北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题专题综
合练习
1、如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点P是对称轴上的一个动点，当△PBC周长最小时，求点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点Q，使点Q到直线BD的距离为的坐标，若不存在，请说明理由．
？若存在，请直接写出Q
3、如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a，c为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式；
（2）Q点在x轴上且位于点B的左侧，连接BD，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标．
4、如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBOC的面积最大，求出点
P的坐标．
（2）点M为抛物线上一动点，x轴上是否存在一点Q，使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）． （1）求直线和抛物线的函数表达式； （2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7、如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，顶点为B．
（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标； （3）在对称轴上存在点Q，抛物线上是否存在点P，使得以A、Q、C、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y交于点C，顶点为D，连AC、BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第一象限抛物线上的动点，连接PB，PC，当四边形OBPC面积取最大值时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以
M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9、如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（2，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点
E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
10、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
交于A，B，C三点，直线BC的函数解析式为y＝kx+b； （1）求点A、B、C的坐标；
（2）求出直线BC的函数解析式，并根据图象直接写出的取值范围；
与两坐标轴分别相
时x（3）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求△BCD面积的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
11、如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得△ACP是以
AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜
PD＜2时，请直接写出点P横坐标的取值范围．
12、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为（﹣2，4），
CO：BO＝4：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作PE⊥x轴于点E，点F在线段OC上，BE＝OF，线段
BF和CE交于点G，∠CGF＝45°，求点P的坐标，并求此时△PCD的面积．
13、抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形
BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M． （1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
14、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点
B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴于点
D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得△PCD为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
15、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，若直线CP分四边形CBPA的面积为1：3的两部分，求点P的坐标．
（3）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值及此时点D的坐标．
16、综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C． （1）求抛物线的解析式．
（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为 ．
（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线
AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为 ；最大面积为 ．
②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
17、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式．
（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值．
18、直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；
（3）如图2，D（2，3）为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K，P是平面内一点，当以点M，H，
K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
