【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算

【套路秘籍】

一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

f（x0＋Δx）－f（x0）lim (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ Δxx0

x0

lim Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

Δy

x0

Δy

即f′(x0)＝limΔx＝lim

f（x0＋Δx）－f（x0）. Δxx0

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 二.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 三.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex f′(x)＝axlna 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a f（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）

(3)(g(x)≠0). [g（x）]2g（x）′＝

四.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. f（x＋Δx）－f（x）lim 数f′(x)＝称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数. Δxx0

【套路】

考向一 导数的概念

【例1】设f(x)是可导函数，且lim【举一反三】

1. 设函数𝑦=𝑓(𝑥)可导，则lim2．若lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝛥𝑥

𝑓(1+3△𝑥)−𝑓(1)

△𝑥

△𝑥→0

x0f(x0x)f(x02x)3，则f(x0) 。

x等于 。

𝛥𝑥→0

=1，则𝑓′(𝑥0)= 。

考向二 利用公式及运算法则求导

【例2】求下列函数的导数

1xx11y(x1)(1) （3）yxsincos (1)yx(x3) （2）

22xxx2x2 (5)yexsin2x 4y3(2x1)【套路总结】 导数计算的原则和方法 1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。 2.方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。 【举一反三】

1．下列求导运算正确的是（ ）

A．(3𝑥)′=𝑥•3𝑥−1 B．(2𝑒𝑥)′=2𝑒𝑥（其中e为自然对数的底数）

C．(𝑥2+)′=2𝑥+

𝑥1

1𝑥2

D．(

)′=cos𝑥

𝑥cos𝑥−𝑥sin𝑥cos2𝑥

2．求下列函数的导数： （1）𝑦=

考向三 复合函数求导

【例3】求下列函数导数

（1）y＝sin(2x＋1) (2)fxxcos2x （3）ycoslnx 【套路总结】 求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. √𝑥5+√𝑥7+√𝑥9√𝑥； （2）𝑦=𝑥⋅tan𝑥 (3)y＝xnlg x；(4)y＝𝑥+𝑥2+𝑥3；

121

【举一反三】求下列函数的导数： （1）y112x22； （2）yesin(axb)；

（3）ysin(2xπ)； （4）y5log2(2x1). 3

考向四 利用导数求值

【例4】（1）f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ .

1

x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－（2）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝3x3＋ax2＋(a2－1)·1)＝ 。

【举一反三】

1.已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ 。

2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ .

3. 已知函数fx的导函数为fx，且满足fx2xfelnx（其中e为自然对数的底数），则

fe 。

【套路运用】

1. 若函数fxxf1x2x5，则f'(2) 。

3'22.已知f(x)＝

12

x＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝ 。 21

3．已知函数f(x)＝ln x－f′ (2)x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 4.已知函数f(x)asinx，且limΔx→0

h0f(1h)f(1)2，则a= 。

h=−1，则曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为 。

的值为 。

5．设f(x)存在导函数且满足lim

f(1)−f(1−2Δx)

2Δx

6.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥3−2𝑥)𝑒𝑥，则lim7．给出下列结论：

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

. ①(cos x)′＝sin x；②(sin)=cos ；③若y＝𝑥2，则𝑦′=−𝑥；④()=−𝑥2𝑥𝑥33

√√𝜋′

𝜋111′

1其中正确的个数是 。 8．函数y2x33xex，则导数y 。

𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

9．若𝑓′(𝑥0)=2，则lim

＝________.

10．lim

cos(+𝛥𝑥)−cos

𝛥𝑥

𝜋6

𝜋6

𝛥𝑥→0

的值为______________.

=3，则𝑥0处的切线斜率是_______________.

1

3

1

3

11．已知lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

12．给出下列结论：①若𝑦=𝑥3，则𝑦′=−𝑥4；②若𝑦=3√𝑥，则𝑦′=3√𝑥；③若𝑦=𝑥2，则𝑦′=−2𝑥3④若𝑓(𝑥)=3𝑥，则𝑓′(1)=3，其中正确的个数是________________．

1

第十一讲 导数的概念及计算

【套路秘籍】

一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim

x0

f（x0＋Δx）－f（x0）

＝ Δx

x0

lim Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

Δy

x0

Δy

即f′(x0)＝limΔx＝lim

f（x0＋Δx）－f（x0）

. Δxx0

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 二.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 三.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex f′(x)＝axlna 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）

(3)(g(x)≠0). [g（x）]2g（x）′＝

四.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. 数f′(x)＝lim

x0

f（x＋Δx）－f（x）

称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数. Δx

【套路】

考向一 导数的概念

【例1】设f(x)是可导函数，且lim【答案】-1 【解析】由题意limx0f(x0x)f(x02x)3，则f(x0) 。

xf(x0Δx)f(x02Δx)f(x0Δx)f(x0)[f(x02Δx)f(x0)]lim

Δx0Δx0ΔxΔxf(x0Δx)f(x0)f(x02Δx)f(x0)limlim Δx0Δx0ΔxΔxf(x0Δx)f(x0)f(x02Δx)f(x0)lim2lim

