高考数学复习专题之导数讲解

1．本章的学习目标是什么？

（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数．

（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导． （3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数．

（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力． （5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限． （6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式．

2．学好本章知识的关键是什么？

由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点x0处的函数的增量fx0xfx0与相应的自变量的增量

x0xx0xx0的比值

fx0xfx0x

当自变量的增量△x→0时的极限值．

复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用．复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）．在求导过程中，比如，函数yfgx可看作y＝f（u）

uv,vt,tgx几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的关于求导，

后将第三层的关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得．

1．怎样理解导数概念？

在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度．例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等．求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数．下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念．

引例1 求变速直线运动的瞬时速度．

解 设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动（如图3-1）．经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s＝s（t）．求质点M在时刻t0的瞬时速度．

设在t0到t0t一段时间内距离从s0变到s0s，在△t这段时间内质点M所走的距离为

sst0tst0,

因此在△t时间内，质点M的平均速度为 vstst0tst0t.

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 若质点作等速运动，平均速度v就是质点M在时刻t0的瞬时速度v0．若质点M的运动是变速的，则v一般不会正好是t0的瞬时速度，但△t愈小，v就愈接近t0的瞬时速度，所以当△t→0时，v就可较精确的表示出时刻t0的瞬时速度．

st0Δtst0Δs因此，我们用极限 v0vt0limvlim limΔt0Δt0ΔtΔt0Δt来定义质点M在时刻t0的瞬时速度．

瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率．

引例2 切线的斜率．

解 如图3-2，求曲线y＝f（x）在其上一点Px0,y0处的切线PT的斜率．

点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着．在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是

x0x,y0y，其中x0.yfx0xfx0，则过点Px0,y0与Qx0x,y0y的割线斜率k（即△y对△x的平均变化率）是

kyxfx0xfx0x.

当△x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率k也随之变化．当|△x|较小时，取割线PQ的斜率k作为点P的切线斜率的近似值．当|△x|越小，这个近似程度也就越好．于是，当△x无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率k的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y＝f（x）在点x0处变化率）

即 ktanlimyxlimfx0xfx0x.

x0x0这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题．

引例3 求电流强度．

解 设电流通过导线的横截面的电量是Q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻t0的电流强度． 我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 电流强度电量时间.

在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻t0的电流强度．我们可通过以下方法得到：

设在t0到t0tt0一段时间内通过导线的电量是QQt0tQt0.

因此在这段时间内，平均电流强度I为IΔQΔt.

易知，△t取得越小，I就越接近时刻t0的电流强度I．若当△t→0时，I的极限存在，则平均电流强度I的极限就是时刻t0的电流强度．因此，我们定义：

QtQt0tQt0tIlimIlimt0t0limt0．

这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题．

通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点x0处函数的增量

yfx0xfx0与相应的自变量的增量△x（△x≠0）的比值当自变量△x无限趋于0时的极限．即

limyxlimfx0xfx0x．

x0x0在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决．我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念．

设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量有增量△x（△x≠0）时（△x可正可负）函数有相应增量

yfx0xfx0．

若极限limyxx0limfx0xfx0xx0存在，则称函数f（x）在点x0可导，并称该极限值为函数f（x）在点x0（对x）的导数，记作f(x0)，

即 fx0limfx0xfx0x. 也可记作 y|xx0,dydxxx0或dfxdxxx0x0.

若上面的极限不存在，则称函数f（x）在点x0不可导．

有时，我们把x0x记作x，于是xxx0，当△x→0时，有xx0,则上面的极限可改为

fx0limfxfx0xx0.

xx0导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻t0的瞬时速度，只要求出路程函数s（t）在t0的导数即可；要求曲线y＝f（x）在点Px0,fx0处的切线斜率，只要求出函数f（x）在点x0处的导数即可；要求时刻t0的电流强度，只要求出电量函数Q（t）在t0的导数即为所求时刻t0的电流强度．

很明显，函数增量与自变量增量之比

yx是函数在以x0和x0x为端点的区间上的平均变化率，而导数fx0则是函数y＝f（x）在点x0处的变化率，它反映了函数f（x）在点x0处随自变量的变化而变化的快慢程度．

[注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f（x）在点x0处函数的增量

yfx0xfx0与相应的自变量的增量△t（△x≠0）的比值limx0yx，当自变量的增量△x无限趋于0时的极限

yx.但极限值并不一定是导数，如limcosx．]

t0若只讨论函数在点x0的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念． 设函数yfx在点x0的某右邻域x0,x0δ上有定义，若右极限

x0limyxlimx0fx0xfx0x,0x.

x0. 存在，则称f（x）在点x0右可导，并称该极限为f（x）在点x0的右导数，记作f若极限limx0yx不存在，则称f（x）在点x0右不可导．

,x0.x0limffx0xfx0xx0

右导数与左导数统称为单侧导数．

由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f（x）在点x0可导的充要条件是f（x）在点x0既是左可导又是右可导且左、右导数相等．即

x0与fx0都存在且相等fx0存在f.

由导数的定义可知，要用定义求y＝f（x）的导数fx0，可以分为以下三个步骤： (1)求增量：ΔyΔyΔxfx0Δxfx0.

fx0Δxfx0ΔxΔyΔxΔx0(2)算比值：(3)取极值：.

.fx0lim选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 利用导数定义求导数的难点是有一些比值已知极限的形式，以便于计算．

例1 求函数yx2在点x＝3的导数．

yx的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限limyx成为

x0思路启迪 利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量△x（△x≠0）时对应的函数的增量△y,然后计算△y与△x的比值的极限．

规范解法 (1)求y在点x3处的增量.取x0,y3x326xx

22（2）算比值．

yx6xxxyx26x.

