2007年江苏高考数学试题

2007年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（江苏卷）

参考公式：

kk

n次重复试验恰有k次发生的概率为：Pn(k)=Cnp(1−p)n−k

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰．有一项是符合题目要求的。 ．．．

1．下列函数中，周期为

A．y=sin

π2

的是（ ）

xx

B．y=sin2x C．y=cos D．y=cos4x

42

2

2．已知全集U=Z，A={−1,0,1,2},B={x|x=x}，则A∩CUB为（ ）

A．{−1,2} B．{−1,0} C．{0,1} D．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为

x−2y=0，则它的离心率为（）

A．5 B．5 C．3 D．2 2

4．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：（）

①m//n,m⊥α⇒n⊥α ②α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n ③m//n,m//α⇒n//α ④α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．函数f(x)=sinx−3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是（）

A．[−π,−

5π5ππππ] B．[−,−] C．[−,0] D．[−,0] 66636

x

它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3−1，6．设函数f(x)定义在实数集上，则有（）

A．f()133223233213

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C．f()7．若对于任意实数x，有x=a0+a1(x−2)+a2(x−2)+a3(x−2)，则a2的值为（）

A．3 B．6 C．9 D．12 8．设f(x)=lg(

3

2

3

231332322313

2

+a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是（） 1−x

A．(−1,0) B．(0,1) C．(−∞,0) D．(−∞,0)∪(1,+∞) 9．已知二次函数f(x)=ax+bx+c的导数为f'(x)，f'(0)>0，对于任意实数x都有

2

f(x)≥0，则

f(1)

的最小值为（） f'(0)

A．3 B．

53 C．2 D． 22

10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x−y)|(x,y)∈A}的面积为（）

A．2 B．1 C．

11

D． 24

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。 ．．．．．．．．11．若cos(α+β)=

13

,cos(α−β)=，则tanαtanβ= . 55

12．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答）

13．已知函数f(x)=x−12x+8在区间[−3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则

3

M−m= .

14．正三棱锥P−ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是 .

15．在平面直角坐标系xOy中，已知ΔABC顶点A(−4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

󰁄

x2y2sinA+sinC

+=1上，则= . 2516sinB

16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0

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时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= 。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4

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分）

18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且

D1C1

A1

B1AE=FC1=1，

（1）求证：E,B,F,D四点共面；（4分）

F

E

D

MHA1（2）若点G在BC上，BG=2

C

3

，点M在BB1上，

GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1；（4分）

（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ。（4

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G

B

分）

19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，y过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x

2

相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=−c交于P,Q，

（1）若󰁊󰁊󰁊OA󰁇⋅󰁊󰁊󰁊OB󰁇

=2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

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BCPAOxQl

20．（本小题满分16分）已知 {an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，

a1=b1,a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，

（1）若bk=am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk−1=(m−1)a1；（4分）

（2）若b3=ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（8分）

使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的（3）是否存在这样的正数q，值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）

第 6 页 共 16 页

21．（本小题满分16分）已知a,b,c,d是不全为0的实数，函数f(x)=bx+cx+d，

2

g(x)=ax3+bx2+cx+d，方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是

g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根，

（1）求d的值；（3分）

（2）若a=0，求c的取值范围；（6分） （3）若a=1,f(1)=0，求c的取值范围。（7分）

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参

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项是符合题目要求的。 ．．

1．下列函数中，周期为

A．y=sin

π2

的是（D）

xx

B．y=sin2x C．y=cos D．y=cos4x 24

2π解析：利用公式 T= 即可得到答案D。

ω2．已知全集U=Z，A={−1,0,1,2},B={x|x=x}，则A∩CUB为（A）

A．{−1,2} B．{−1,0} C．{0,1} D．{1,2} 解析：求B={0,1} 可求A∩CUB={−1,2} 选A

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为

2

x−2y=0，则它的离心率为（A）

A．5 B．5 C．3 D．2 2

解析：由

ca1

=得b=2a c=a2+b2=5a ，e==5 选A

ab2

4．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：（C）

①m//n,m⊥α⇒n⊥α ②α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n ③m//n,m//α⇒n//α ④α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确，②中m,n可以平行或异面③中n可以在α内 选C

5．函数f(x)=sinx−3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是（D）

A．[−π,−

5π5ππππ] B．[−,−] C．[−,0] D．[−,0]

36666

解析：f(x)=2sin(x−

π3

) 因 x−

ππ⎤π⎡1π⎤⎡4

∈⎢−π,−⎥ 故x−∈⎢−π,−⎥ 3⎣33⎦3⎣23⎦

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得x∈⎢−

⎡1

π,0] 选D ⎣6

x

6．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3−1，则有（B）

132231

323323213321C．f()332233

A．f()7．若对于任意实数x，有x=a0+a1(x−2)+a2(x−2)+a3(x−2)，则a2的值为（B）

A．3 B．6 C．9 D．12 解析：x=[2+(x−2)] a2=C32=6 选B 8．设f(x)=lg(

3

3

3

2

3

2

2

+a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是（A） 1−x

A．(−1,0) B．(0,1) C．(−∞,0) D．(−∞,0)∪(1,+∞)

