维普资讯 http://www.cqvip.com 第２３卷第８期 哈尔滨学院学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｂ１．２３ ＮＯ．８ Ａｇｕ．２００２ ２００２年８月 【文章编号】ｌ００４—５８５６（２００２）０８—００９７—０２ 浅谈反证法 刘 颖 （哈尔滨学院，黑龙江哈尔滨１５００８０） 【摘 要】本文给出了反证法的逻辑依据和步骤，并通过实例给出宜用反证法处理的问题情境。 【关键词】反证法；排中律 【中图分类号】Ｏ１ ２２ 【文献标识码】Ａ 数学命题的证明方法，可根据实际情况， 谬法。 有直接证法和间接证法之分。反证法是一种最 常见的间接证明方法，并且它是数学中的一种 很重要的证明方法。它不是采用直接的方法去 证明命题的结论，而是先提出一个与命题结论 相反的假设，然后再从这个假设出发利用已知 条件步步有据的实行严密的逻辑推理，直至导 出结论，从而断言所提出的与结论相反的假设 是不正确的，因而，命题的结论是正确的。 例 设ａ，ｂ，ｃ都是奇数，求证：方程 ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ＝０没有有理根。 证明 （１）假设方程ａｘ ＋ｂｘ＋ｅ＝０不是没 有有理根，则必存在有理数ｑ／Ｐ（Ｐ、ｑ互素） 是方程的根。 （２）由ｑ，ｐ是方程ａｘ ＋ｂｘ＋ｅ＝０的根，可 得ａ（ｑ／ｐ） ＋ｂ（ｑ／ｐ）＋ｃ＝Ｏ，即 ａｑ ＋ｂｑｐ＋ｃｐ ＝０， （１） ｌ 反证法的逻辑依据和步骤 反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依 据就是逻辑学中的排中律。人们在实践中得出 这样的规律：“Ｓ是Ｐ”和“Ｓ不是Ｐ”两个相 反判断中，总有一个是真的，另一个是假的， 不存在第ｉ个判断。这就是逻辑思维规律中的 排中律。例如：对于实数ａ，它或者是有理数， 或者不是有理数（即无理数），这类互相排斥的 情况，对一个具体研究对象来说，二者必居其 仅居其一，根据这一原则，若通过论证， 当某一力‘面的性质被推翻无疑时，则另一方面 一由于ｑ、Ｐ互素，因此，ｑ、Ｐ的奇偶性只有以 下两种可能：（ｉ）ｑ、Ｐ都是奇数； （ｉｉ）ｑ、Ｐ一奇一偶。 在（ｉ）的情况下，考查（１）式左端。因为 ａ，ｂ，ｃ都是奇数，所以ａｑ ＋ｂｑｐ＋ｃｐ 是奇数。于是 与右端为零相矛盾，因而（ｉ）的情况不成立。 同样，在（ｉｉ）的情况下也将导致同样的矛盾。 由此可知，假设存在有理根不合理，所以，方 程没有有理根，命题获证。 ，２宜用反证法处理的问题情境 反证法的应用是很广泛的，但究竟怎样的 命题的证明 适于用反证法，却很难回答。这 的性质就确实成立了。 反证法的具体步骤：（１）反设：作出与求 证结论相反的假设；（２）归谬：由反设出发， 推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的 结果；（３）作出结论：证明了反设不能成立， 从而肯定了原来求证的结论不得不成立。 反证法证题的特征是通过导出矛盾，归结 为谬误，而使命题得证。因此，反证法也叫归 是一个经验问题。从逻辑上来说，凡是能用直 接证法证明的命题，其证明过程都可以改写成 某种反证法的形式。但我们只对那些用直接证 法难以下手的问题转而采用反证法来证明。 ２．１ 当命题的结论中以“唯一”、“至多”、“至 少”等限定形式出现时，可考虑用反证法。 例１ 当ＤＰ ＝２（ｐ，＋ｐ：）时，试证方程多于 ［收稿日期］２００１—１１－０２ ［作者简介】刘颖（１９６９一），女，硕士，讲师，主要研究方向：数学教法。 维普资讯 http://www.cqvip.com ９８ 哈尔滨学院学报 ２００２／正 ｘ ＋ｐｌｘ＋ｑｌ＝０和ｘ ＋ｐ２ｘ＋ｑ２＝０中，至少有一个方程 有实数根。 分析：“至少有一个”就是“有一个”，“有两 个”，……，然而很容易理解它的反面是“一个都 没有”，属于存在性问题，宜用反证法。 证明（略）。 ・１）若ｈ不是ａ，ｈ，ｃ中最大的一个正数， 不失一般性，可设ａ≥ｈ。由ｆ４）得４ｃ￣＜ｂ２／ａ≤ｈ， ４ｃ≤ｂ。而南ｆｌ１可知４ｃ＞５ａ一４ｂ≥ａ≥ｂ，．・． ．．４ｃ）ｈ，两者矛盾，可知假设不成立。 ２）若ｂ是ａ，ｈ，ｃ中最大的一个正数，则 ｂ＞ａ，ａ＞ｃ，由（２）知ｂ＜４（ａ－ｈ）＋４ｃ＜４ｃ ．（ｂ－４ｃ） 、说明：遇到存在性问题，作出与命题结论相 反的假设时要认真弄清题意。例如，“至少有ｊ 张”就是“有ｊ张”，“有四张”，……，它的反 面是“至多有二张”。 （ｈ—Ｃ）＜０．即ｂ２－５ｂｃ＋４ｃ ＜０。 ・．．ｈ ＜５ｂｃ ｃ 。‘．‘ｂ２＞１４ａｃ ．４ａｃ＜５ｂｃ一４ｅ 。 则４（ａ＋ｃ）＜５ｂ与（２）矛盾。 ２．２当命题的结论中带有“否定性”的断言时， 可考虑用反证法。 例２试证适合ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝１的实数Ｘ、Ｙ、Ｚ 必不能满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙｚ。 分析：已知条件ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝１是一个有无数 由１）、２）可知，假设不成立，原命题正确。 ２－４当命题中的结论用直接证法较难时，可考虑 用反证法。 例４在凸四边形ＡＢＣＤ中，若ＡＢ＋ＢＤ≤ ＡＣ＋ＣＤ．试证：ＡＢ≤ＡＣ。 分析：假设ＡＢ＞ＡＣ．则 ＡＣＢ＞ ＡＢＣ， 又‘．‘ＡＢＣＤ是凸多边形 ． ＢＣＤ＞ ＡＣＢ， ＡＢＣ＞ ＤＢＣ． 组解的不定方程，要证实这些解都不满足另一 方程，显然较困难，但如果把结论的反面与假 设联列成一个方程组，则只要说明所得方程组 无实数解就可以了，故可考虑用反证法。 证明（略）。 则 ＢＣＤ＞ ＤＢＣ．ＢＤ＞ＣＤ。 说明：命题的结论中涉及到否定论断时，因 为再否定即为肯定，对于肯定的结论一般较好 处理，故宜用反证法。采用反证法可把否定性 的断言转化为某种肯定性的断言，从而找到推 理的途径。因为，我们所掌握的绝大部分概念、 公理、定理、法则、公式等等都是肯定性的断 育，而运用肯定性的断言去推理一个命题要比 运用否定性的断言去推证一个命题更直观、容 易。 ２．３ 当命题中的结论的反面较易证明时，可考 虑用反证法。 ＡＢ＋ＢＤ＞ＡＣ＋ＣＤ，与已知条件矛盾。 假设错误，从而ＡＢ≤ＡＣ． 说明：本题实质上是证明逆否命题，这是 反证法应用范围的一种常见情况． ・．．２．５命题中的结论以“无限”形式出现时，也可 考虑用反证法． ・ 例３若ａ、ｂ、ｃ都是正实数，胃．方程 ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ有实根，试证：ａ、ｈ、ｃ中至少有一 个数不小于４／９（ａ＋ｂ＋ｃ）。 分析：如直接证明，则要推出ａ≥４／９（ａ＋ｂ＋ｃ）， 或ｈ＞１４／９（ａ＋ｂ＋ｃ），或ｃ＞１４／９（ａ＋ｂ＋ｃ），情况 比较复杂，需讨论方面很多，而它的反面情况 ２简单，故考虑用反证法。 证明假设ａ、ｈ、ｃ均小于４／９（ａ＋ｂ＋ｃ），即可 推出 ５ａ＜４（ｂ＋ｃ） ５ｂ＜４（ａ＋ｃ） ５ｃ＜４（ｂ＋ａ） 例５试证：存在无穷多个质数。 证明：设质数只有ｎ个：Ｐ ，Ｐ ，…，Ｐ 取正整数Ｎ＝Ｐ。Ｐ …Ｐｎ＿＋ｌ，Ｎ不能被这ｎ个质 数中的任一个整除，因用这ｎ个质数。 的任一个去除Ｎ，余数都是１．因此，或者Ｎ 本身就是质数（显然Ｎ不等于Ｐ ，Ｐ ，…， Ｐ 中任一个），或者Ｎ还含有除这ｎ个质 数外的质因数ｐ，这些都与质数仅有ｎ个的 反设是矛盾的，故质数个数不能是有限的，即是 无限的。 说明：对于这类命题，如果从正面去讨论一 个无限的对象具有某种性质其Ｔ程经常非常 浩大，以至不可能实施．当采用反证法时，就可把 无限转化为有限．这样，论证起来自然就要简单 确定得多。 事实上，反证法的应用有着极广泛的领域， 要想较好地掌握反证法，关键还在于实践，需要 同学们在课内外数学的学习中通过练习各式各 样的题目来增强自己的能力。 责任编辑：唐金石 （１） （２） （３） 另南已知条件有ｂ２－４ａｃ＞１０。 （４） ＥＬＥＭＥＮＴＡＲＹ ＩＮＴＲ０ＤＵＣＴ１０Ｎ ０Ｆ ＲＥＤＵＣＴ１０Ｎ ＴＯ ＡＢ ＳＵＲＤＩＴＹ Ｌｉｕ Ｙｉｎｇ （Ｈａｒｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５００８０，Ｃｈｉｎａ）
