6.已知函数向左平移后得到偶函数
的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数
的图像，则函数
的一个单调递减区间为
的图像
A. B. C. D.
【答案】B【解析】【分析】
先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．
【详解】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，则：T＝π，所以：ω＝2
）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x故：解得：由于：
（k∈Z），（k∈Z），，
．，
θ）是偶函数，
所以：当k＝0时则
2
2
令：解得：
（k∈Z），（k∈Z），
]，
当k＝0时，单调递减区间为：[由于[故选：B．
]⊂[
]，
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.如图，已知函数
的图像关于坐标原点对称，则函数
的解析式可能是( )
A. 【答案】D【解析】【分析】
B. C. D.
抓住奇函数的判定性质【详解】根据对于A选项
对于B选项定义域不对;对于C选项当x>0的时候，
，代入，即可。
关于原点对称可知该函数为奇函数,
,为偶函数,不符合;
恒成立不符合该函数图像，故错误；
对于D选项，，符合判定，故选D。
，即可，难度中等。，且有
，则不等式
【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住8.设函数
是定义在
A. C.
B. D.
上的可导函数，其导函数为
的解集为（ ）
2
2
【答案】B【解析】由时，得式等价为，即故选B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9.定义域为的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
即
上是减函数，
在
是减函数，∴由F
得，
即不等
，
得：
即
令F（x）=x2f（x），则当
至少有6个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解析】试题分析：令∴
由图可知，要使
，，∴
图象关于直线
，即函数
对称，故将
与
，
的图象画出，
至少要有6个交点，则有
，且点
在函数的下方，即，故选B．
2
2
考点：1．函数与方程；2．数形结合的思想．
【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1．对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2．一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
10.如图，在，则
中，，，为上一点，且满足，若的面积为
的最小值为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】D【解析】【分析】
运用平面向量基本定理，得到m的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可。
【详解】
，得到
的面积为
，得到
,得到
，所以
，结合，所以
，故选D。
【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难。
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.已知函数【答案】 【解析】
分析：利用分段函数，分别求的各段函数的最小值，即可求解分段函数的最小值.
(1). 2 (2).
则
____，
的最小值为_____．
详解：函数
2
，
2
则当
，
时，二次函数开口向上，对称轴函数的最小值为
；
时函数取得最小值为，
，故答案为 2，
.
，
当时，函数是增函数，时，
，综上函数的最小值为
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
12.已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则
的概率是_______；随机变量期望是_______.
【答案】【解析】
根据题意知ξ=0，1，2，
；
；
；
所以故答案为：13.设______．【答案】 【解析】【分析】
(1). 720 (2). 1.
，则
_____，（
的值为
.
2
2
结合二项式系数公式计算，令【详解】利用二项式系数公式，
代入，计算结果，即可。
，故
故（
=
=
【点睛】考查了二项式系数公式，关键抓住，代入即可，难度中等。
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________；体积为__________.
【答案】 【解析】
(1). (2).
几何体为一个三棱锥 与一个四棱锥
的组合体，如图，其中
所以表面积为
，体积为
点睛:空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
15.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 【答案】266【解析】
由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C32C84种方法；第二类是买5本2元的书，共C85种方法．∴共有C32C84＋C85＝266(种)．
2
（用数字作答）．
2
16.已知圆：（为正实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，
则的最小值为______．
【答案】【解析】【分析】
结合题意可知，直线过圆心，得到a,b的关系，代入【详解】结合题意可知该直线过圆的圆心
，计算最小值，即可。
，代入直线方程，得到
，故最小值为
【点睛】考查了基本不等式的运用，关键得出a,b的关系式，代入所求式子，即可，难度中等。17.四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，BC//AD，已知Q是四边形
的
ABCD内部一点，且二面角两部分，则
=_______．
的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
【答案】【解析】
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．
由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴
=（﹣2，0，1），
=（﹣2，b，0）.
=（2，0，0）．
设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）
则即
，
令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴
2
．
2
∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，
∴cos＜∴S△ADQ=
＞=即
．
解得b=．
S梯形ABCD﹣S△ADQ=∵S1＜S2，∴S1=
，S2=
．
．∴S1：S2=（3﹣4）：4．
故答案为（3﹣4）：4．
点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数
（1）求该函数图象的对称轴；（2）在
中,角
所对的边分别为
,且满足
,求
的取值范围.
.
【答案】（1）【解析】
；（2）.
试题分析：（1）化简函数式得，由即可得到对称轴方程；
（2）首先由已知，应用余弦定理及基本不等式得到，根据
得到，
的值域.
，进一步可得
试题解析：（1）
2
2
由
即对称轴为（2）由已知
即
6分
，
即的值域为. 14分
考点：1.余弦定理；2.基本不等式，2.三角函数的恒等变换.19.四棱锥是线段
、
中，的中点.
