(北京市)2014年高考真题数学(文)试题

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB（ ）

A.0,1,2,3,4 B.0,4 C.1,2 D.3 2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.yex B.yx C.ylnx D.yx 3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A.1 B.3 C.7 D.15

开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分学科网不必要条件

22 6log2x，在下列区间中，包含fx零点的区间是（ ） x A.0,1 B.1,2 C.2,4 D.4,

6.已知函数fx7.已知圆C:x3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存在点

22P，使得APB90，则m的最大值为（ ）

A.7 B.6 C.5 D.4

8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率

p与加工时间t（单位：分钟）学 科网满足的函数关系pat2btc（a、b、c是常数），下图

记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

p0.80.70.5O二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.若xii12ixR，则x . 10.设双曲线C的两个焦点为2,0，

345第2部分（非选择题 共110分）

t

2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为

 .

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .

22正（主）视图111侧（左）视图俯视图12.在ABC中，a1，b2，cosC1，则c ；sinA . 4

y113.若x、y满足xy10，则z3xy的最小值为 .

xy1014.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这

项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，学科 网再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 粗加工 精加工 原料 9 15 原料A 6 原料B 21 则最短交货期为 工作日. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，

且bnan是等比数列.

（1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前n项和.

的部分图象如图所示. 6（1）写出fx的最小正周期及图中x0、y0的值；

16.（本小题满分13分）函数fx3sin2x（2）求fx在区间,上的最大值和最小值. 212yy0Ox0x ABBC，17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AA1AC2，

E、F分别为AC11、BC的中点.

（1）求证：平面ABE平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥EABC的体积.

A1EB1C1ABFC

18. （本小题满分13分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a，b的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 19. （本小题满分14分）

已知椭圆C：x2y4. （1） 求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y2，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.

20. （本小题满分13分）

已知函数f(x)2x3x.

（1）求f(x)在区间[2,1]上的最大值；

（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；

（3）问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？（只需写出结论）

数学（文）（北京卷）参

322

一、 选择题

（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B

二、 填空题

（9）2 （10）x2y21 （11）22 （12）2, 三、 解答题 （15）解：

（I）设等差数列an的公差为d，由题意得：d所以ana1(n1)d3n(n1,2,L)， 设等比数列bnan的公比为q，由题意得：q315 （13）1 （14）42 8a4a11233， 33b4a420128，解得q2.

b1a143所以bnan(b1a1)qn12n1，从而bn3n2n1(n1,2,L). （II）由（1）知，bn3n2n1(n1,2,L)，

312nn12n1， 数列3n的前n项和为n(n1)，数列2的前n项和为1212所以数列bn的前n项和为（16）解：

（I）fx的最小正周期为，x0（II）因为x[当2x当2x3n(n1)2n1. 27，y03. 62,12]，所以2x6[5,0]，于是 660，即x12时，fx取得最大值0；

62，即x3时，fx取得最小值3.

（17）解：

（I）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE平面B1BCC1. （II）取AB中点G，连结EG，FG，

BC的中点，所以FG∥AC，且FG=因为E，F分别是AC11、

1AC， 2因为AC∥AC11，且AC=AC11，所以FG∥EC1，且FG=EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F//EG， 又因为EG平面ABE，C1F平面ABE， 所以C1F//平面ABE.

（III）因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=所以三棱锥EABC的体积为：V（18）解：

（I）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1AC2BC23，

1113SABCAA1=312=. 3323100.9. 100从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. （II）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a频率0.170.085， 组距2课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b频率0.250.125. 组距2（III）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. （19）解：

x2y21， （I）由题意，椭圆C的标准方程为42所以a24,b22，从而cab2， 因此a2,c2，故椭圆C的离心率e222c2. a2（II）设点A，B的坐标分别为(t,2),(x0,y0)，其中x00，

uuruuur2y因为OAOB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t0，又x022y024，

x02y024y02222)(y02)=x0y024 所以|AB|(x0t)(y02)=(x0x0x02224x022(4x02)x0282=x0=44(0x4)， 0222x02x02x028因为24(0x024)，且当x024时间等号成立，所以|AB|28，

2x0故线段AB长度的最小值为22. （20）解：

（I）由f(x)2x33x得f'(x)6x23，令f'(x)0，得x22或x， 22因为f(2)10，f(22)2，f()2，f(1)1， 222)2. 2所以f(x)在区间[2,1]上的最大值为f(（II）设过点P（1，t）的直线与曲线yf(x)相切于点(x0,y0)，则

y02x033x0，且切线斜率为k6x023，所以切线方程为yy0(6x023)(xx0)，

因此ty0(6x023)(1x0)，整理得：4x036x02t30，

设g(x)4x6xt3，则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”， g'(x)12x12x=12x(x1)，

232g(x)与g'(x)的情况如下：

x g'(x) g(x) (,0) + 0 0 t+3 (0,1) 1 0 (1,) +  t1 所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值， 当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(,1]和(1,)上分别至多有1个零点，所以

g(x)至多有2个零点，

当g(1)t10，t1时，此时g(x)在区间(,0)和[0,)上分别至多有1个零点，所以

g(x)至多有2个零点.

当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，

所以g(x)分别为区间[1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(,0)和(1,)上单调，所以g(x)分别在区间(,0)和[1,)上恰有1个零点.

综上可知，当过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3,1). （III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线yf(x)相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线yf(x)相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线yf(x)相切.