冲刺南京小升初必备知识点分类解答
立体图形——物体淹没，先判断再计算
1.如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．
2.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【答案解析】
1、解题思路
2、解题思路
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立体图形——物体淹没，注意图形结构
一个圆柱形容器内放有一个长方体铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．
【答案解析】
立体图形——图形剪拼，注重分法切割
1、将一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体切成4个完全相同小长方体，每个小长方体表面积最大是多少？最小是多少？
解析：这是典型的立体图形切割问题，核心：每切一刀会增加两个面。
方法一：分析切割方向，结合画图。
题中要求切4个小长方体，有两种切法。一是可以沿着一个方向切3刀，沿着这条棱4等分，会增加6个相同的面；二是沿着两个方向各切1刀，这时会增加4个面。
最大：沿着5厘米高的棱切，增加6个6×10的面。
2
此时4个小长方体的总表面积为：（6×10+6×5+5×10）×2+6×6×10=0平方厘米
每个小长方体的表面积为：0÷4=160平方厘米。
最小：沿着10厘米和6厘米的棱各切一刀，增加2个5×6和2个5×10的面。
此时4个四个小长方体总表面积：（6×10+6×5+5×10）×2+2×5×6+2×5×10=440平方厘米。
每个小长方体表面积为：440÷4=110平方厘米。
方法二：根据最值条件，确定三维。
题中是分成4部分，有两种切割方法，可沿着一个方向切，也可以沿着两个方向切。
最大：新三维差距越大越好，新三维为10厘米，6厘米，1.25厘米。
新小长方体表面积为：（10×6+10×1.25+6×1.25）×2=160平方厘米。
最小：新三维越接近越好，新三维为5厘米，3厘米，5厘米。
新小长方体表面积为：（5×3+5×5+5×3）×2=110平方厘米。
立体图形——图形剪拼(二)，拼接方法
2. 用5个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是多少？最小是多少？
解析：本题和上题的区别在于上次是切割，会增加面。本题是拼接，则拼一次消去两个面。
另有区别：本题是5个部分，拼接方法只有一种。
方法一：
最大：使4×3的面拼在一起，消失8个4×3的面。
大长方体表面积为：5×（5×4+5×3+4×3）×2-8×4×3=470-96=374平方厘米。
最小：使5×4的面拼在一起，消失8个5×4的面。
大长方体表面积为：5×（5×4+5×3+4×3）×2-8×5×4=470-160=310平方厘米。
方法二：
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最大：新三维差距大，分别为25厘米，4厘米，3厘米。
表面积为：（25×4+25×3+4×3）×2=374平方厘米。
最小：新三维接近，分别为5厘米，4厘米，15厘米。
表面积为：（5×4+5×15+4×15）×2=310平方厘米。
立体图形——染色问题（一）减二处理
【解析】
三面色：在顶点处，有8块。
两面色：在棱上，有[（4-2）+（5-2）+（6-2）]×4=36.
类似求解棱长和。
一面色：在面上，有[（4-2）×（5-2）+（4-2）×（6-2）+（4-2）+（5-2）]×2=52.