（3）取极限． f3limx0lim6x6.

x0点评 求函数在某点x0处的导数，首先应判断函数在点x0处是否可导，即极限limΔyΔx是否存在且有限．若极

Δx0限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为∞则函数在该点不可导．

例2 证明函数f（x）＝|x|在点x＝0处不可导．

思路启迪 首先要求函数f（x）在点x＝0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f（x）在x＝0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f（x）在点x＝0处不可导．

规范证法 因为fxf0x0

|x|xx0,x0,11f0limx0x0fxf0x0lim11,f0limx0x0

fxf0x0lim11.因为f0f0,所以fx在点x0处不可导.

点评 判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量△y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限lim数是否存在，即首先判断极限limx0yx，而应首先分别判断f（x）在分段点的两个单侧导

x0yx与极限limx0yx的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性．

例3 证明：若fx0存在，则limΔx0fx0Δxfx0ΔxΔx2fx0.

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 思路启迪 已知fx0存在，也即是极限limfx0xfx0xx0存在且等于fx0，只要紧扣导数的定义，并把

等式中的左端化成f（x）在点x0处的导数的结构，该题的证明将容易得到．

规范证法

limfx0xfx0xxfx.0xfx0fx0fx0xxfx0xfx0xlimfx0xfx0xfx0xfx0xx0x0limx0

limx0fx0fx02fx0.点评 在导数的结构（定义）limx0中，函数的增量fx0xfx0与自变量的增量△x是

相应的，即自变量有增量△x时，相应的函数的增量是fx0xfx0，而在上面第二个极限中，函数的增量

fx0xfx0所对应的自变量的增量是－△x（而非△x），这一点是至关重要的．因此应该有（易知△x→0时，

－△x→0）．

x0limfx0xfx0xlimx0xfx0x

fx0.x0例4 证明：若函数f（x）与g（x）当x＝0时等于零，并且存在导数，且g00则

fxgxf0g0limx0.

fxf0思路启迪 由已知条件，我们有

fxgxfx0gx0fxf0gxg0x0，又f0与g0存在且g00，

gxg0x0故上面分式当x0时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零．于是由极限的四则运算即可给出证明．

规范证法 由已知有f0g00,f0与g0存在且g00.当x0时

fxf0fxgxfxf0gxg0fxx0, 于是limx0gxgxg0x0limlimfxf0f0x0.

gxg0g0x0x0x01gxsin例5 设fxx0x0,且已知g0g00.求f0.

x0.1x的有界性.

思路启迪 直接利用导数的定义和正弦函数sin选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 规范解法 limx0fxf0x0gxsinlimx01xlimx0gxg0x0x01sin.

x又因为sin所以limx01x是有界量，limx0gxg0x00.于是，fg00,gxg0x0sin1x

x在点x0可导且f00.例6 设fxxax,其中函数x在xa处是连续的，求fa. 思路启迪 求fa，即是求极限limlimaxa，即可得出结果．

faxfax,即limax，注意到函数x在x＝a处是连续的，即

x0x0x0规范解法 falimfaΔxfaΔxΔx0

limΔxaΔx0ΔxΔx0limaΔx.Δx0

由于x在xa连续，故Δx0limaΔxa，于是faa.例7 fx|xa|x,其中x为连续函数及a0,证明：此函数在点a没有导数．

思路启迪 这里f（x）是一个分段函数，点a是f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．

规范证法 取△x≠0，

yx|x|x0,axaxxaxx0.x0

由于x在点a连续，故有limaxa.于是falimx0yxyxlimaxa.x0falimx0limaxa.x0

由于a0,故fafa因此fx在点a没有导数.2xx0,x例8 设fx为了使函数f（x）于点xx0处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？

axbxx0.思路启迪 由于xx0是分段函数f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：

(1)fx00fx0fx00.x0fx0.(2)f

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 规范解法 fx0x2. 0fx00limfxlimxxx0xx02x0.2fx00limfxlimaxbax0b.xx0xx0当x20ax0b时，函数fx在xx0处连续.limΔxx0x0lim又fΔxx0fx0Δxfx0Δx2x0ΔxΔx2x02

2x02x0limfΔxx0ax0Δxbx0Δx0limΔxx0aΔxax0bx0Δxa.当a2x0时函数在点x22处可导.2从而得：x02x0b,bx0.故所求的系数为

a2x0,bx.20

2．函数f（x）的不可导点有哪些类型？ （1）函数f（x）在不连续点不可导．

如，符号函数sgnx，在x＝0点不连续，在x＝0点不可导． （2）函数f（x）在连续点不可导有以下几种类型：

①左、右可导，但左、右导数不相等；

例如，函数f（x）＝|x|，在点x＝0左、右可导，但左、右导数不相等． ②左、右两侧至少有一侧不可导；

1xsin例如,函数fxx0x0,x0.

0lim右导数fΔx0ΔyΔx0ΔxlimsinΔx01Δx不存在，即右不可导.