Δx0Δx0Δx2Δxf'(x0)2f'(x0)3f'(x0)=3，所以f'(x0)1．

【举一反三】

2. 设函数𝑦=𝑓(𝑥)可导，则lim【答案】3𝑓′(1)

【解析】∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义𝑓′(1)=𝑙𝑖𝑚2．若lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝛥𝑥

𝑓(𝑥+△𝑥)−𝑓(𝑥)

△𝑥

△𝑥→0

1

𝑓(1+3△𝑥)−𝑓(1)

△𝑥

△𝑥→0

等于 。

可知3𝑙𝑖𝑚

1

𝑓(1+3△𝑥)−𝑓(1)1

=𝑓′(1)。 3△𝑥3△𝑥→0

𝛥𝑥→0

1

=1，则𝑓′(𝑥0)= 。

【答案】3 【解析】由题得lim

考向二 利用公式及运算法则求导

【例2】求下列函数的导数

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

=1，所以3lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

3𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

=1，所以3𝑓′(𝑥0)=1，所以𝑓′(𝑥0)=.

3

1

(1)yx(x21xx111) （3）yxsincos 3) （2）y(x1)(22xxxx2x 4y (5)yesin2x 3(2x1)【答案】见解析

【解析】（1）yx1312'2y3x. ,x2x3（2）先化简,yx1xx1x1xx12121111，yx2x21.

222xx'13（3）先使用三角公式进行化简.yxsin'xx1cosxsinx 222111y'xsinxx'(sinx)'1cosx.

2222x(2x1)3x23(2x1)222x2x2(4)y'；

(2x1)6(2x1)45y'exsin2x2excos2xex2cos2xsin2x.

【套路总结】 导数计算的原则和方法 1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。 2.方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。 【举一反三】

1．下列求导运算正确的是（ ）

A．(3𝑥)′=𝑥•3𝑥−1 B．(2𝑒𝑥)′=2𝑒𝑥（其中e为自然对数的底数） C．(𝑥2+𝑥)′=2𝑥+𝑥2 D．(【答案】B

1

1

)′=cos𝑥

𝑥cos𝑥−𝑥sin𝑥cos2𝑥

【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．

(𝑥2+)′=2𝑥−2，(3𝑥)′=3𝑥ln3，(2𝑒𝑥)′=2(𝑒𝑥)′=2𝑒𝑥，()′=详解：𝑥𝑥cos𝑥选B．

2．求下列函数的导数： （1）𝑦=

√𝑥5+√𝑥7+√𝑥9√𝑥1

1

𝑥

cos𝑥+𝑥sin𝑥cos2𝑥

，因此只有B正确．故

； （2）𝑦=𝑥⋅tan𝑥 (3)y＝xnlg x；(4)y＝𝑥+𝑥2+𝑥3；

121

【答案】见解析 【解析】（1）因为𝑦=

√𝑥5+√𝑥7+√𝑥9√𝑥𝑥sin𝑥′

=𝑥2+𝑥3+𝑥4，所以𝑦′=2𝑥+3𝑥2+4𝑥3.

(𝑥sin𝑥)′cos𝑥−𝑥sin𝑥(cos𝑥)′

cos2𝑥

（2）𝑦′=(𝑥⋅tan𝑥)′=((3)y′＝nxn－1lg x＋xn·(4)y′＝

′＋

′＋

)=cos𝑥

=

(sin𝑥+𝑥cos𝑥)cos𝑥+𝑥sin2𝑥

cos2𝑥

=

sin𝑥cos𝑥+𝑥cos2𝑥

。

＝xn－1(nlg x＋)．

′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.

考向三 复合函数求导

【例3】求下列函数导数

（1）y＝sin(2x＋1) (2)fxxcos2x （3）ycoslnx 【答案】（1）2cos(2x＋1) （2）cos2x2xsin2x

y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sin μ和μ＝2x＋1复合而成的，【解析】（1）所以y′x＝y′μ·μ′x＝cos μ·(2x＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x＋1)．

（2）fxgxhx,fxgxhxgxhx fxcos2x2xsin2x （3）ycoslnxsinlnxx'1sinlnxx

【套路总结】 求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 【举一反三】求下列函数的导数： （1）y 112x22； （2）yesin(axb)；

（3）ysin(2xπ)； （4）y5log2(2x1). 312【解析】（1）设yu122，u12x2，

3331212222则y)(12x)(u)(4x)(12x)(4x)2x(12x). x(u22u（2）设ye，usinv，vaxb，

usin(axb). 则yxyuuvvxecosvaacos(axb)e（3）设yu，usinv，v2x2π， 32π). 3则yxyuuvvx2ucosv24sinvcosv2sin2v2sin(4x（4）设y5log2u，u2x1，

则yx5(log2u)(2x1)

1010. uln2(2x1)ln2考向四 利用导数求值

【例4】（1）f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ .

