构造函数巧解不等式

函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。 一、构造函数解不等式 例1、解不等式

810x35x0 3(x1)x1 分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到

8102323x5x , 启示我们构造函数且题中出现()5()3x1x1x1(x1)f(x)=x3+5x去投石问路。 解：将原不等式化为(232)5()x35x，令f(x)=x3+5x，则不等式变为x1x122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于x，解x1x1之得：－1＜x＜2或x＜－2。 例2、解不等式

1x220 2x1x1x1x21tan2cos2于是可构造三分析：由xR及的特征联想到万能公式

1x21tan2角函数，令x=tanα(22)求解。

1tan2解：令x=tanα()则由已知得0，从 2222tan1tan1tan

1

13而2sin2sin10sin1∴∴tanα＞,∴x＞

26233。 3二、构造函数求解含参不等式问题。 例3已知不等式

11112loga(a1)对大于1的一切自然数nn1n22n123恒成立，试确定参数a的取值范围。 解：设f(n)∵f(n+1)-f(n)

111， n1n22n11110,∴f(n) 是关于n 的增函2n12n2n1(2n1)(2n2)712∴f(n)loga(a1)对大于1的一切自然数n恒121237121成立,必须有loga(a1) ∴loga(a1)1，而a＞1， ∴a-1＜

12123a数。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜

1515 ∴a的取值范围为（1，）。 22三、构造函数证明不等式。

例4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1 证：把a看成自变量x，作一次函数f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1 又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函数具有严格的单调性。 ∴f(x) =(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的图象位于x的上方， ∴ (b+c)x+bc+1>0,从而： (b+c)a+bc+1>0,即证：ab+bc+ca＞-1

例5、已知，求证：x2y2z22xycos2yzcos2zxcos 证明：考虑函数f(x)=x2y2z2(2xycos2yzcos2zxcos)=

2

x22x(ycoszcos)y2z22yzcos,

其中4(ycoszcos)24(y2z22yzcos)4(ysinzsin)20 又x2的系数大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0， ∴x2y2z22xycos2yzcos2zxcos。

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