求数列通项公式的十种方法53409

即归纳推理，就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1。设a11，an1公式．

解：由题意可知:a11111,

an2an2b(nN)，若b1，求a2,a3及数列{an}的通项

2a2a12a1212211, a3a22a22121311。

因此猜想ann11. 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n＝1时,结论显然成立．

（2）假设当n＝k时结论成立,即akk11。 (3)则ak122ak2ak21(ak1)211(k1)11(k1)11，

2即当n＝k＋1时结论也成立．

由（1）、（2）可知，对于一切正整数n，都有ann11(nN)．（最后一句总结

很重要)

2．定义法（已知数列为等差或者等比）

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2。已知等差数列an满足a1a210，a4a32,求an的通项公式. 解：设等差数列an的公差为d。 因为a4a32,所以d2。

又因为a1a210，所以2a1d10，故a14. 所以an42(n1)2n2(n1,2,)。

3．公式法

若已知数列的前n项和

sn与an的关系，求数列

an的通项an可用公式

求解。(一定要讨论

前n项和为Sn，已知2Sn3n3. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式。 解:（Ⅰ)由 2Sn3n3

n=1，n≥2）例3.设数列{an}的

1(33)3， 211 当n2时，anSnSn1(3n3)(3n13)3n1(n2)

22 可得：当n1时, a1S1 而 a13311,

3,n1,所以 ann1

3,n1.

4．累加法

当递推公式为an1anf(n)时，通常解法是把原递推公式转化为an1anf(n)。

*例4。数列{an}满足a11，且an1ann1（nN），则数列｛}的前10项和为

解：由题意得：

an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1

n(n1)21

n(n1) 25．累乘法

当递推公式为an1anf(n)时，通常解法是把原递推公式转化为(逐商相乘法)求解。 例5.已知数列an满足a1an1f(n),利用累乘法an2n,an1an，求an的通项公式。 3n1 解：由条件知

an1n， ann1在上式中分别令n1,2,3,,(n1)，得n1个等式累乘之，

即

aa2a3a4123n1a1n, 即 n a1a2a3an1234na1n又 a122 an33n

6.构造法(拼凑法）—共5种题型，第2、3种方法不必掌握

1、当递推公式为an1panq（其中p,q均为常数,且pq(p1)0）时,通常解法是把

原递推公式转化为an1tp(ant),其中tq，再利用换元法转化为等比数列求解。 1p例题：已知数列{an}满足a11,an13an1,求{an}的通项公式。 解：由 an13an1 得 an1 又 a1113(an) 2213 22123，公比为3的等比数列 2 所以{an}是首项为

13n13n 所以 an3

2223n1 因此数列{an}的通项公式为an。

22、当递推公式为an1panknb(其中p,k,b均为常数，且pk0)时,通常解法是把

原递推公式转化为an1x(n1)yp(anxny)，其中x,y的值由方程

pxxk给出.（了解即可，不必掌握） pyxyb 例题：在数列{an}中,a1=2，an1=4an3n1求数列{an}的通项an。

, 解：由 an14an3n1

得 an1(n1)4(ann) 又 a111

所以数列{ann}是首项为1,公比为4的等比数列

n1n1所以 ann4,即 an4n.

3、当递推公式为an1pancn(其中p,c均为常数，且pc0)时，通常解法是把原递推

an1pan1an1an1ana1。①若,则,此时数列是以为首{}pcccn1ccnccncn1cnc1ana11项，以为公差的等差数列，则n(n1),即an(na11)cn1。②若pc,

cccc公式转化为

an1pan1t(t)(其中t)形式求解。则可化为n1（了解即可,不必掌握） cccncpn 例题：已知数列{an}中,a1=1,an1=2an3，求数列的通项公式。

n 解:由 an12an3

n1 得 an132(an3n)

n1 所以数列{an3}是首项为a13=2，q2的等比数列

nn1 所以 an3=22 ， 即 an=3n2n

4、当递推公式为an1pan（p,q,s为常数，且pqs0）时，通常两边同时取倒数,

qans把原递推公式转化为

q111sq。①若ps，则{}是以为首项，以为公差

a1an1panpanp的等差数列,则

11qpa1q(n1)(n1)，即an。②若ps，则可转化为ana1ppa1q1s1t(t)(其中t)形式求解。 an1panps例10.已知数列｛an}满足a13nan13,且an（n2nN)，求数列｛an｝的

2an1n12通项公式。

解：原式可变形为 2anan1(n1)an3nan1 两边同除以3anan1得

n1n12 …… ⑴ an3an13 构造新数列{n1}，使其成为公比q的等比数列 an3 即

n1n1()an3an1

整理得

nn1222 满足⑴式使 ∴1 an3an1333n1111}是首项为1，q= 的等比数列 ana133 ∴数列{n3nn11n11n1()() ∴ann ∴. an33331

5、当递推公式为an2pan1qan（p,q均为常数）(又称二阶递归）时，将原递推公

式an2ppan1qan转化为an2-an1＝（an1-an）.其中、由q解出，由此可得到数列｛an1-an｝是等比数列。

例题：设数列an的前n项和为Sn,n．已知a11,a235，a3,且当n2时，2414Sn25Sn8Sn1Sn1．证明：an1an为等比数列；

2证明：因为4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2) 所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2) 即4an2an4an1(n2) 因为4a3a14a2 所以4an2an4an1

1an2an14a2an14an1an2an12an1an12因为n2

14an12an4an12an2(2an1an)2an1an2111{aa}aa1 所以数列n12n是以221为首项，以2为公比的等比数列。