复杂电力网潮流计算的计算机解法

〔3-57〕

图 3-17 网络接线的变化图

〔a〕网络引出一支路，〔b〕节点间增加一支路，〔c〕节点间切除一支路，〔d〕节点间导纳改变 〔3〕在原有网络节点i、j间切除一支路。如图3-17〔c〕所示。

设在节点i切除一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳Yii、Yjj和互导纳Yij分别发生变化，其变化量为

〔4〕原有网络节点i、j间的导纳改变为 设节点i、j间的导纳改变为

〔3-58〕

。如图3-17〔d〕所示。

的支路。

，相当于在节点i、j间切除一条yij的支路，增加一条〔3-59〕

〔5〕原有网络结点i、j间为变压器支路，其变比由K变为K’，相当于切除一变比为K的变压器，新增一变比为K’的变压器 。

〔3-60〕

当节点之间变压器等值电路如图〔a〕、〔b〕时，该变压器变比的改变将要求节点ij有关元素作如下修改。

图3.18由导纳表示的变压器等值电路〔a〕导纳在低压侧， (b)网络等值电路，〔c〕导纳在高压侧，〔d〕网络等值电路

导纳阵的相应元素如下变化：

〔3-61〕

当节点之间变压器等值电路如图〔c〕、〔d〕时，该变压器变比的改变将要求与节点ij有关元素作如下修改。

〔3-62〕

3.导纳矩阵的运算 1〕运算流程

〔1〕导纳矩阵的阶数等于电力系统网络中的节点数。

〔2〕导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。 〔3〕导纳矩阵的对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。 〔4〕导纳矩阵非对角元素

等于节点 与节点 之间的导纳的负数。

例3-3 5节点系统单线图如3-19所示，数据如表3-1、3-2、3-3所示，母线1与发电机相联，发电机G1参数400MVA，15kV，选为平稳节点。发电机G2参数800MVA，15kV，选为电压操纵母线〔PU节点〕，母线3与发电机G2和负载相联，母线2、4、5为PQ节点。写出各节点量和待求变量的关系，运算系统导纳矩阵。

图 3-19 例5 网络图

表3.1 例5母线输入数据〔参数均为标幺值〕

母线 1 2 3 4 5 类型 平稳 负荷 电压常量 负荷 负荷 U 1.0 — 1.05 — — 度 0 — — — — PG — 0 5.2 0 0 QG — 0 — 0 0 PL 0 8.0 0.8 0 0 QL 0 2.8 0.4 0 0 PGmax — — 4.0 — — PGmin — — -2.8 — — 容量基准值，SB=100MVA，母线1、3 电压基准值UB=15kV，母线2、4、5电压基准值UB=345kV

表3.2 例5线路输入数据〔线路参数均为标幺值〕

母线-母线 2-4 2-5 4-5 0.0090 0.0045 0.00225 0.100 0.050 0.025 0 0 0 1.72 0.88 0.44 长度M 200 100 50 最大值MVA 12.0 12.0 12.0 表3.3 例5变压器输入数据〔变压器参数均为标幺值〕

母线-母线 R X 变比 容量MVA 最大值MVA 抽头最大值设置 1-5 3-4 0.00150 0.00075 0.02 0.01 15/345kV 345/15kV 400 800 600 1000 — — 解：输入数据和待求变量列于表3.4。关于母线1，选为平稳节点，P1和Q1是待求变量。关于母线3，电压受控母线〔PU节点〕，Q3和 待求变量。母线2、4和5，与负荷相联〔PQ节点〕，U2、U4、U5和 、 、 是待求变量。

表3.4 例3-3母线输入数据和待求变量

母线 1 2 输入数据 U1 = 1.0, = 0 P2 = PG2- PL2 = -8 Q2 = QG2- QL2 = -2.8 3 U3 = 1.05 P3= PG3- PL3 = 4.4 4 5 待求变量 P1, Q1 U2, Q3, P4 =0, Q4 =0 P5 =0, Q5 =0 U4, U5, 运算导纳矩阵：导纳矩阵Y的元素可由自导纳和互导纳的定义运算得到，以母线2为例写出互导纳与自导纳的运算式，由于母线1和3不是直截了当连接到母线2，因此 Y21 = Y23 = 0