0lim左导数fΔx00存在，即左可导.③左、右导数至少有一个是无限大．

例如，fx3x在x0时，30lim右导数fΔx0ΔxΔx3limΔx01Δx312;

0lim左导数fΔxΔx0ΔxlimΔx0Δx32.3．函数f(x)在点x0可导，是否函数f(x)在点x0的某邻域内每一点都可导？

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 不一定,函数fx在点x0可导是一个局部概念,它在点x0的邻域内不一定可导.

x2当x为有理数时,在点0可导，（当然在点0连续），事实上 例如,函数fx当x为无理数时.0limfxf0fxx0f0limlimx0x0x0xlimx0x0x2xlim0 当x为有理数时,x0

0 当x为无理数时.显然，函数f（x）在任意点x≠0都不连续，即除点0外，函数f（x）在任意点都不可导．

由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导．

4．什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？

如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数f（x）是（a,b）

a与fb都存在，称函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，内的可导函数．如果函数f（x）在闭区间[a,b]内可导，且f此时称f（x）为闭区间[a，b]上的可导函数．

如果函数f（x）在区间I可导，此时对每一个点x∈I，都有惟一一个导数fx与之对应，这样按照函数的定义，在I上定义了一个新的函数，称为函数f（x）在I上的导函数，记作fx,y或fxlimfxxfxx,xI

dydx.即

x0注意到，前面介绍的函数f（x）在点x0处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别．函数f（x）在点x0I的导数fx0与函数f（x）在I上的导函数fx0的关系是：导数fx0等于导函数fx在点x0处的函数值，即 fx0fx|xx.

0而前面导数的记号 y|xx0正是利用这种关系来表示的.

有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数．例如，求某一函数的导数，而没有特别指明

是某一点的导数，这时实际上是求导函数的．

从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f（x）在任一点x处的导数．因此要求函数f（x）在区间I上的导函数，只需要求出f（x）在I上任一点x处的导数即可，而要求f（x）在点x处的导数，只需把极限

x0limfxxfxx求出来即可

例1 求函数y＝x的导数．

思路启迪 在本题中，实际上是求函数y＝f（x）的导函数的，只须把函数f（x）在任一点x处的导数求出来即可． 规范解法 ∵f（x）＝x, f（x＋△x）＝x＋△x,△x≠0， △y＝f（x＋△x）－f（x）＝x＋△x－x＝△x．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 yxxx1.yxlim11.

x0ylimx0即x1.

例2 求函数yx3的导数.

思路启迪 这里是求导函数的，可先求出x0处的导数，再把x0换成x即为所求． 规范解法 任取x0R,x0.

fx0x0,fx0xx0x,33yxx0xx033xyxx03x03x0xx,22y|xx0limlim3x03x0xx2x0323x

20.用x代x0即得函数yx的导数为x33x.2

5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？

由引例2，我们知道，若函数f（x）在点x0可导，则曲线y＝f（x）在点Px0,fx0的切线存在，且切线的斜率k就是函数f（x）在点x0处的导数fx0,即kfx0.

故函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义是：fx0表示曲线y＝f（x）在点x0,fx0处切线的斜率，即

tanfx0．

因此，若函数f（x）在点x0处可导，则曲线y＝f（x）在点Px0,y0y0fx0处的切线方程是：

yy0fx0xx0．法线方程是yy01fx0xx0fx00.

导数的物理意义，根据函数f（x）的物理意义不同而不同．如若当函数f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x表示时间），其导数fx表示质点在时刻x的瞬时速度；当函数f（x）表示质点的速度函数时，其导数fx表示质点的瞬时加速度；当函数f（x）表示电量函数时（x表示时间），其导数fx表示时刻x的瞬时电流强度．等等．

例1 求曲线yx3在点（1，1）处的切线方程与法线方程．

思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数yx3在点x＝1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 规范解法 根据导数的几何意义可由于yx知，所求切线的斜率为2k1y|x1.

3x32,因此k1y|x13x|x13.

于是所求的切线方程为y－1＝3（x－1）,即3x－y－2＝0．

所求法线的斜率为k213.13

从而所求的法线方程为y1x1,即x3y40.直线y3x3.

例2 求曲线yx3上哪些点的切线平行于思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线y＝f（x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y＝f（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．因此，只要找出函数y＝f（x）与已知直线的斜率相等的点即可．

规范解法 已知直线y设3x23x3的斜率k3，函数yx的导数y3x.

323,得x1,当x1时,y1；x1时，y1.

故所求的点是（1，1）和（1，－1）．

点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义． 6．函数的可导性与连续性的关系是什么？

设函数yfx在点x可导，即limΔx0ΔyΔxfx

yxfx成立.

由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当△x→0时的无穷小量α，使得从而yfxxx.于是limylimfxxx0.x0x0

即函数y＝f（x）在点x处连续．因此我们有：

若函数y＝f（x）在点x可导，则函数y＝f（x）在点x必连续．

反之，不一定成立，即若函数y＝f（x）在点x处连续，但它在点x不一定可导．

x例 函数fxxx0,x0.

规范解法 如图3-3，f（x）在点x＝0连续，事实上：f（0）＝0．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 x0limfxlimx0f0,即在点x0右连续.x0x0x0limfxlimx0f0,即在点x0左连续.

故f（x）在点x＝0连续．

但是，f（x）在点x＝0不可导（见1中的例2）．

由上面的讨论可知，函数f（x）在点x连续是函数f（x）在点x可导的必要条件，但非充分条件．即函数f（x）在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导．

7．若函数f（x）与g（x）在点x0都不可导，它们的和H（x）＝f（x）+g（x）与积 G（x）＝f（x）·g（x）在点x0是否也不可导？

不一定．例如，函数f（x）＝|x|与g（x）＝－|x|．

在x＝0都不可导，但是，它们的和与积H（x）＝f（x）+g（x）＝0与Gxfxgxx2在x＝0却都可导．

8．求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？

（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）．例如，函数

1xcosfxx0当x0,1,0,当x0. 在点x＝0的导数要应用导数的定义．

（2）求分段函数在分段点的导数．例如，函数

12xfxe0xgxx1x1xx,0,x0,1,x0,.x0,x0;

求函数f（x）在点x＝0的左、右导数，函数g（x）在点x＝0与x＝1的左、右导数要应用导数的定义．

9．导数有哪些基本公式和运算法则?

