阶段检测四 立体几何
(时间:120分钟 总分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在空间中,已知a,b是直线,α,β是平面,且a⊂α,b⊂β,α∥β,则a,b的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
2.设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法正确的是( )
A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
3.在三角形ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的侧面积为( ) A.15π B.20π C.30π D.40π
4.如图是正方体截去部分后所得的几何体,则该几何体的侧(左)视图是( )
5.设a,b是两条互不垂直的异面直线,则下列命题成立的是( )
A.存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥b B.存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥b C.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b∥α
D.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b⊥α
6.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β C.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β
D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )
A. B. C. D.2
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的各个面的面积中,最小的值为( )
A.2
B.8
C.4
D.8
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )
A.
B.
C.
D.
11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
11题图
12题图
A. B. C. D.
12.在正方体AC1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F与平面D1AE的垂线垂直,如图所示,下列说法
不正确的是( ) A.点F的轨迹是一条线段
B.A1F与BE是异面直线
C.A1F与D1E不可能平行 D.三棱锥F-ABC1的体积为定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3
.
1
14.如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为8的矩形.则该几何体的表面积
是 .
15.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱
锥的体积为,则该半球的体积为 .
16.已知α,β是两个不同的平面,AB,CD是两条不同的线段,α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上,其中符合要求的条件的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点. (1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,AB⊥BC,求证:平面PEF⊥平面PBC.
18.(本小题满分12分)八面体PABCDEF是由一个正四棱锥P-ABCD和一个直三棱柱ADE-BCF组合而成的,△ADE是以A为直角顶点的腰长为4的等腰三角形.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积与三棱锥P-ABF的体积比为3∶2,求四棱锥P-ABCD的高.
19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,D为BC的中点,AB1与A1B交于点O. (1)求证:A1C∥平面AB1D; (2)求证:A1B⊥平面AB1C;
(3)在线段B1C上是否存在点E,使得BC⊥AE?请说明理由.
20.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=,且△ABC所在平面与矩形BCDE所在平面相互垂直,CD=2,P为线段AB的中点. (1)求证:AD∥平面PCE; (2)求三棱锥A-PCE的体积.
2
中,侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1,AC=AA1=AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H为
22.(本小题满分12分)如图所示,AD,DC,DE两两垂直,BC∥AD,AD=DC=DE=2,BC=1,G,H分别是BE,CE的中点. (1)判断CE与平面AGHD是否垂直,若垂直,请给予证明;若不垂直,请说明理由; (2)求多面体ABG-DCH的体积.
阶段检测四 立体几何
一、选择题
1.D 由于a⊂α,b⊂β,α∥β,所以a,b平行或异面.
2.B 可以通过观察正方体ABCD-A1B1C1D1进行判断,取BC1为直线m,平面ABCD为平面α,由AB,CD均与m垂直知,A错;由D1C1与m垂直且与平面α平行知,C错;由平面ADD1A1与m平行且与平面α垂直知,D错.故选B. 3.A 依题意,所得几何体的侧面积等于π×3×5=15π. 4.C 侧(左)视图是从几何体的左侧向右边看,故选C.
5.C a,b是两条互不垂直的异面直线,把它放入正方体中如图,由图可知A不正确;由l∥a,且l⊥b,可得a⊥b,与题设矛盾,故B不正确;由a⊂α,且b⊥α,可得a⊥b,与题设矛盾,故D不正确,故选C.
6.B B选项中,由条件n⊥β,m∥n,推出m⊥β,又m∥α,易知α⊥β,故B正确.
7.D 易知该几何体是一四棱锥P-ABCD,底面为直角梯形,BC=2AD=4,PB⊥底面ABCD,PB=AB=2,则这个几何体的体积V=××(2+4)×2×2=4.
3
21.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1CC1的中点,D为BB1的中点. (1)求证:A1D⊥平面AB1H; (2)若AB=
,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
8.B 设△ABC的边长为2a,三棱锥V-ABC的高为h,由题意知,×2a·h=ah=则其侧视图的面积为
×
a·h=×=.
9.B 构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中
点.S△PAB=S△PBC=××4=4,S△ABC=×4×4=8,S△PAC=·AC·=×4×=8.因为
8
>4
>8,所以该几何体的各个面的面积中,最小的值为8,故选B.
10.B 设点A到平面A1BC的距离为h,因为=,所以·h·=·AA1·S△ABC,又
=××2=2,AA2
1=1,S△ABC=×2=
,所以h=.
11.A 依题意,该几何体是一个组合体,左侧是半个圆锥(其底面半径是1、高是
),右侧是一个四棱锥(其底面是边
长为2的正方形、高是),因此这个几何体的体积为×+×22
×
=
,选A.
12.C 由题知A1F∥平面D1AE,分别取B1C1,BB1的中点H,G,连接HG,A1H,A1G,BC1,可得HG∥BC1∥AD1,A1G∥D1E,则易知平面A1HG∥平面AD1E,故点F的轨迹为线段HG,A正确;A1F与BE是异面直线,故B正确;当F是BB1的中点时,A1F与D1E平行,故C不正确;∵HG∥平面ABC1,
∴F点到平面ABC1的距离不变,故三棱锥F-ABC1的体积为定值,故D正确. 二、填空题
13.答案 π
解析 由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m,
圆锥的高均为1 m,圆柱的高为2 m.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=π m3
. 14.答案 20+8
解析 这个空间几何体是一个平放的三棱柱,由其俯视图是面积为8
的矩形,可得三棱柱的高为4.故其表面积为
×2×2×2+2×4×2+4×2
=20+8
.
