1且k0，由QAQB，可得其斜率之积为-1，21616k0444421，整理y0y0200，此时应满足()2800，综上可

kky0y1y0y2得55且k0. k55p， 2试题解析：（1）抛物线准线方程是x2p3，p2 22故抛物线的方程是y4x. （2）设Q(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)

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y24x由得ky24y4k0， yk(x1)k0由得1k1且k0. 21616k0 y1y24，y1y24 kkQAy0y1y0y1442，同理 kQB2x0x1y0y1y0y2y0y144441，

y0y1y0y2由QAQB得

即：y0y0(y1y2)y1y216， ∴y0224y0200， k455()2800，得且k0， kk55由1k1且k0得，

55k的取值范围为,00, 55考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的相交问题.

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