《有理数》 数轴中的运动类问题同步培优练习（四）
1．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为4． （1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化，已知点
M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
2．如图，在数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题：
（1）将点B向右移动6个单位长度到点D，在数轴上表示出点D；
（2）在数轴上找到点E，使点E到B，C两点的距离相等，并在数轴上标出点E表示的数； （3）在数轴上有一点F，满足点F到点A与点F到点C的距离和是9，那么点F表示的数是 ．
3．如图，数轴上一动点A从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表．
运动次数 第1次 第2次 第3次 第4次
运动路程（记向右为正）
x
3﹣2x2 2（x2+1） ﹣
（9﹣x）
当2＜x＜4，回答下列问题：
（1）第2次运动的方向是向 运动（填“左”或“右”）； （2）通过计算，在数轴上确定点A第3次运动后的大概位置；
（3）经历4次运动后，若点A想回到原点，则需要再向 （填“左”或“右”）运动，运动的距离是 ；
（4）求点A在这4次运动过程中运动距离的总和．
4．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，
A，B两点间的距离是 ；
（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ；
（3）如果点A表示数﹣4，将点A向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
5．如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，满足AB＝2BC，此时点B是点A，C的“倍联点”．若数轴上点M表示﹣3，点N表示6，回答下列问题：
（1）数轴上点D1，D2，D3分別对应0，3.5和11，则点 是点M，N的“倍联点”，点N是 这两点的“倍联点”；
（2）已知动点P在点N的右侧，若点N是点P，M的倍联点，求此时点P表示的数．
7．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑到学校．如果小明跑步的速度均匀的，到达小彬家用了8分钟，整个跑步过程用时共32分钟．
（1）以小明家为原点、向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家； （2）用点C表示出学校的位置； （3）求小彬家与学校之间的距离．
8．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a＝ ；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是 （用含n的代数式表示）．
9．对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“至善点”．例如：若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“至善点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数
、0、1、6所对应的点分别C1、C2、
C3、C4，其中是点A、B的“至善点”的有 （填代号）；
（2）已知点A表示数﹣1，点B表示数3，点M为数轴上一个动点：
①若点M在点A的左侧，且点M是点A、B的“至善点”，求此时点M表示的数m； ②若点M在点B的右侧，点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，求出此时点M表示的数m．
10．已知数轴上有ABC三点，分别表示有理数﹣12，﹣5，5，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，其中PA表示点P到A的距离，PB表示点P与点B的距离，PC表示P到点C的距离．
（1）当t＜7时，用含t的代数式分别表示PA，PB，PC；
（2）当P运动到点B与点C之间时，①PA+PB是定值，②PC+PB是定值这两个说法中有一个说法是正确的，请指出哪个说法是正确的，并说明理由．
参
1．解：
（1）AB＝4﹣（﹣2.5）＝6.5 （2）若把数轴的单位长度扩大30倍
⇒点A所表示的数为30×（﹣2.5）＝﹣75，点B所表示的数为30×4＝120 ⇒线段AB上靠近A的三等分点所表示的数为靠近B的三等分点所表示的数为120﹣∴点M所表示的数为﹣10或55 答：
（1）AB的长度为6.5
（2）点M所表示的数为﹣10或55 2．解：（1）∵﹣5+6＝1
∴点D位于数轴上表示数1的位置，如图所示：
（2）点E表示的数为：（﹣5+3）÷2＝﹣2÷2＝﹣1，如图所示：
（3）由题意得：|x﹣（﹣2）|+|x﹣3|＝9 ∴x1＝﹣4，x2＝5 故答案为：﹣4或5． 3．解：（1）∵2＜x＜4， ∴3﹣2x2＜0， ∴第二次向左运动； 故答案为：左；
（2）x+3﹣2x2+2（x2+1）＝x+5， ∵2＜x＜4， ∴7＜x+5＜9，
点A第3次运动后的大概在7～9之间；
＝55
+（﹣75）＝﹣10，线段AB上
（3）x+3﹣2x2+2（x2+1）﹣∵2＜x＜4， ∴
（9﹣x）＝x﹣1，
x﹣1＞0，
x﹣1个单位；
∴点A想回到原点，则需要再向左移动故答案为：左，
x﹣1；
（9﹣x）|＝
（4）∵|x|+|3﹣2x2|+|2（x2+1）|+|﹣x+4x2+5，
∴点A在这4次运动过程中运动距离的总和为：x+4x2+5．
4．解：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是﹣3+7＝4，A、B两点间的距离是7；
（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是3﹣7+5＝1，A、B两点间的距离为2；
（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是﹣4+16﹣25＝﹣13，A、B两点间的距离是9． 故答案为：（1）4，7；（2）1，2；（3）﹣13，9． 5．解：（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3， 故答案为：3；
（2）∵点C到原点的距离为3，
∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，
∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2， ∴点C表示的数为﹣3， ∵BC﹣AC＝4，
∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4， 解得a＝﹣2．
6．解：（1）数轴上点D1，D2，D3分別对应0，3.5和11，则点D1是点M，N的“倍联点”，点N是D2，D3这两点的“倍联点”；
故答案为：D1；D2，D3；
（2）设点P表示的数为x， 第一种情况：NP＝2NM， 则x﹣6＝2×[6﹣（﹣3）]， 解得x＝24．
第二种情况：2NP＝NM， 则2（x﹣6）＝6﹣（﹣3）， 解得：
．
．
综上所述，点P表示的数为24或7．解：（1）A、B位置如图
（2）2÷8＝0.25， 32×0.25＝8 8﹣3.5＝4.5 3.5﹣4.5＝﹣1
故点C对应数字是﹣1，位置如上图；
（3）小彬家与学校位置的距离是3千米．
8．解：（1）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，
∴圆周上数字a与数轴上的数5对应时a＝2；
（2）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，
∴圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组0、1、2，3、4、5，6、7、8，…分别对应，
∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1．
故答案为：a＝2；3n+1． 9．解：（1）当C1＝﹣
时，AC1＝|﹣
+2|＝
，BC1＝|2+
|＝
，有BC1＝2AC1，因此
C1符合题意；
当C2＝0时，AC2＝|0+2|＝2，BC2＝|2+0|＝2，有BC2＝AC2，因此C2不符合题意； 当C3＝1时，AC3＝|1+2|＝3，BC3＝|2﹣1|＝1，有3BC3＝AC3，因此C3不符合题意； 当C4＝6时，AC4＝|6+2|＝8，BC4＝|2﹣6|＝4，有2BC4＝AC4，因此C4符合题意； 故答案为：C1、C4；
（2）①点M在点A的左侧，则m＜﹣1，
点M是点A、B的“至善点”，因此有2MA＝MB，即2（﹣1﹣m）＝3﹣m， 解得，m＝﹣5，
②点M在点B的右侧，则m＞3，
点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，
Ⅰ）若M是A、B的“至善点”，则2MB＝MA，即2（m﹣3）＝m+1，解得m＝7， Ⅱ）若A是B、M的“至善点”，则2AB＝AM，即2（3+1）＝m+1，解得m＝7， Ⅲ）若B是A、M的“至善点”，则2AB＝BM或AB＝2BM，即2（3+1）＝m﹣3或3+1＝2（m﹣3），解得m＝11或m＝5， 答：点M表示的数m可以为5，7，11．
10．解：（1）当t＜7时，PA＝t，PB＝7﹣t，PC＝17﹣t； （2）②PC+PB是定值正确；
∵当P运动到点B与点C之间时，PB＝t﹣7，PC＝17﹣t， ∴PB+PC＝（t﹣7）+（17﹣t）＝10， 故PB+PC是定值．