在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法．但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．

公式(1)C0，C为常数.

证明：设y＝f（x）＝C，

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ΔyΔyfxΔxfxCC0,0,ΔxΔyfxClimlim00.Δx0ΔxΔx0公式(2) x证明：设ynnxn1n,n为正整数.fxx,ΔyfxΔxfxxΔxnxΔyΔxnxn1nxn

Δxnnn12121xxn2Δx2Δxn,n1nn1n2ΔxΔxnxn1n1,fxxlimΔyΔxΔx0.[注：以后可以证明，当n取任意实数时，这个公式仍然成立．] 例1 求x9.

规范解法 公式(3)x9x9919x.

8sinxcosx.

xxxxsinx2cosysin,xsin22证明:设ysinx,

xsinyx2,cosxx2x2

yxysinxlimlimcosxlimx0xx02x0sinx2cosx. x2公式(4)cosxsinx.．

公式(5)logxa1xlna,a0,a1.

证明：设ylogax, ΔylogΔyxΔxlogaxa1Δxlog1x,xΔxΔx1ΔxΔxloga1log1aΔxxxxx

Δy1ΔxΔx11ylogaxlimlimloga1logeaΔx0ΔxxΔx0xxxlna选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 特别，当a＝e时，有 公式（6）(lnx)'1x 公式（7）(a)'alna,(a0)

yxaxxx证明：设ya.ΔyaxxΔxaa(axxΔx1), ax1x,

令ax1t，则Δxloga(1t), 又当△t→0时，有t→0，于是 limx0ax1xlimx0tloga(1t)limt0111logaloga(1t)telna.

y'(a)'limxΔyΔxΔx0alna

x特别，当a＝e时，有

公式(8)eexx.

例2 求3x.

规范解法

33xxln3.

法则（1） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）．即

uvu'v.

证明：设yuxvx,ux、vx均可导.

相应的增量Δu,Δv,Δy,Δv.当x有增量Δx时，有ΔyuxΔxvxΔxΔyΔxΔuΔxΔvΔx.uxvxΔu

ΔyΔuΔvuvlimlimlimuvΔx0ΔxΔx0ΔxΔx0Δx用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形．

例3 求下面函数的导数

(1)yx(2)yx47x33sinxe.x10.xx

思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．

规范解法 (1)yx(2)yx734xsinxe4x3x633xcosxe.

2xxx107x3x1.

2法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的导数．即

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 uv处

uuv'.

证明：设y＝uv，u（x）、v（x）均可导，当x取增量△x（△x≠0）时，有相应的增量△u、△v、△y，于是在x

yuxxvxxuxvxuxxvxxuxvxxuxvxxuxvxuvxxuxv,yxuxvxxuxvx.

由于vx在点x可导，从而连续，于是当Δx0时，vxυxvx,于是uvlimΔyΔxΔuΔxlimvxΔxuxlimΔx0Δx0limΔvΔx

Δx0Δx0uvuv.特别vCC是常数时，CuCuCu0CuCu.

也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数.即CuCu.

对于有限个函数的乘积的导数可类推．例如三个可导的函数u（x），vx和wx的乘积的导数是：

uvw

uvwuvwuvw

例4 求函数yx3cosx的导数y.

思路启迪 该函数是由两个基本初等函数x3与cosx的积所构成，而x3与cosx的导数（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与x3和cosx的求导公式，该题将迎刃而解．

规范解法 由两个函数和积的求导法则得

yxcosx23xcos33xx3cosx

3xcosxxsinx.

例5 设yxsinxlnx,求y.

思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 yxsinxlnx3xsinxlnxx3233sinxln3xxsinxlnx

23xsinxlnxxcosxlnxxsinxx23sinxlnxxcosxlnxsinx.

例6 当p、q满足何条件时，思路启迪 要使抛物线

yxpxq在某点与Ox轴相切3三次抛物线yxpxq与Ox轴相切.3

，须使该点满足：yy0.

规范解法 由方程yx3pxq,求得y3x2p.

23xp0,(1) 切，必须满足3xpxq0.(2)要使此曲线与Ox轴相由(2)式得xxxp2x2pq,两端平方，则222q(3)2

将(1)式代入(3)pp2式得：pq.33pq即0,即为所求的条件3232.

法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子

乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方．即：

uvuv'u,v0. 2vv证明：设yuxvx,vx0,ux,vx在x可导。uxΔxuxΔu,vxΔxvxΔv.Δy因为uuxuxΔuuxΔxvxvxΔvx,vx在点x可导，从而连续ΔyΔxlimΔx0uxΔxuxvxΔuvxuxΔvuxΔvvx.

，于是：ΔvΔuylimΔx0uxvxuxvxΔx0ΔxΔx.2vxlimΔvv(x)vxvxuxlimΔx0例7 设ytanx,求y.

思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦

函数与余弦函数的导数（公式）我们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 规范解法 tanxsinxcosx,

ytanxsinxcosxsinxcosxsinxcosxcosx2cos2

2xsin22xcosx1cos2xsecx.2从而得 公式(9)tanxsecx. 类似可得 公式(10)cotxcscx.

2例8 设ysecx,求y.

思路启迪 利用三角函数的关系，将secx写成规范解法 由于secx1cosx,由法则3得

1cosx，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出secx.

1cosx1cosx1ycosxcosx2 sinxsecxtanx.2cosx由上例得 公式(11)secxsecxtanx. 类似地可得 公式(12)cscxcscxcotx.