1

x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－（2）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝3x3＋ax2＋(a2－1)·1)＝ 。

15

【答案】（1）1 （2）－3或3 1【解析】（1）f′(x)＝2 019＋ln x＋x·x＝2 020＋ln x， 由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.

（2）∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．

5

若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝3；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0， 1

又对称轴为x＝－a，－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－3. 【举一反三】

1.已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ 。

【答案】0

11

【解析】∵y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－3，∴f′(3)＝－3.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)

1

＝f(3)＋3f′(3)，由题图知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－3＝0.

2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ . 【答案】 －4

【解析】 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 3. 已知函数fx的导函数为fx，且满足fx2xfelnx（其中e为自然对数的底数），则

fe 。

【答案】e1

x）e）2f（【解析】根据题意，f（x）=2xf '（e）+lnx，其导数f（e）e）2f（令x=e，可得f（11e） ，，变形可得f（ee【套路运用】

1. 若函数fxxf1x2x5，则f'(2) 。

3'21， x【答案】

22 3【解析】fxx3f'1x22x5f'x3x22f'1x2f'132f'12522f'1f'23222f'122f'2332.已知f(x)＝

12

x＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝ 。 220142014，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝x2014【答案】－2015

【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋－2015.

3．已知函数f(x)＝ln x－f′ ()x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 2【答案】-1

【解析】根据题意，函数f(x)＝ln x－f′ (2)x2＋3x－4，

111

其导数𝑓′（𝑥）=𝑥−2𝑥𝑓′（2）+3，令𝑥=2，𝑓′（2）=

1

1

12

1

1

−2×2×𝑓′（2）+3,∴𝑓′（2）=2,

1115

令𝑥=1，则𝑓′（𝑥）=1−2×1×2+3=−1. 即答案为-1. 4.已知函数f(x)【答案】2

【解析】因为 f(x)acosx，又由题意，得f(1)acosa2 5．设f(x)存在导函数且满足lim【答案】-1 【解析】

f(1)−f(1−2Δx)

2Δx

Δx→0

15

asinx，且limh0f(1h)f(1)2，则a= 。

h=−1，则曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为 。

根据导数的几何意义的推导过程得到：y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线的斜率为f′(1)=lim−1 ,

6．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥3−2𝑥)𝑒𝑥，则lim【答案】0 【解析】lim

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

f(1)−f(1−2Δx)

2Δx

Δx→0

=

的值为 。

=𝑓′(1),∵𝑓(𝑥)=(𝑥3−2𝑥)𝑒𝑥,∴𝑓′(𝑥)=(𝑥3+3𝑥2−2𝑥−2)𝑒𝑥，有𝑓′(1)=0.

7．给出下列结论：

𝜋𝜋

. ①(cos x)′＝sin x；②(sin)=cos ；③若y＝𝑥2，则𝑦′=−𝑥；④()=−𝑥2𝑥𝑥33

√√′

1

1

1′

1其中正确的个数是 。 【答案】1

【解析】对于①，（cosx）′=﹣sinx，故错；对于②，（sin3）′=0，故错； 对于③，若y=𝑥2，则y′=﹣2𝑥3，故错；对于④，（√𝑥）′=−2𝑥√𝑥，正确． 8．函数y2x323𝜋

1111xex，则导数y 。

12【答案】6xx3ex

3【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，

1212x23y6xxe16xx3ex．

3329．若𝑓′(𝑥0)=2，则lim【答案】1

𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

＝________.

【解析】根据函数𝑓（𝑥）在𝑥0处导数的定义知，lim

𝛥𝑥→0即答案为1. 10．lim

cos(+𝛥𝑥)−cos

𝛥𝑥1

𝜋6𝜋6𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

=

1

lim2𝛥𝑥→0

𝑓(𝑥0+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝛥𝑥

=𝑓′(𝑥0)=1.

2

1

𝛥𝑥→0

的值为______________.

【答案】−2 𝑙𝑖𝑚𝑐𝑜𝑠(6+△𝑥)−𝑐𝑜𝑠6=（𝑐𝑜𝑠𝑥）′丨𝑥【解析】△𝑥△𝑥→011．已知lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

𝜋

𝜋

＝𝜋

6=−𝑠𝑖𝑛6=−2.故答案为−.

2

𝜋11

=3，则𝑥0处的切线斜率是_______________.

【答案】2 【解析】由lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

2𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

=3可得：2lim

3

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

3𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

=3，即lim

𝑓(𝑥0+3𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)

3𝛥𝑥

𝛥𝑥→0

=2

∴𝑥0处的切线斜率是2故答案为：2 12．给出下列结论：①若𝑦=

1𝑥3，则𝑦′=−𝑥4；②若𝑦=3√𝑥，则𝑦′=3√𝑥；③若𝑦=𝑥2，则𝑦′=−2𝑥3④若

31

3

1

𝑓(𝑥)=3𝑥，则𝑓′(1)=3，其中正确的个数是________________． 【答案】2

【解析】对于②，𝑦′=

13√𝑥23，故②错误；对于③，𝑦′=−2𝑥−3，故③错误，

所以只有①④是正确的，故正确结论的个数为2．