文科数学导数大题训练(有答案)

2

（3）设函数g（x）=f（x）﹣x+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数） 考点： 专题： 分析： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 导数的综合应用． （1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求． （3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值． 2解：（1）∵f（x）=x﹣lnx 2

解答： ∴f′（x）=2x﹣． ∴f'（1）=1． 又∵f（1）=1， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0． 2（2）因为函数f（x）=2x﹣lnx的定义域为（0，+∞）， 由f′（x）=2x﹣＜0，得0＜x＜2． ）． 所以函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（0，（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=①当≥e时，即0＜a≤时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=， ≤0在（0，e]上恒成立， 则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=（舍去）， ②当0＜＜e时，即a＞时，列表如下： 由表知，g（x）min=g（ ）=1+lna=3，a=e，满足条件． 综上，所求实数a=e，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3． 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导22点评： 函数小于0时原函数单调递减，是中档题． 19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x的单调性． 考点： 专题： 分析： 利用导数研究函数的单调性． 计算题． 2求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性． 解：定义域{x|x＞0} 2

解答： f′（x）=2= 设g（x）=2a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞） ①若a=1，则g（x）=1＞0 ∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数． ②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下， 2此时△=[﹣2（1﹣a）]﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0 2方程2a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根 不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2 ∴在（0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数； 在（ ）上g（x）＞0， ，+∞）上g（x）＜0， 即f'（x）＜0，f（x）是减函数； ③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上， 2此时△=[﹣2（1﹣a）]﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a） 可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0， 即f'（x）≥0，f（x）是增函数； 当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根 2不等的实根满足＞＞0 故在（0，）和（即f'（x）＞0，f（x）是增函数； 在（（x）＜0， 即f'（x）＜0，f（x）是减函数．

，+∞）上g（x）＞0， ，）上g

高考（文科）数学导数实时训练

2

例1、（14分）（2013•汕头一模）已知函数f（x）=x﹣lnx． （1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调递减区间：

（3）设函数g（x）=f（x）﹣x+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）

2

例2、（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x的单调性．

2

高考（文科）数学导数实时训练

例1、（14分）（2013•汕头一模）已知函数f（x）=x﹣lnx． （1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调递减区间：

2

（3）设函数g（x）=f（x）﹣x+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）

2

例2、（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x﹣2（1﹣a）x的单调性．

2