得

其中，连接到母线2的每条线路的并联导纳的一半包含在Y22中(另一半置于这些线路的另一端)。 同理可运算出导纳矩阵其他元素。

3.3.2 高斯-赛德尔法 高斯-塞德尔法潮流运算 〔1〕功率方程的特点

描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直截了当求解。

〔2〕迭代运算式 如式〔3-65〕中的

以

替代〔i=1,2,3〕，就可用以解非线性节点电压方程

或它的展开式

〔3-66〕

这时的迭代格式将为

〔3-67〕

明显，式〔3-66〕中的对应于

或

。

就对应于式〔3-67〕中的，就对应于，就对应于，就

但需指出，按式〔3-67〕进行迭代时，除平稳节点外，其他节点的电压都将变化，而这一情形不符合PV节点电压大小不变的约定。因此，每次迭代求得这些节点的电压后，应对他们的大小按给定值修正，并据此调整这些节点注入的无功功率。这是潮流运算运用高斯-塞德尔法时的专门之处。 〔3〕高斯-塞德尔潮流运算算法

假设有n个节点的电力系统，没有PU节点，假设平稳节点编号为1，功率方程可写成以下复数方程式：

〔3-68〕

对每一个PQ节点都可列出一个方程式，因而有n-1个方程式。在这些方程式中，注入功率Pi和Qi差不多上给定的，平稳节点电压也是的，因而只有n-1个节点的电压为未知量，从而能够求得唯独解。 高斯-塞德尔迭代法解潮流公式如下：

〔3-69〕

上式可展开为：

式中U1是平稳节点的电压，k为迭代次数，上式是按高斯-赛的法解方程式组的标准是书写的，关于PQ节点，由于其功率是给定的，故只要写出节点电压初值

，即可利用〔3-69〕式迭代运算各节点节点电压。

式中等号右侧的Ui采纳经k次迭代值，等号右侧的Uj，当ji时，采纳经k次迭代后的值。迭代过程可进行多次，当某次迭代的解与前一次迭代后的解相差小于事先给定的承诺误差ε时，即

，迭代终止，这确实是迭代收敛的条件。

一样系统内存在PU节点，这种PU节点注入的无功功率受电源供应无功功率的。假设节点p为PU

节点，设定的节点电压为，因其无功功率是未知量，只能在迭代开始时给定初值，此后的迭代值

必须在逐次迭代的过程中运算得出。假定高斯-塞德尔迭代法已完成第k次迭代，接着要做第k+1次迭代前，先按下式求出节点p的注入无功功率：

〔3-70〕

然后将其代入下式，求出节点p的电压：

〔3-71〕

在迭代过程中，按上式求得的节点p的电压大小不一定等于设定的节点电压中，应以设定的

对电压进行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得

，所有在下一次的迭代

假如系统中有多个PU节点，可按上述相同运算方法处理。

在迭代过程中往往求得PU节点的无功功率会显现越限，即按式〔3-70〕求得的件

或

，不能满足约束条

时，考虑到实际工程中对节点电压的不如对节点功率的严格，这时可用

代入式〔3-71〕运算

，现在不再需要修正电压的数值。换言之，这时只能满足约束条件

，而不能满足约束条件

点。

迭代收敛后，就可运算平稳节点s=1的功率Ss

。事实上，现在该节点已由PU节点转化为PQ节

求取线路潮流，线路连接节点i和节点j，在节点i测量支路电流其值为

〔3-72〕

，规定由节点i流向节点j时为正。

同理在节点j测量支路电流Iji规定由节点j流向节点i时为正。其值为：

〔3-73〕

复功率Sij表示又节点i流向节点j，Sji表示由节点j流向节点i。其值为：

以及各线路的功率损耗可由下式算出:

〔3-76〕

〔3-74〕

〔3-75〕

图3-20 运算线路潮流的线路模型

〔4〕高斯-塞德尔迭代法运算潮流的步骤： 1〕设定各节点电压的初值，并给定迭代误差判据；

2〕对每一个PQ节点，往常一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；

3〕关于PV节点，求出其无功功率，并判定是否越限，如越限那么将PV节点转化为PQ节点； 4〕判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，那么回到第2步，连续进行运算，否那么转到第5步；

