半角模型综合应用
模型一 等角=要三角形中得半角模型
模型二 正方形中的半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。
【类型一：等腰三角形中的半角模型】
【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法 通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起 从而方便解决问题．已知 △ABC中 AB＝AC ∠BAC＝α 点D、E在边BC上 且
．
（1）如图a 当α＝60°时 将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置 连结DF．
①∠DAF＝ ；②求证：DF＝DE；
（2）如图b 当α＝90°时 猜想BD、DE、CE的数量关系 并说明理由．
【变式1】已知∠MBN＝60° 等边△BEF与∠MBN顶点B重合 将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转 边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C 并在BM边上截取AB＝BC 连接AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时 求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时 请分别直接写出AE BE CE之间的数量关系 不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下 若BF＝4 AE＝1 则CE＝ 3或5 ．
【典例2】等边△ABC D为△ABC外一点 ∠BDC＝120° BD＝DC ∠MDN＝60° 射
线DM与直线AB相交于点M 射线DN与直线AC相交于点N
①当点M、N在边AB、AC上 且DM＝DN时 直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．
②当点M、N在边AB、AC上 且DM≠DN时 猜想①中的结论还成立吗？若成立 请证明．
③当点M、N在边AB、CA的延长线上时 请画出图形 并写出BM、NC、MN之间的数量关系．
【变式2】（1）问题背景：
如图① 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠BAD＝120° ∠B＝∠ADC＝90° E F分别是BC、CD上的点 且∠EAF＝60°．探究图中线段BE EF FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是 延长FD到点G 使DG＝BE 连接AG 先证明△ABE≌ADG 再证明△AEF≌△AGF 可得出结论 他的结论应是 ；
（2）探索延伸：
如图② 若在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180°．E F分别是BC CD上的点 且∠EAF＝∠BAD 上述结论是否仍然成立 请说明理由； （3）实际应用：
如图③ 在某次军事演习中 舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处 舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 接到行动指令后 舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进 舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速
度前进 2小时后 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E F处 当∠EOF＝70°时 两舰艇之间的距离是 海里．
【类型二：正方形中的半角模型】
【典例3】已知：正方形ABCD中 ∠MAN＝45° ∠MAN绕点A顺时针旋转 它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1 当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时 有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时 如图2 请问图1中的结论还是否成立？如果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时 线段BM DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想 并证明．
【变式3】【感知】如图① 点M是正方形ABCD的边BC上一点 点N是CD延长线上一点 且MA⊥AN 易证△ABM≌△ADN 进而证得BM＝DN（不要求证明）
【应用】如图② 在正方形ABCD中 点E、F分别在边BC、CD上 且∠EAF＝45°．求证：BE+DF＝EF．
【拓展】如图③ 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠BAD＝90° ∠ABC+∠ADC＝180° 点E、F分别在边BC、CD上 且∠EAF＝45° 若BD＝3 EF＝1.7 则四边形BEFD的周长为 ．
1．如图 △ABC为等边三角形 AE＝CD AD BE相交于点P BQ⊥AD于点Q PQ＝3
PE＝1．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）求BP和AD的长．
2．如图 △ABC是等边三角形 D是边BC上一点（点D不与点B C重合） 作∠EDF＝60° 使角的两边分别交边AB AC于点E F 且BD＝CF． （1）如图① 若DE⊥BC 则∠DFC＝ 度；
（2）如图② D是边BC上一点（点D不与点B C重合） 求证：BE＝CD； （3）如图③ 若D是边BC的中点 且AB＝2 则四边形AEDF的周长为 ．
3.如图1 在△ABC中 ∠ABC＝∠ACB＝60° △BDC是等腰三角形且BD＝CD ∠BDC＝120° 以D为顶点作∠MDN＝60° 交边AB AC于M N两点 延长AC到点E 使得CE＝BM 连接MN、DE．
（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；
（2）如图2 若点M是AB的延长线的一点 N是CA的延长线上的点 点E在线段AC上 其他条件不变 探究线段BM MN NC之间的关系 并说明理由．
4．如图1 在正方形ABCD中 E、F分别是BC CD上的点 且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B＝∠D＝90° E、F分别是BC CD上的点 且∠EAF是∠BAD的一半 那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立 请证明；不成立 请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图3 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180° 延长BC到点E 延长CD到点F 使得∠EAF仍然是∠BAD的一半 则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立 请证明；不成立 请写出它们的数量关系并证明．
5．阅读下列学习内容：
（1）如图1 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠BAD＝120° ∠ABC＝∠D＝90° E F分别是BC、CD上的点 且∠EAF＝60° 探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．
探究思路如下：延长EB到点G 使BG＝DF 连接AG．
⇒△ABG≌△ADF⇒
⇒∠DAF+∠BAE＝60°⇒∠GAB+∠BAE＝60°
∠EAG＝60°⇒⇒△AEF≌△AEG⇒EF＝EG
则由探究结果知 图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF＝BE+FD ． （2）根据上面的方法 解决问题：
如图2 若在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180° E、F分别是BC、CD上的点 且∠EAF＝∠BAD
上述结论是否仍然成立 并说明理由；
（3）如图3 在四边形ABCD中 AB＝BC＝CD＝DA ∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 点M、N分别在边BC、CD上 且∠MAN＝45° 若BM＝3 ND＝2 请求出线段MN的长度．
6．（1）如图1 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B＝∠D＝90° E、F分别是边BC、CD上的点 且∠EAF＝∠BAD 线段EF、BE、FD之间的关系是 EF＝BE+FD ；（不需要证明）
（2）如图2 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180° E、F分别是边BC、CD
上的点 且∠EAF＝∠BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立 请证明．若不成立 请写出它们之间的数量关系 并证明．
（3）如图3 在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180° E、F分别是边BC、CD延长线上的点 且∠EAF＝∠BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立 请证明．若不成立 请写出它们之间的数量关系 并证明．
7．【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中 AB＝AD ∠BAD＝120° ∠B＝∠ADC＝90° E、F分别是BC、CD上的点 且∠EAF＝60° 试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G 使DG＝BE 连接AG 先证明△ABE≌△ADG 再证明△AEF≌△AGF 可得出结论 他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2 若在四边形ABCD中 AB＝AD ∠B+∠D＝180° E、F分别是BC CD上的点 且∠EAF＝∠BAD 上述结论是否仍然成立 并说明理由． 【学以致用】
如图3 四边形ABCD是边长为5的正方形 ∠EBF＝45° 直接写出△DEF的周长
．