平面
，为
的中点，
为菱形，
，
，、分别
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角
平面；的正切值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】【分析】
（I）证明得到FG平行PD，结合直线与平面平行的判定，即可。（II）构造出二面角，计算FM和MN，计算正切值，即可。
【详解】证明：（Ⅰ）易知
所以为BD的中点，又F为PB的中点，由中位线定理可得
平面
，
平面
，∴
平面
，所以
为平行四边形，为
的中点，连接BD交于点G，
2
2
（II）过点作过作∴不妨令
，
于，易知于，连接
，∴，则
面，则
面
即所求二面角的平面角，
，所以
.
【点睛】考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角计算方法，难度中等。
20.数列首项，前项和与之间满足.
（1）求证：数列是等差数列；并求数列
的通项公式；
对任意
都成立，求的最大值.
（2）设存在正数，使
【答案】【解析】
，
分析：（1）根据递推公式，，求得的关系；同取倒数根据等差数列的定义即可证明
时是否符合。
是
等差数列。根据等差数列通项公式定义，求出表达式，再求得。注意检验当（2）利用递推公式证明
在
上递增，根据恒成立条件即可求得k的最值。
详解：（1）因为时，∴得
由题意∴
又因为∴是以为首项，2为公差的等差数列.
故有
2
∴
2
∴时，
又，∴
（2）设
则∴
在
上递增，故使
恒成立，只需
.
又，又，∴，所以，的最大值是
点睛：本题考查了数列中应用递推公式求通项公式、判定数列的单调性，综合性强，属于难题。21.抛物线（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如图，
为抛物线上三点，且线段
与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，
上纵坐标为
的点到焦点的距离为2．
若的面积是面积的，求直线的方程．
【答案】(Ⅰ)【解析】
；(Ⅱ).
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、斜率公式、点到直线的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将纵坐标-p代入抛物线中先找到横坐标，再利用抛物线的定义，列出点M到焦点的距离，解出P和；第二问，设出A，B，C三点坐标，分
轴和
与轴不垂直分别进行讨论，当
与轴不垂直时，设出直线MB的方程，利用面积的比例
关系转化为点到直线的距离的比例关系，列出距离的等式，解出参量，得到直线MB的方程
试题解析：（1）解：设由抛物线定义，得
2
， 则所以
，． 5分
，
2
（2）由（1）知抛物线方程为，．
①设
，当
，
，，（均大于零)． 6分
，不合题意，舍去． 7分
与轴交点的横坐标依次为
的方程为
，则
轴时，直线
②与轴不垂直时，
的方程为得2
，同理2
，2
，即
， 9分
，
，
设直线令因为设点因为
依次组成公差为1的等差数列，所以到直线
的距离为，所以
，点=2
到直线，
的距离为
组成公差为2的等差数列．，
所以得所以直线
，即的方程为：
，所以
，
12分
解法二：（1）同上．（2）由（1）知抛物线方程为由题意，设设①当
，
，
．
与轴交点的横坐标依次为（
均大于零）． 6分的方程为
，则
，不合题意，舍去． 7分
轴时，直线
②与轴不垂直时，
的方程为的方程为
，即
，
，
设直线同理直线
2
2
由 得
则所以， 10分
同理所以
=2
，
，设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 因为，
所以化简得所以直线
，即的方程为：
，
12分
考点：抛物线的标准方程及其几何性质、斜率公式、点到直线的距离.22.已知函数（1）当（2）当
时，求时，讨论
的极值；的单调性；，
，恒有
成立，求实数的取值范围.
.
（3）若对任意的
【答案】（1）极小值【解析】
试题分析：第一问，将
，无极大值；（2）参考解析；（3）
代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在
时，函数的根为
二问可知，当
有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对和，所以要判断函数
时，
在
的单调性，需对为减函数，所以
对任意的
，将
的最大值代入后，
即可.
求导，
和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第为最大值，
为最小值，所以
恒成立，所以
，又是一个恒成立，整理表达式，
的最大值
可以求出来，因为
即对任意恒成立，所以再求
试题解析：（1）当
2
时，1分
2
由,解得. 2分
∴∴
在上是减函数，在上是增函数. 3分，无极大值. 4分
的极小值为
（2）. 5分
①当②当③当（3）当
时，时，时，
在在
在和上是减函数，在上是增函数； 6分
上是减函数； 8分和
上是减函数，在在
上是增函数. 8分
时，由（2）可知上是减函数，
∴由∴
. 9分
对任意的10分
恒成立，
即即由于当
对任意
时，
对任意恒成立， 11分
，∴
恒成立，
. 12分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.
2