5〕依照功率方程〔3-5〕求出平稳节点注入功率； 6〕求支路功率分布和支路功率损耗。

需注意：按高斯-塞德尔法进行迭代时，除平稳节点外，其它节点的电压都将变化，这一情形不符合PU节点电压大小不变的约定。因此，每次迭代求得这些节点的电压后，应对PU节点电压的大小按给定值进行修正，并据此调整这些节点注入的无功功率，如上面算法中所述。这是潮流运算中，运用高斯-塞德尔法时的专门之处。

图3-21 高斯赛德法潮流运算流程

例3-4利用高斯-赛德尔法运算例3-3系统潮流分布情形。

解：关于例3-3所示的电力系统，用高斯-赛德尔法运算时，第一需要对各节点赋初值，之后除去平稳节点外，按从小到大编号的节点进行迭代运算，迭代收敛后运算平稳节点的功率及网络损耗。 〔1〕赋初值

对PQ节点赋电压初值：U2=1.0∠0°、U4=1.0∠0°、U5=1.0∠0° 对PU节点赋电压〔相位〕初值：U3=1.05∠0°

〔2〕迭代求解PQ节点电压、PU节点电压相角和无功功率

取

由于求得的

不等于给定的U3，将修正为

求得各节点电压新值后，再按式运算，开始第二次迭代，各节点电压〔标幺值〕迭代结果示于表3.5，

迭代过程中PU节点无功功率(标幺值)示于表3.6。

手算时迭代误差可适当设置，应用运算机程序求解时，误差一样设为10。

表3.5 例3-4迭代过程中各节点电压〔标幺值〕

迭代次数k 0 U2 1.0000+j0.0000 1.0000∠0.00° 1 0.9215-j0.2737 0.9613∠-16.54° 2 0.8577-j0.2671 0.83∠-17.29° 3 0.8302- j0.2834 0.8773∠-18.84° 4 0.8116- j0.2885 0.8614∠-19.57° …… 49 -5

U3 1.0500+j0.0000 1.0500∠0.00° 1.0492+j0.0398 1.0500∠2.17° 1.04+j0.0490 1.0500∠2.68° 1.0491+j0.0429 1.0500∠2.34° 1.0493+j0.0371 1.0500∠2.03° U4 1.0000+j0.0000 1.0000∠0.00° 1.0354+j0.0075 1.0354∠0.42° 1.0323+j0.0014 1.0323∠0.08° 1.0272-j0.0042 1.0272∠-0.23° 1.0243-j0.0098 1.0243∠-0.55° U5 1.0000+j0.0000 1.0000∠0.00° 1.0049-j0.0478 1.0061∠-2.72° 0.9921-j0.04 0.9933∠-2.82° 0.9853-j0.0540 0.9868∠-3.14° 0.9808-j0.0570 0.9825∠-3.33° 通过49次迭代，最大误差精度为8.9861e-6<1.0e-5 0.7708-j0.3178 0.8338∠-22.40° 1.0499-j0.0109 1.0500∠-0.59° 1.0181-j0.0504 1.0193∠-2.83° 0.9712-j0.0772 0.9743∠-4.55° 表3.6 例3-4迭代过程中PU节点无功功率(标幺值)

迭代次数k Q3 0 3.6000 1 1.3251 2 1.5903 3 2.1252 …… …… 49 2.9747 〔3〕求平稳节点1的功率

迭代收敛后，就可运算平稳节点的功率，

〔4〕求各条支路的功率及损耗

利用式〔3-74〕、〔3-75〕及〔3-76〕运算支路功率及支路损耗。 以支路1-5为例求解。

其余支路求解过程略，结果见表3.7。

表3.7 3-4各支路功率及损耗〔标幺值〕

支路i-j 1-5 2-4 2-5 3-4 4-5 3.9458+j1.1441 -2.9185-j1.3910 -5.0814-j1.4090 4.4008+j2.9747 1.3449+j1.5034 -3.9205-j0.8065 3.0369+j1.2153 5.25+j2.6301 -4.3816-j2.7188 -1.3344-j1.8251 0.0253+j0.3376 0.1184-j0.1757 0.1750+j1.2211 0.0192+j0.2559 0.0104-j0.3217 网络总损耗为：