15.答案
解析 连接AC,BD,设交点为O,球的半径为r,连接SO,
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r,则AB=
r,
四棱锥的体积为(r)2
×r=
,解得r=,
故半球的体积为r3
=.
16.答案 ①③
解析 ∵AB⊥α于B,CD⊥α于D,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面,若AC⊥β,又EF⊂β,∴AC⊥EF,又∵AB⊥α,EF⊂α,∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABCD,
又∵BD⊂平面ABCD,∴BD⊥EF,故①符合要求;由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥平面ABCD,则有EF⊥AC成立,而由AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②不符合要求;由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥平面ABCD,由①可知③符合要求.
三、解答题
17.证明 (1)在△ABC中,∵E,F分别为AC,BC的中点, ∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB. (2)在△PAC中,
∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∴PE⊥平面ABC.∴PE⊥BC. ∵EF∥AB,AB⊥BC,∴EF⊥BC, 又EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF,
4
∴平面PEF⊥平面PBC.
18.解析 (1)证明:直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE, ∴AB⊥AD,又AD⊥AE,AB∩AE=A, ∴AD⊥平面ABFE,又AD⊂平面PAD, ∴平面PAD⊥平面ABFE. (2)设四棱锥P-ABCD的高为h, 由题意知P到平面ABF的距离d=2,
∴VP-ABF=S△ABFd=×
×2=,
而VP-ABCD=S四边形ABCDh=×(4×4)×h=h,
∵
=,∴
=,解得h=.
∴四棱锥P-ABCD的高为. 19.解析 (1)证明:连接OD. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1,
所以四边形AA1B1B为正方形,所以O为A1B的中点. 又因为D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线, 所以OD∥A1C.
又因为A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D, 所以A1C∥平面AB1D.
(2)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AC⊥AA1,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面AA1B1B,所以AC⊥A1B. 在正方形AA1B1B中,A1B⊥AB1, 又AC∩AB1=A,所以A1B⊥平面AB1C.
(3)在线段B1C上存在点E,使得BC⊥AE.理由如下: 取B1C的中点E,连接DE,AE, 则DE∥BB1,所以DE⊥BC.
因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC. 因为AD∩DE=D,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AE.
20.解析 (1)证明:连接BD,交CE于点Q,连接PQ. 因为四边形BCDE为矩形,所以Q为BD的中点.
在△ABD中,Q为BD的中点,P为AB的中点,所以AD∥PQ,
又PQ⊂平面PCE,AD⊄平面PCE,所以AD∥平面PCE.
(2)因为△ABC所在平面与矩形BCDE所在平面相互垂直,平面ABC∩平面BCDE=CB,又BE⊥CB,所以BE⊥平面ABC. 在Rt△ABC中,CB=
=
=2
,
故S△ABC=·AC·CB=×1×2=.
因为P为AB的中点,所以S△ACP=S△ABC=.
故三棱锥A-PCE的体积为V三棱锥A-PCE=V三棱锥E-APC=S△APC·BE=××2=.
21.解析 (1)证明:连接AC1,则易知△ACC1为正三角形,∵H为CC1的中点,∴AH⊥CC1,从而AH⊥AA1,又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,AH⊂平面AA1C1C,∴AH⊥平面ABB1A1,又A1D⊂平面ABB1A1,∴AH⊥A1D.①
设AB=
a,∵AC=AA1=
AB,
∴AC=AA1=2a,DB1=a,==,
又∠DB1A1=∠B1A1A=90°,∴△A1DB1∽△AB1A1, ∴∠B1AA1=∠B1A1D,又∠B1A1D+∠AA1D=90°, ∴∠B1AA1+∠AA1D=90°, ∴A1D⊥AB1,②
由①②及AB1∩AH=A,可得A1D⊥平面AB1H.
(2)取AA1的中点M,连接C1M,则C1M∥AH,∴C1M⊥平面ABB1A1,
∴=·C1M=××=, ∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3
=
.
22.解析 (1)CE与平面AGHD垂直.理由如下: ∵AD,DC,DE两两垂直,CD∩DE=D, ∴AD⊥平面DCE,∵BC∥AD,
∴BC⊥平面CDE,而CE⊂平面CDE,∴BC⊥CE. ∵G,H分别是BE,CE的中点,∴GH∥BC, 从而CE⊥GH.
∵CD⊥DE,CD=DE,H是CE的中点,∴CE⊥DH. 又DH∩GH=H,∴CE⊥平面AGHD.
(2)∵AD,DC,DE两两垂直,AD∩CD=D, ∴ED⊥平面ABCD,
∴VE-ABCD=S四边形ABCD·DE=××2=2.
5
∵BC∥AD,GH∥BC,∴GH∥AD.
又GH=BC=,DH=HE=CE=,且CE⊥平面AGHD,
∴VE-AGHD=S四边形AGHD·HE=××=,
∴多面体ABG-DCH的体积V=VE-ABCD-VE-AGHD=2-=.
6