⎧1+x

>0⎪1+x⎪1−x

<0得⎨ ∴−1+1x1−x⎪<1⎪⎩1−x

9．已知二次函数f(x)=ax+bx+c的导数为f'(x)，f'(0)>0，对于任意实数x都有

2

f(x)≥0，则

f(1)

的最小值为（C） f'(0)

53 C．2 D． 22

A．3 B．

解析：f'(x)=2ax+b f'(0)=b>0对于任意实数x都有f(x)≥0得

a>0 b2−4ac≤0 ∴b2≤4ac∴c>0 f(1)=a+b+c=a+c+1≥2ac+1≥1+1=2

f'(0)

b

b

b

当取a=c时取等号。 选C

10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面

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区域B={(x+y,x−y)|(x,y)∈A}的面积为（B）

A．2 B．1 C．

11 D． 24

⎧u≤1

=+uxy⎧1⎪

解析：令⎨可求出面积s=×2×1=1 ∴⎨u+v≥0作出区域是等腰直角三角形，

2⎩v=x−y⎪u−v≥0

⎩

选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。 ．．．．．．．．11．若cos(α+β)=解

13

,cos(α−β)=，.则tanαtanβ= 1/2 . 55

析

：

31

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ= cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

552⎧

=coscosαβ⎪sinαsinβ1⎪5

∴tanαtanβ== 求出⎨

1cosαcosβ2⎪sinαsinβ=

⎪5⎩

12．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答） 解析：按照选一门或一门都不选分类：C3C6+C3C6=75

13．已知函数f(x)=x−12x+8在区间[−3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则

3

1304

M−m= 32 .

解析：f'(x)=3x−12=3(x−4) ∴f(x)在[−3，−2][，2，3]递增在[−2，2]递减

2

2

M=f(−2)=24,N=f(2)=−8 得 M−m= 32

14．正三棱锥P−ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是

󰁄

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65 . 5解析：设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a,则

23⋅a=2∴a=23 设侧棱为b则b=22 斜高h'=5 。由面积法求 32

3⋅23⋅2

652=A到侧面PBC的距离 h= 55

15．在平面直角坐标系xOy中，已知ΔABC顶点A(−4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

sinA+sinCx2y2

+=1上，则= 5/4 . 259sinB

解析：利用椭圆定义和正弦定理 得 a+c=2×5=10 b=2*4=8

sinA+sinCa+c105

===

b84sinB

16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= 10sin

πt

60

，其中t∈[0,60]。

解析：∠AOB=

tπt∠AOBπt

d=2×5⋅sin×2π==10sin

6030260

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）

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2⎛4⎞解：（1）p=C5⎜⎟⎝5⎠

2

161⎛4⎞

1−=10××≈0.05 ⎜⎟525125⎝⎠

4

3

4⎛4⎞

（2）P=1−C×⎜1−⎟=1−0.00≈0.99

5⎝5⎠

15

4⎛4⎞4

（3）P=C×⎜1−⎟×≈0.02

5⎝5⎠5

14

3

18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且

D1C1

B1A1

AE=FC1=1，

（1）求证：E,B,F,D1四点共面；（4分）

F

E

D

C

G

MHA

2

（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，

3

GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1；（4分）

B

（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ。（4分） 解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又 BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以D1F//BE，所以E,B,F,D1四点共面。

2MB3MBBG

，即（2）因为GM⊥BF所以ΔBCF∽ΔMBG，所以=，所以MB=1，=

32BCCF

因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1 ，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1

（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，所以∠MHE就是截面

EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，∠EMH=90°，所以tanθ=

ME

，ME=AB=3，MH

313，所以

ΔBCF∽ΔMHB，所以3：MH=BF：1，BF=22+32=13，所以MH=

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tanθ=

ME

=13 MH

y19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x

2

相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=−c交于P,Q，

CPBAO󰁊󰁊󰁊󰁇󰁊󰁊󰁊󰁇

（1）若OA⋅OB=2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

xQl解：（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x=kx+c(c>0)，即x−kx−c=0，设

2

2

󰁊󰁊󰁊󰁇󰁊󰁊󰁊󰁇󰁊󰁊󰁊󰁇󰁊󰁊󰁊󰁇

A(x1,y1),B(x2,y2)，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，因为OA⋅OB=2，所以

x1x2+y1y2=2，即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2，x1x2+k2x1x2−kc(x1+x2)+c2=2