类似求解表面积公式。
无色：在内部，有：(4-2)×（5-2）×（6-2）=24. 类似求体积公式。
立体图形——染色问题（二）
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立体图形——旋转体积（一）三角形旋转
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立体图形——旋转体积（二）圆台体积
平面几何——圆与扇形（一）
如下图，有两个同心圆和两个正方形，阴影部分的面积是40平方厘米，环形面积是（ ）平方厘米。
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平面几何——圆与扇形（二）隔补思想
平面几何——圆与扇形（三）滚动周长 圆与扇形的周长
三角形的边长都为3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚三次（如图），求A点经过的路程的长。
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平面几何——圆与扇形（四）
如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧．求阴影部分面积。
平面几何——圆与扇形（六）扫过面积
如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以0点为中心旋转90度，问：三角形扫过的面积是多少？（圆周率取3）
平面几何——圆与扇形（七）圆中圆
每个小圆的半径都是1，求阴影部分的周长和面积。
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平面几何——圆与扇形（八）三角求阴影
在直角三角形中，已知三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，以三角形的顶点为圆心的三个圆，半径长都是1厘米，求图中阴影部分的面积。（圆周率取3）
平面几何——圆与扇形（九）圆求阴影 如图，小圆直径为4分米，求阴影部分的面积。
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平面几何——圆与扇形（九）绳捆啤酒问题
夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）
平面几何——圆与扇形（十）周长代换
如图所求，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是多少厘米。（圆周率取3.14）
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应用题——分数百分数（一）占总分比
1、一堆煤，第一次用去这堆煤的20%，第二次用去290千克，这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？
应用题——分数百分数（二）占百分比
三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的捕获.JPG老二出的钱是其他两人出钱总数的捕获.JPG，老三比老二多花400元。问这台彩电多少钱？
解析：本题关键在于三人总钱数不变，分别思考每个人占总钱数的比。
三人出钱的总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1”。
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应用题——分数百分数（三）总量不变
应用题——分数百分数（四）方程关系
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应用题——分数百分数（五）逆推思考
应用题——分数百分数（六）逆推思考
古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年。再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须，又过了生命的七分之一他才结婚，再过了五年，他幸福的得了个儿子。可这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世的生涯。”你能根据这段话推算出丢番图活到了多少岁吗？
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多少岁结婚？
解析：本题是个经典分数题，结合画图。
这道题中只出现了一个具体数量，即“再过了五年”中的5，为了解决问题必须找到5所对应丢番图一生的几分之几。
应用题——经济问题（一）量率对应
某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱25%，求原价是多少元？
应用题——经济问题（二）等量方程组
体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？
解析：本题推荐列方程组解决。
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应用题——经济问题（三）利润为零
应用题——经济问题（四）减价销售
租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？
解析：本题注意假设思想，寻找差价。
原计划租仓库3个月，现只租用了2个月，节约了1个月的租金7000元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚7000元，但现在只多赚了1000元，知降价损失是7000-1000=6000（元）。而货物3吨=3000千克，所以每千克货物降低了6000÷3000=2（元）。
应用题——经济问题（五）减价增量
王老师到木器厂订做240套课桌椅，每套定价80元.王老师对厂长说：“如果1套桌椅每减价1元，我就多订10套.”厂长想了想，每套桌椅减价10%所获得的利润与不减价所获得的利润同样多，于是答应了王老师的要求.那么每套桌椅的成本是多少元。
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应用题——经济问题（六）利润率综合
商店购进十二生肖玩具1000个，运输途中破损了一些。未破损的好玩具卖完后，利润率为50％；破损的玩具降价出售，亏损了10％。最后结算，商店总的利润率为39.2％。商店卖出的好玩具有多少个？
应用题——经济问题（七）
某书店出售一种挂历，每售出1本可获得18元利润。售出一部分后每本减价10元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历的2/3。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？
应用题——经济问题（八）
某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品。二级品的进价比一级品便宜20％。按优质优价的原则，一级品按20％的利润率定价，二级品按15％的利润率定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元。问：一级品篮球的进价是每个多少元？
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多人多次相遇问题（一）
有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米？
多人多次相遇问题（二）
甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？
解析：本题重点是结合行程图，分析相同时间下的路程关系。
多人多次相遇问题（三）
甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？
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多人多次相遇问题（四）-环形相遇
多人多次相遇问题（五）
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
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多人多次相遇问题（六）
甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？
多人多次相遇问题（七）
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多人多次相遇问题（八）
甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：（1）A，B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？
变速和走停问题（一）
一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？
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变速和走停问题（二）
变速和走停问题（三）
甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A，B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米？
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变速和走停问题（四）
甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．
解析：本题是走停问题中经典问题，核心在于预估时间后，逐段分析。
变速和走停问题（五）
甲乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米.出发一段时间后，二人在距离中点120米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇.问：甲在途中停留了多少分钟？
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