例9 设ysin2x,求y.

规范解法 y＝sin2x＝2sinxcosx．由法则2得

ysin2x2sinxcosx2sinxcosx2sinxcosxsinxcosx

2cos2xsin2x2cos2x.从上面的例子可以看出，y＝sin2x是一个复合函数，它由两个函数y＝sinu与u＝2x复合而成，sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的导数与sinu的导数和u＝2x的导数是什么关系呢？由于

dydududxdyducosu,dudx2，而

cosu22cos2xy，即y对x的导数y等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数．一般

地，我们有复合函数的求导法则（4）

法则（4）设函数ux在点x可导，函数y＝f（u）在其对应点ux也可导，则复合函数yfx在点x可导，且y对x的导数

dydx等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数．即：

dydxdydududx.

证明：设自变量x有增量△x（△x≠0）时，中间变量u和函数y分别有相应增量△u与△y，由于ux在x处

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 可导，从而连续，即有limu0．

x0由dydx即yxyuux有yulimx0limx0yxlimu0uxdydududx,

dydxdydududx.重复应用法则（4），我们可以把复合函数求导法则推广到多次（有限次）复合的情形，如设

yfu,u,vx.

则重合函数ydydxdydududvfψψx导数是：dvdx.

[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也易求．然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”得不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]

例10 y4x1,求2dydx.

思路启迪 该函数可以分解成yu2与u4x1两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式．只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可．

规范解法 设u＝4x－1,则y4x1可看作是由yu2与u4x1复合而成的，

2dy由复合函数的求导法则得：dx2dydududxu4x12u4

284x1.例11 ycosx,求dydx.

规范解法 设u＝cosx,则ycos2x可看作是由yu2与u＝cosx复合而成， 由复合函数的求导法则得例12 ysinlnx.求y.

思路启迪 函数y＝sinlnx是由函数y＝sinu与u＝lnx复合构成．这里写出中间变量u只是为了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程．

规范解法 ysinlnx

dydxdydududxucosx2ucosx2cosxsinxsin2x.

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 coslnxlnxcoslnx1xcoslnxx.

例13 yarccot,求y.

x1思路启迪 函数yarccot1x是由函数yarccotu与u1x复合而成.

1规范解法 yarccot

x121x1x1111x211x21x2

.

例14 yax,求22dydx.

u与ua22x复合而成，求y对x的导数，先求y对u即对u求导，再乘

思路启迪 该函数是由两个函数y以u即a2x2对x的导数．

dxdy22规范解法ax2x2a2x2222ax x.22axa2x2例15ytanx,求2dydx2.

2思路启迪令ux,则ytanx可看作由函数dydxytanu与ux两个函数复合而成2.

规范解法tanx2xsec2secxx2222x.2

例16yx为任意实.

思路启迪 利用恒等式NelnN,将x写成elnx，则yelnx可看用由yeu与ualnx两个函数复合而成．

规范解法yxelnx

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 dydxelnxe2lnx1lnxxx.

x求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时，就要多次地应用复合函数求导法则．

例17ysinx21,求dydx2.

1,则ysin2思路启迪令usin,xx21可看作由yu,usin与x2221三个函数复合而成．

规范解法dydxsin2x2212sinx221sinx21

2xsin2x1.2sinx21cosx1x1分析上例，怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢？应先对给定的函数进行分析，当取什么函数作为中间变量（不必写出，心中清楚）时，给定的函数对此中间变量求导并利用导数公式．本例是把sinx21看作中间变量，给定的函数就可应用幂函数的导数公式，根据复合函数求导法则，有：

y2sinx1sinx122'x

这时中间变量仍是变量x的复合函数，重复刚才所说的方法，本例是把x21看作中间变量，可利用正弦函数的导数公式，由复合函数的求导法则有：

y2sinx1cosx1x1x;

222'逐次地作下去，直至最后一个中间变量对x求导数为止（本例最后一个中间变量即为x21）．

从上面分析看到，要逐次地应用复合函数求导法则，关键在于选择中间变量，选择的原则是某个函数做中间变量时，给定的函数变可应用导数公式．

21x例18yesin,求y.

21x思路启迪yesin可看作是由1xye,u,sint,tu21x复合而成.2规范解法yesinsin21x21x esin2sinsin1x11sinxx1

2e1sin1112sincos2exsin.xxxxx选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例19ylnsinx,求y.ylnsinx可看作ylnu,usin,x复合而成.y1sinx2222思路启迪规范解法sinx2

1sinx2cosx2x222xcotx. 例20ylnxx1，求y.

x22思路启迪 ylnx1可看作ylnu,uxx21复合而成，而uxx21是由x与

x21两

个函数的和所构成，x21可看作是t与tx21复合而成．

规范解法

yxxxx121x1x1x222x1x2112x11212x1

11.xx211

例21已知fx与gx均可导，且f让yfxyegxx0.设y,则efxgx,求y.u思路启迪规范解法egxlnfxgxlnfx，可看作e与ugxlnfx复合而成.

gxlnfxgxlnfx1gxlnfxgxfx

fx egxlnfx fxgxfxgxlnfxgx.fx

x1设fx1ex0x0,求fx.

例22x0.思路启迪 由于x≠0与x＝0时函数的结构不相同，因此f0须用导数定义求解法．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 11exx规范解法当x0时，fx11x221ex111exx1ex1111;1ex当x0时，f00limΔx0f0Δxf0ΔxlimΔx0limΔx01,1eΔx11f00limΔx0f0Δxf0Δx0,1eΔx因为f00f00,故fx在x0处不可导.于是：11x11ex21fxx1e不存在x0,x0.