以及这一网络的输电效率为：

至此本例潮流运算全部解算完毕。 3.3.3牛顿-拉夫逊法 1.牛顿-拉夫逊算法原理

牛顿-拉夫逊〔Neton-Raphson〕法是求解非线性代数方程有效的迭代运算方法。在每一次的迭代过程中，非线性问题通过线性化逐步近似。以一个变量为x的非线性函数求解过程加以说明。 设一维非线性方程

*

〔3-77〕

*

(0)

求解 x，设真值为x。

第一在x邻近选一初值x，那么误差为 式〔3-77〕写为

〔3-78〕

将上式展开成Talor级数，

假如初值x接近真值，那么误差足够小，可略去上式中的高阶项 可得

〔3-80〕

〔3-79〕

(0)

将x代入上式，求得误差修正量，即可得到所求解。

〔3-81〕

(0)

如此连续下去，那么可得到充分靠近解：

〔3-82〕

〔3-83〕

理论上

收敛条件

〔3-84〕

〔3-85〕

(v+1)

图3.22〔a〕中示出牛顿-拉夫逊法的解算过程，可见x更接近于真值。运用这种方法时，初值要选取

的接近于精确解，否那么迭代过程可能不收敛，如图3-22〔b〕所示。

图3-22 牛顿拉夫迅的解算过程

〔a〕 初始值选取合适收敛 〔b〕初始值选取不合适不收敛

关于n维非线性方程组

〔3-86〕

〔3-87〕

展成Talor级数，并略去二阶以上项

〔3-88〕

整理成为如下的矩阵方程：

〔3-〕

式〔3-〕等号右边矩阵中的是分别关于x1,x2,...,xn求导的值，这一矩阵称为雅克比〔Jacobi〕矩

阵。

上式简记为：

可解出

求解形式如下：

〔3-90〕

收敛条件

〔3-91〕 〔3-92〕

2.直角坐标系下的牛顿-拉夫逊算法

运用牛顿-拉夫逊法运算潮流时，节点导纳矩阵的形成、平稳节点和线路功率的运算与高斯-赛德法时相同，不同的只是迭代过程。迭代过程中，两种方法应用的差不多方程差不多上

，运用高斯-赛德法

时，将其展开为电压方程，运用牛顿-拉夫逊法时，将其展开为功率方程

〔3-93〕

式中,第一部分为给定的节点注入功率，第二部分为由节点电压求得的节点注入功率，二者之差确实是节点功率的误差，当节点功率误差趋近于零时，各节点电压即为所求方程的解。

在采纳直角坐标系下，节点电压和导纳可表示成式：

〔3-94〕

将上式代入式〔3-93〕，展开取出实部和虚部，得到式：

〔3-95〕

依照节点分类，假设第i个节点为PQ节点，给定功率设为

和，功率误差方程可列为：

〔3-96〕

假设第i个节点为PU节点，

和给定，功率和电压的误差方程可列为：

〔3-97〕

式中，节点电压大小〔模数〕的误差表示为给定的节点电压的平方与求得的节点电压平方之差。 上述功率和电压误差方程即为牛顿-拉夫逊潮流运算所要求解的非线性方程组。非线性方程组的待求量为各节点的电压的实部ei和虚部fi。关于n个节点的系统而言，第s=n号节点为平稳节点，除去平稳节点电压为外，式〔3-96〕和〔3-97〕共包含2〔n－1〕个方程，待求变量也有2〔n－1〕个。除去平稳节点外的所有节点有功功率不平稳量功率不平稳量

