３０ 中学数学教学 ２０１０年第２期 一道最值问题的解法探讨 （邮编：２４６１４１） 安徽省怀宁县洪镇中学 张兴元 贵刊２００６年第５期《一道最值问题的解后思 ・考与感受》文中题：在／ｋＡＢＣ中，ＡＢ为最长边， 且ｓｉｎＡｓｉｎＢ一—２－ ，／ｇ，则ｃ。ｓＡｃｏｓＢ的最大值 是 ． 房老师和学生一起对这道题进行了精彩探 索，充分激发了学生的学习兴趣．事实上，在求解 过程中，漏掉了ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）与ｃｏｓ（Ａ—Ｂ）的值之 间的制约条件，导致了ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）的取值范围扩 大了，从而产生了疑问． 笔者经过推演，下面用一次函数的增减性给 出以下简明的解． 解 Ｉ．．ＡＢ为最长边， ‘．． ≤Ｃ＜丌，Ａ、Ｂ为锐角， ‘．一．１＜ｃｏｓＣ≤÷，０＜ｃｏｓ（Ａ—Ｂ）≤１． ． ．一÷≤ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＜１． ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ一一＠Ｅｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）一ｃｏｓ（Ａ— Ｂ）］一—２－ ，／ｇ， 设ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）一．ｚ，ｃｏｓ（Ａ—Ｂ）一Ｙ，则 ． 一 ．＜ｚ≤ ． 令 —ｃｏｓＡｃｏｓＢ 一 ［ｃ。ｓ（Ａ＋Ｂ）＋ｃ。ｓ（Ａ—Ｂ）］， 即 一 （ｚ＋ ） 十 １一 譬， 故当ｚ一，／ ｇ时，ｚ取最大值，ｃ。ｓＡｃ。ｓＢ的最 大值为 ． 再由柯西不等式得一另解． 解 ‘．。ＡＢ为最长边．， 。．．Ｃ为最大角，Ａ、Ｂ均为锐角． ’．．ｓｉｎＡ、ｃｏｓＡ、ｓｉｎＢ、ｃｏｓＢ均大于０． 。．。１一（ｓｉｎ。Ａ十ＣＯＳ Ａ）（ｓｉｎ Ｂ＋ＣＯＳ Ｂ）≥ （ｓｉｎＡｓｉｎＢ＋ｃｏｓＡｃｏｓＢ） ， ・ｃ。ｓＡｃ。ｓＢ≤１一ｓｉｎＡｓｉｎＢ一—２＋ ，／ｇ．．， 当且仅当丽ｓｉｎＡ一 Ｓ ｎ／Ｊｎ（Ａ—Ｂ）一ｏ， ｌ １２ｏ氅ｓ／Ｊ，即ｓｉＡ—Ｂ一 ｌｆ￣，ｃｏｓＡｃ。ｓＢ的最大值为 ． 命题的变式 在ＡＡＢＣ中，ＡＢ为最长边， ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ一 ，求ｃ。ｓＡｃｏｓＢ的取值范围． 至此，原文中引起学生的质疑就解决了．