[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成． ①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数． ②判断分段点处的可导性．

（Ⅰ）若函数在点x0不连续，则它在点x0不可导．

（Ⅱ）若函数在点x0连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数． 当左、右导数存在并且相等时，则函数在点x0可导；

当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点x0就不可导]．

例23 证明可导的偶函数的导函数为奇函数，而可导的奇函数的导函数为偶数．并对这个事实加以几何解释． 思路启迪 要证明一个函数是奇数，需证明xR，有f（－x）＝－f（x）,而要证明一个函数是偶函数，需证明f（－x）＝f（x）．

规范证法 设f（x）为偶函数，则对x∈R有f（－x）＝f（x），

两端求导即：fxfx,即fxfx.故fx是奇函数.

同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．

这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．

例24ysinnxsinnxn为常数，求y.

nnn2x是由sinnx与sinx两个函数所构成；sinx是由思路启迪 sinnxsin而sinnx是由sinu与u＝nx复合而成；

与sinx复合而成．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 规范解法 ysinnxsinnxnsinnxsinnsinnsinn1xsinnxsinnx

xcosnxsinxsinnxcosxn1xsinn1x.

例25 设函数

1nxsinfxx0x0n为正整数x0.，

讨论：（1）n取何值时，f（x）在x＝0连续。 （2）n取何值时，f（x）在x＝0可导．

(3)n取何值时,fx在x0连续.

思路启迪 要使函数f（x）在点x0连续，需使limfxfx0.要使函数f（x）在点x0可导，需使极限

xx0x0limfx0xfx0x存在，只要能紧扣函数的连续与可导的这两个定义，本题将会迎刃而解．

n规范解法(1)当n为任意正整数时，均有limxsinx01x0f0.因此，对于n取任意的(2)考察极限：limx0正整数，fx均在xn10连续，1x,

fxf0x0limxx0sin此极限当n－1>0时存在，因此n≥2时，f（x）在x＝0可导，此时，f00．

(3)当x0时，fxnxx0n1sin1xxcosn1111n1n22nnsinxcos.xxxx3时，fx在x0连续.和(8)有1y1ex欲使limfx0f0,需使n20,因此，n我们知道，函数ye的反函数是xx

lny.由公式(6)dydxe和xdxdy.

可以看出，反函数x＝lny对y的导数，等于直接函数yex对于x的导数的倒数；反之亦然．一般地，我们有（反函数求导法则）

法则（5）若函数y＝f（x）在点x处有导数fx，且fx0，则它的反函数xf导数，且 f11yy在相应点上也有

yy1fx.

证明：设x有增量△x≠0，相应地y的增量为△y（△y≠0）,由于y＝f（x）在点x可导，从而连续．因此

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 x0limy0,又xy1yx.故有 ylimy0xylimx01yxlim1yxx01fx.

例26 求y＝arcsinx的导数．

思路启迪规范解法因为sinyarcsinx又cosyarcsinx由于函数xyarcsinxsiny，对y导数sinycosy.1x1是函数xππsinyy的反函数，22cosy0,1siny21cosy2.

1siny1x因cosy0,根号前正号，于是得，11x2公式(13)arcsinx11x2.同理可得：

公式(14)arccosx公式(15)arctanx11x211x..2.

公式(16)arccotx例27设yarccot1x11x2,求y.

1x思路启迪 函数yarccot公式即可求出y．

111x2可以看作y＝arccotu与u

1x

两个函数复合而成．借助复合函数数求导法则及前面的

规范解法y2x111. 222x1xx1x前面，我们不仅把所有的基本初等函数的导数（作为我们的公式）都求了出来，而且还给出了函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，因此，现在我们可以说：一切初等函数的求导问题均已解决．事实上，根据初

等函数的定义，初等函数是可用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）经过有限次的四则运算和有限次复合而构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下

导数的基本公式：

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求导法则：

①uυuυ②uυuvuv'

uυuυdydyduu③④yfu,ux,2υdxdudxv求导数运算称为微分法，它是微积分学最基本运算之一，这就要求我们熟练地掌握，为此，首先必须牢记导数公

式表；其次，能够熟练地使用求导法则，尤其要掌握好复合函数求导法则．

10．对不等式可否逐项求导？

一般地说不行，如在区间（－∞，0）上有2xx21，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在（－∞，0）上，不等式2≤2x是不成立的．

再如，对xR,有x2x1.而对xR,2x2x显然是错误的.

11．什么是高阶导数？

我们知道函数yx2的导数是y2x．而导数y2x仍是可导的，它的导数是y2．这种导数的导数y就称为对y对x的二阶导数．一般地我们有：

函数y＝f（x）的导数yfx仍是x的函数，若函数yfx的导数存在，则称yfx的导数为y＝f（x）的

dydx22二阶导数．记作y或即

yy或dydx22ddy. dxdx相应地，把y＝f（x）的导数fx叫作函数y＝f（x）的一阶导数．

dydx33同样，若二阶导数yfx的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的三阶导数．记作yx或32ddy2dxdx,即

yy,fxfx,y又记作y3或dydx3. „„

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 n1n1一般地，若n－1阶导数yf则称其导数为y＝f（x）的n阶导数．记作yx的导数存在，

nn1yddn1dxdxn,fnx或dydxnn即

ynyn1,fn1xfnx或dydxn. 这里的n称为导数fnx的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．

若y＝f（x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导．

由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n－1阶导数，要求n－1阶导数，需要求出n－2阶导数，„，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可．

例1 求n次多项式fxa0xna1xn1an1xan的各阶导数．a00．

思路启迪 首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系．

规范解法n1n2fxna0xn1a1xan1.n2fxnn1a0xn1n2a1xn3

2an2.可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次．继续求导下去，易知：fnxn!a0是一个常数，由此有

fn1xfn2x0.