的表达式有〔n-1〕个，即i=1，2，…n， ；除去平稳节点外的所有节点无功

的表达

的表达式有〔m-1〕个，即i=1，2，…m， ；所有PU节点电压大小不平稳量

式有〔n-1〕-〔m-1〕=n-m个，即i=m+1，m+2，…n， ；平稳节点功率和电压方程不包括在这组方程之内，其电压向量

是给定的，故不需要求取，当上述各点电压迭代收敛后再求取平稳节点的注入功率。

把各节点的电压变量用初始值与修正量的形式表示为

将此关系代入到式〔3-96〕、〔3-97〕中，在并略去高阶项，可得

〔3-98〕

、邻近的、范畴内将其展开为泰勒级数

式中：

〔3-99〕

其中，雅克比矩阵J中的各元素能够通过对式〔3-96〕和〔3-97〕求偏导数得到。 当j=i时，对角线元素为：

〔3-100〕

当时，非对角线元素为：

〔3-101〕

由以上表达式可得出雅克比矩阵的特点：

〔1〕矩阵中的元素是节点电压的函数，在迭代过程中将随着节点电压的变化而改变。 〔2〕矩阵是不对称的。

〔3〕当导纳矩阵中的非对角线元素应用稀疏矩阵的求解技巧。

3.采纳极坐标下牛顿-拉夫逊法潮流算法 以极坐标表示时，节点电压和导纳可表示为，

为零时，雅克比矩阵中相应的元素也为零。矩阵是稀疏的，能够

功率误差方程可表示为

〔3-102〕

对一个具有n个节点，其中有〔n-m-1〕个PU节点的网络，式〔3-102〕组成的方程组共有〔n-1〕+m个方程式。采纳极坐标时，方程组个数较采纳直角坐标表示时少了(n-m-1)个。因为PU节点，采纳极坐标时，待求的只有电压的相位角和注入的无功功率，而采纳直角坐标时，待求量为电压的实数部分、虚数部分和注入的无功功率，因此采纳极坐标可使未知变量少了(n-m-1)个，方程数也少了(n-m-1)个，如此建立修正方程式的矩阵形式为

〔3-103〕

式中

是(n-1)×(n-1)阶方阵，是(n-1)×m阶矩阵，

〔3-104〕

是m×(n-1)阶矩阵，是m×m阶矩阵。各矩阵

种元素分别为

在式〔3-103〕中，电压幅值的修正量采纳的形式，是为了使雅克比矩阵中各元素有比较相似的

形式。矩阵中各元素可对式〔3-83〕〔3-92〕取偏导数求得，雅克比矩阵中各元素具有比较整齐的形式。

〔3-105a〕

〔3-105b〕

〔3-105c〕

〔3-105d〕

式中为i、j两节点电压相角之差。

3．以直角坐标系为例说明牛顿-拉夫逊法的程序运算步骤及流程图 (1)形成网络导纳矩阵

，设定各节点电压的初值

；

(2)将以上电压初始值代入式〔3-96〕和〔3-97〕，求取修正方程式中的误差函数值

；

(3)将电压初始值再代入式〔3-99〕，求取雅可比矩阵中的各个元素； (4)解修正方程式，求出节点电压修正量 (5)修正各节点电压，

；

(6)将新值再代入式〔3-96〕和〔3-97〕，运算新的各节点功率及电压误差函数值；

(7)检查运确实是否收敛，当电压趋于真实值时，其功率误差趋于零。收敛判据为

或

，其中ε为是先给定的小数。

(8)假设收敛，迭代到此终止，运算平稳节点功率、各支路潮流、损耗及输电效率，并输出结果；假设不收敛，那么转回第(2)步，以

代替

进行下一次迭代，直至收敛。平稳节点功率运算如式

〔3-95〕，运算线路功率那么调用式〔3-74〕和〔3-75〕，运算线路损耗调用式〔3-76〕。牛顿－拉夫逊法潮流运算程序流程如图3-23所示。利用极坐标系运算潮流的过程类似。

图3-23 牛顿－拉夫逊法程序流程图

运用牛顿拉夫逊法运算潮流时，由于初值要选取的比较接近于精确解，否那么可能是迭代过程不收敛，实际运算程序中，往往采纳高斯赛德尔法与牛顿拉夫逊算法配合使用的方案，即在前几次迭代时采纳高斯赛德尔法，得到牛顿拉夫逊算法的初值，之后再利用后一种方法求解。