所以−c−kc+kcik+c=2，即c−c−2=0,所以c=2舍去c=−1

（2）设过Q的切线为y−y1=k1(x−x1)，y=2x，所以k1=2x1，即

/

2

2

2

()⎛x⎞c

y=2x1x−2x12+y1=2x1x−x12，它与y=−c的交点为M⎜1−,−c⎟，又

⎝22x1⎠⎛x+x2y1+y2

P⎜1,

22⎝

所以M⎜

⎞⎞⎛kk2

=+c,⎟，所以⎟⎜22⎠⎝⎠

Q⎜

c⎛k⎞

,−c⎟，因为x1x2=−c,所以−=x2，

x1⎝2⎠

⎛x1x2⎞⎛k⎞

+,−c⎟=⎜,−c⎟,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

⎠⎝22⎠⎝2

⎛k⎞⎛k⎞

,−c⎟，因为PQ⊥x轴，所以P⎜,yP⎟

⎝2⎠⎝2⎠

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q⎜

因为

x1+x2k

=，所以P为AB的中点。 22

20．（本小题满分16分）已知 {an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，

第 13 页 共 16 页

a1=b1,a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，

（1）若bk=am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk−1=(m−1)a1；（4分）

（2）若b3=ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）

解：设{an}的公差为d，由a1=b1,a2=b2≠a1，知d≠0,q≠1，d=a1(q−1)（a1≠0）（1）因为bk=am，所以a1q

k−1

=a1+(m−1)a1(q−1)，

qk−1=1+(m−1)(q−1)=2−m+(m−1)q，

所以Sk−1=

a1(1−qk−1)1−q

2

=

a1(m−1−(m−1)q)q

=(m−1)a1

（2）b3=a1q,ai=a1+(i−1)a1(q−1)，由b3=ai，

所以q=1+(i−1)(q−1),q−(i−1)q+(i−2)=0,解得，q=1或q=i−2，但q≠1，

2

2

所以q=i−2，因为i是正整数，所以i−2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为

bn=a1qn−1(n∈N+)，设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m−1)a1(q−1)

现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1q有正整数解即可，q

n−1

n−1

=a1+(m−1)a1(q−1)中m

qn−1−1

=1+(m−1)(q−1),m−1==1+q+q2+󰀢qn−2，所以

q−1

m=2+q+q2+󰀢qn−2，若i=1，则q=−1，那么b2n−1=b1=a1,b2n=b2=a2，当i≥3

时，因为a1=b1,a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为

bn=a1qn−1(n∈N+)与数列{an}的第2+q+q2+󰀢qn−2项相等，从而结论成立。

（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpm第 14 页 共 16 页

(+

)成等差数列，则有

2a1q

n−1

=a1qm−1+a1qp−1,设n−m=x,p−n=y,(x,y∈N+)，所以2=

1y

+q，令xq

322

x=1,y=2，则q−2q+1=0,(q−1)(q+q−1)=0，因为q≠1，所以q+q−1=0，

所以q=

5−15−1

使得{bn}中有三项舍去负值)，即存在q=(22

bm,bm+1,bm+3(m∈N+)成等差数列。

21．（本小题满分16分）已知a,b,c,d是不全为0的实数，函数f(x)=bx+cx+d，

2

g(x)=ax3+bx2+cx+d，方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是

g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根，

（1）求d的值；（3分）

（2）若a=0，求c的取值范围；（6分） （3）若a=1,f(1)=0，求c的取值范围。（7分）

解（1）设x0是f(x)=0的根，那么f(x0)=0，则x0是g(f(x))=0的根，则

g⎡⎣f(x0)⎤⎦=0,即g(0)=0，所以d=0。

（2）因为a=0，所以f(x)=bx+cx,g(x)=bx+cx，则g(f(x))=f(x)⎡⎣bf(x)+c⎤⎦

2

2

=bx+cx

(2

)(bx

2

2

+bcx+c)=0的根也是f(x)=x(bx+c)=0的根。

（a）若b=0，则c≠0，此时f(x)=0的根为0，而g(f(x))=0的根也是0，所以c≠0， （b）若b≠0，当c=0时，f(x)=0的根为0，而g(f(x))=0的根也是0，当c≠0时，

cc

f(x)=0的根为0和−，而bf(x)+c=0的根不可能为0和−，所以bf(x)+c=0必

bb

无实数根，所以Δ=(bc)−4bc<0,所以c−4c<0,02

2

2

所以当b=0时，c≠0；当b≠0时，0≤c<4。

（3）a=1,f(1)=0，所以b+c=0，即f(x)=0的根为0和1， 所以−cx+cx

(2

)2

−c(−cx2+cx)+c=0必无实数根，

第 15 页 共 16 页

1⎞ccc⎛22

（a）当c>0时，t=−cx+cx=−c⎜x−⎟+≤，即函数h(t)=t−ct+c在t≤，

42⎠44⎝c2⎛c⎞⎛c⎞

h(t)>0恒成立，又h(t)=t−ct+c=⎜t−⎟+c−，所以h(t)min=h⎜⎟>0，

4⎝2⎠⎝4⎠

2

2

2

16c2c2

即−+c>0,所以031

1⎞ccc⎛22

（b）当c<0时，t=−cx+cx=−c⎜x−⎟+≥，即函数h(t)=t−ct+c在t≥，

42⎠44⎝c2⎛c⎞⎛c⎞

h(t)>0恒成立，又h(t)=t−ct+c=⎜t−⎟+c−，所以h(t)min=h⎜⎟>0，

4⎝2⎠⎝2⎠

2

2

2

c2c2

c−>0，而c<0，所以c−<0，所以c不可能小于0，

44

（c）c=0,则b=0,这时f(x)=0的根为一切实数，而g⎡⎣f(x)⎤⎦=0，所以c=0,符合要求。 所以0≤c<

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