即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零．

例2求ye的n阶导数.

x规范解法一般地，可得ye,ye,ye,yynxxx4xe.xe.即exxn

e.

例3证明函数y2xx满足关系式yy10.

23思路启迪 要证明这个等式成立，而在此等式的左边含有y，只要能正确求y对x的两阶导数y，将y及y代入等式左边并验证其为零即可．

规范证法

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 y22x22xx21x2xx2,22xy2xx21x2xx222xx122xx232

于是，y1y33,3y1y1y310

例4 求y＝sinx的n阶导数．

思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可．

规范解法ycosxsinx,2ycosxsinx2,22yn

sinxn2.cosxn.2类似方法可得cosxn

12．怎样求隐函数的导数？

前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式y＝f（x）的形式，这样的函数称为显函数．但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形．如方程2x＋5y＋1＝0及eyxy它们都表示x、y之间的函数关系．一般地我们把由方程F（x，y）＝0表示的因变量y自变量x的函数关系式y＝f（x）称为隐函数．对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式y＝f（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法．实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来．方法是：

将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x的导数y（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）．这样，我们可以得到一个关于y的一元一次方程，解出y即可．

例1求由方程xy221所确定的隐函数的导数dydx.

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 思路启迪 由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则x2y21可写成x2y2x1.

规范解法方程两端对x求导，把y2x2yy0,所以yxy2看作一复合函数得

x0.

例2求由方程eyxy10所确定的隐函数的导数dydx.

思路启迪 由于方程eyxy10所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y（x），则该方程可写成

ey(x)xyx10,于是由隐函数的求导法则得．

规范解法 将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得eyyyxy0.

则dydxyeyxxey0.



13．什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？

对数求导法是将函数y＝f（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）．然后再两端取对数（取自然对数，它的导数形式比较简单）．这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数．这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法．它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算．对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积．易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单．具体步骤如下：

（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数． （2）等式两端分别对自变量求导．

(3)等式两端再乘以y，左端即yx.

举例如下

例1 求yfxgx的导数.其中fx0,fx与gx均存在.

思路启迪 在前面我们利用恒等式NelnN求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数．这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再利用隐函数求导法．

规范解法 两端取对数lny＝g（x）lnf（x），两端对x求导

yygxlnfxgxfxfx,gxyygxlnfxfxfxfxgx

fxgxlnfxgx.fx

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例2求yx1x2x3的导数.

x4x5x6思路启迪 该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单．

规范解法 两端取对数

lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）, 两端对x求导

yy1x11x21x31x41x51x6,111111yyx1x2x3x4x5x6

1x5x61x1x2x31x4x5x6x11x21x31x4

14．怎样利用导数判别函数的单调性？

我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（a，b）称为f（x）的单调区间．那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？

设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线y＝f（x）处处有切线．如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即fxtan0,这时函数在（a，b）是增函数．如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角，即fxtan0,此时函数f（x）在（a，b）是减函数．

一般地，设函数y＝f（x）在区间I内可导，如果对任意的点x∈I，有fx0,则f（x）在I内是增函数，若对于任意的点x∈I，有fx0,则f（x）在I内为减函数．

例1讨论函数fxx36x29x2的单调性.

思路启迪 利用导数判别函数单调性，首先要求函数的导数，然后确定导数在哪些范围内是正值，哪些范围内是负值，从而确定出函数的增减区间．

规范解法2fx3x12x93x1x3.令fx3x1x30,得x1或x3.

即当x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）时，f（x）是增函数．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 令fx3x1x30,得1x3.

即当x∈（1，3）时，f（x）是减函数．（图3-6）．

例2讨论函数fxe规范解法x2的单调性.2fx2xex2x.

令fx2xe0,得x0,即当x∈（－∞，0）时，f（x）是增函数．

令fx2xex20,得x0,

即当x∈（0，＋∞）时f（x）是减函数．（如图3-7）．

分析上面的例题，当x<1或x>3时，fxx36x29x2单调增加，当10时，f（x）单调减少，而当x＝0时，fx0．这

2说明使fx0点x可能是f（x）单调增加与单调减少的分界点．因此讨论可导函数的单调性，我们也可以按照以下步骤去作：即求出f（x）的导数fx，解出使fx0的点，用这些点将f（x）的定义域分成若干个区间，然后在各个区间上判别fx的符号，从而可得f（x）在各个区间上的单调性．后两步可用一个表格来完成．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例3讨论函数fxx33x1的单调性.2规范解法xR,fx3x33x1x1.令fx3x1x10.即x11,x22.