假设运算过程中每次迭代运算得到的x变化不大，也能够经多次迭代后才重新运算一次雅克比矩阵各元素。因此牛顿-拉夫逊法获得了广泛的应用。

例3-5利用牛顿-拉夫逊法直角坐标方式运算例3-3所示网络潮流分布情形。

解：确定例3-3系统雅可比矩阵的维数。系统有n= 5条母线〔节点〕，采纳直角坐标方法求解时组成2(n-1) =8个方程，J(i)维数为8×8。按题意要求，该系统中，节点1为平稳节点，保持U1=1+j0为定值，2，4，5为PQ节点，3为PU节点，U3=1.05+j0。 〔1〕赋初值 由可知平稳节点:

对PQ、PU节点赋电压初值：

〔2〕求PQ节点有功、无功不平稳量，PU节点有功、电压不平稳量

〔3〕运算雅可比矩阵

以节点2〔PQ〕有功、无功功率和节点3〔PU〕电压幅值分别对各节点电压实部、虚部求导为例，其他节点的求解过程略。

求解各节点新值，

收敛判定，不满足收敛要求，进入下一次迭代。每次迭代所得结果示于表3.8-3.9。

表3.8 例3-5迭代过程中节点电压变化情形

迭代次数k U2 1 0.9429-j0.3231 U3 1.0500+j0.0037 节点电压 U4 1.0423-j0.0381 U5 1.0116-j0.0730 2 3 4 5 0.8075-j0.3180 0.7734-j0.3178 0.7708-j0.3178 0.7708-j0.3178 1.0500-j0.0080 1.0499-j0.0108 1.0499-j0.0109 1.0499-j0.0109 1.0229-j0.0482 1.0184-j0.0502 1.0181-j0.0504 1.0181-j0.0504 0.9797-j0.07 0.9718-j0.0772 0.9712-j0.0773 0.9712-j0.0773 表3.9 例3-5迭代过程中节点不平稳量的变化情形

迭代次数 k 0 1 2 3 4 5 迭代次数 k 0 1 2 3 4 5 节点不平稳量 -8.0000 0.0757 -0.0123 -0.0012 -0.0071×10-3 -0.0220×10-8 -1.5000 -2.53 -0.4140 -0.02 -0.1441×10-3 -0.4396×10-8 4.0085 -0.0166 -0.0228 -0.0012 0 -0.0188×10-8 0 0 -0.0001 0 0 -0.0001×10-8 节点不平稳量 0.3729 -0.2657 -0.0024 0 0 0

6.0520 -0.2426 -0.0070 0 0 0 0 -0.0493 -0.0015 0 0 0 0.6600 -0.0042 -0.0004 0 0 0 由表3.9可知，通过5次迭代误差精度小于10-5，满足收敛要求。各节点电压以极坐标表示为

〔4〕求平稳节点1的功率

〔5〕求各条支路的功率及损耗

利用式〔3-74〕、〔3-75〕及式〔3-76〕运算支路功率及损耗。 以支路1-5为例求解。

其余支路求解过程略，结果见表3.10。

表3.10 例3-5各支路功率及损耗

支路i-j 1-5 2-4 2-5 3-4 4-5 3.9484+j1.1428 -2.9184-j1.3911 -5.0816-j1.40 4.4000+j2.9748 1.3440+j1.5035 -3.9230-j0.8049 3.0368+j1.2154 5.2566+j2.6302 -4.3808-j2.71 -1.3336-j1.8253 0.0254+j0.3379 0.1184-j0.1757 0.1750+j1.2213 0.0192+j0.2559 0.0104-j0.3218 网络总损耗为：

以及这一网络的输电效率为：

至此本例潮流运算全部解算完毕。本例运算结果与例6相应结果稍有区别，是由于潮流算法不同而引起的偏差。通过本例能够看出，利用牛顿-拉夫逊潮流算法，迭代5次就与高斯-赛德尔法49次迭代结果差不多一致，说明采纳本算法，可明显降低迭代次数。 3.3.4潮流运算其他解法 〔略〕 本章小结

本章要紧内容为电力系统稳态分析和运算，通过本章学习，要紧应把握以下内容：电力系统的潮流运算的目的和意义，潮流的差不多物理量、数学模型和约束条件，明白得电力线路的电压降落、功率损耗及电能损耗等差不多概念学会各物理量的运算方法，把握辐射形电力网络潮流运算的手算方法，学会分析远距离输电线路的潮流分布及带负载情形，了解复杂电力网的潮流运算的运算机解法。