列表

由上表可知：f（x）在（－∞－1）与（1，＋∞）上是单调增加的；在（－1，1）上是单调减少的．

15．怎样利用导数求可导函数的极值？

已知函数fxx21在点O附近的任意点x，都有fxx211f0,即函数fxx21在点O的值要比它附近的任意点的函数值都要小（如图3-8），这时，我们称函数fxx21在点O取极小值．而函数yfxx21在点O附近的任意点x，都有fxx211f0，即函数fxx21在点O的值要比它附近的每一点的函数值都要大（如图3-9），这时，我们就说fxx21在点O取极大值．

一般地，设函数f（x）在点x0附近内有定义，若对点x0附近的每一点x，都有fxfx0，我们就称它为f（x）在点x0取极大值，fx0是f（x）在点x0处的极大值，记作y极大值fx0,x0称为函数f（x）的极大值点．如果对点

x0附近的所有点x，都有fxfx0，我们就称函数f（x）在点x0取极小值，fx0是f（x）在点x0处的极小值，

记作y极小值fx0,x0称为函数f（x）的极小值点．

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

已知函数fxx21的导数是fx2x，在点O的值是0，即f00.在点O的左侧，即当x<0时，有导数

fx2x0；在点O的右侧，即当x>0时，导数fx2x0.函数fxx21在点O取极小值．

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 函数fxx21的导数是fx2x,f00.在点O的左侧，即当x<0时，有导数fx2x0；在点O的右侧，即当x0时，有导数fx2x0．函数fxx21在点O取极大值．

一般地，当函数f（x）在点x0的附近可导时，我们判别函数f（x）在点x0处取极大（小）值的方法是： （1）若在点x0的左侧xx0fx0，右侧xx0fx0,则fx0是极小值． （2）若在点x0的左侧xx0fx0，右侧xx0fx0,则fx0是极大值．

从上面的讨论，我们可以看到，若f（x）在点x0可导，且在点x0取极值，则有fx00，即可导的极值点满足

fx00．但是满足fx00的点x0不一定是极值点，如fxx，fx3x在O点处的值f00，但O不是

32f（x）的极值点．

一般地，我们求函数极值的步骤是：

(Ⅰ)求导数(Ⅱ)求方程fx.fx0的根x1,x2等.

（Ⅲ）判别函数f（x）的导数fx在每个根xi两侧的符号，并根据fx的符号确定f（x）在xi是否取极值．

例1求函数y2x1x2的极值.

2x1x2思路启迪 求出y,并令y0得其根x1,x2等，用x1,x2将函数y上用fx的符号列出y的增减性．

21x的定义域分成若干个区间，在每个区间

规范解法y21x22.令y0得x1.列表

所以，当x＝－1时，有极小值y极小值1；当x＝1时，有极大值y极大值1．

例2求函数fxx1规范解法2x151的极值.32fxx1x15x1.

,x31.列表令fx0,得x11,x2选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

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当x15时，y有极大值，y极大值34563125如图3 10；

当x1时，y有极小值，y例3求函数y2xy6x23极小值0

3x212x14的极值.规范解法6x126x2x1.

令y6x2x10,解得x12,x21.列表

所以，当x2时，y有极大值，y极小值极大值当x1时，y有极小值，y7.34；

16．怎样利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值？对于实际问题该怎样解决？ 在生产实践和工程技术中，常常遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归纳为求某函数的最大值或最小值问题．

如图3－11，在闭区间[a，b]上，对于x[a，b]，都有f（x）≥f（b），f（b）就称为f（x）在[a，b]上的最小值；对于x[a，b]，有fxfx1,fx1就称为f（x）在[a，b]上的最大值．

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一般地，设f（x）在区间I上有定义，若存在点x1a,b，使对每一点x∈[a，b]都有fxfx1，则称f（x）在I上有最大值fx1，记为M，即Mfx1；若存在点x2a,b，使对每一点x∈[a，b]都有fxfx2，则称函数f（x）在I上有最小值fx2，记为m．即mfx2．

一般地，若y＝f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 但函数y＝f（x）在开区间（a，b）内连续，则不一定有最大值与最小值．如fxf（x）在（0，＋∞）内没有最大值与最小值．

从图3－11可以看出，若函数的最小值在区间[a，b]的内部间取得，则必在极小值点取得；若函数的最大值在区间[a，b]的内部取得，则必在极大值点取得．最大值与最小值也可能在端点取得，而在极值的讨论中，我们可以看出，对于可导函数来说，极值点可能在使fx0的点x处取得．因此，对于可导函数来说，它的最大值与最小值若在区间的内部取得，只可能在使得fx0的点取得．

根据以上分析，若f（x）在[a，b]上连续且可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：

(1)求出方程fx0的根x1,x2,,xn.

1x在（0，＋∞）内连续，但

（2）将f（a）,f（b），fx1,fx2,,fxn进行比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

例1求函数y2x3x12x14在3，4上的最大值与最小值.32

思路启迪 因为所给函数在[－3，4]上可导，所以，只需把y0的点与端点的值比较而可得出．

规范解法得2令fx6x6x126x2x10.x12,x21.32由于f323331231423,f222321221434,32

f12312147,f4243412414142,32比较可得，函数f（x）在x＝4取得它在[－3，4]上的最大值f（4）＝142；在x＝1取得它在[－3，4]上的最小值f（1）＝7．

对于一个实际问题而言，如果在（a，b）内部fx0的根只有一个x1，而从实际含义分析知在（a，b）内一定

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 有最大值或最小值存在．那么一般来说，fx1就是所要求的最大值或最小值．

例2 已知一木材有直径为d的圆截面，如何把它加工成为最坚固的矩形截面的横梁．

思路启迪 依题意，要使横梁最坚固，也即是使得横梁的抗弯强度最大，因此，首先应找出抗弯强度与矩形截面的关系，然后确定矩形截面的长宽为何值时抗弯强度为最大．

规范解法 如图3—12所示，设横梁矩形截面的底边长为x，则其高为d2x2，由材料力学的知识得，强度同

xd2x2成正比，设强度为f(x)，于是有：fxkxd2x20xd.

求导数得：fxkd3x22.d3.令fx0,得方程只有一根x

而从实际问题分析知，f（x）应有最大值，所以当xd3时，f（x）为最大，这时相应的高d2x223d63d.

即当加工的横梁底长为d3,高为63d时，横梁最坚固.

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