甥代教胄 现代数学观点下的中学几何教学 郭先定 （乐山师范学院数学系） 摘要：中学几何教学改革是现代数学教育的重要课题之一，在现代数学观点下，加强高等数学与初等教学的联系，将高等数学中某 些内容放到初等教学中去，具有非常重要的意义．本文就此进行了探讨。 关键词：现代数学 中学几何鑫无穷远元素 １历史的回顾 自从Ｅｕｃｌｉｄ｛几何原本》问世以来，，以现实空间为模型，以平行公 理为特征的欧几里德几何在两千多年中一直占据着统治地位，直到 点进行统一处理。 ３思考——将无穷远元素引入中学几何 ｌ９世纪３Ｏ年代，数学的发展进入了现代数学阶段，这种情况才有所 改变。我们知道，否定平行公理代之以非平行公理，诞生了非欧几 何一罗已切夫斯基几何和黎曼几何。克莱因（Ｋｌｅｉｎ）以变换群的观点 欧氏几何是中学阶段数学学习的一个重要组成部份。由于欧氏 几何采用了比较自然的演绎法，有鲜明的几何直觉和几何语言，因此 它在培养中学生的逻辑思维能力方面有重要的意义。从课程价值上 看，可以说，没有那一门学科能够象几何这样如此丰富多彩。作为各 种数学结构的模型，作为现代公理化思想的典范，作为培养思维能力 的有效途径，作为把握宇宙空间的一种工具，作为理解现实世界的一 种手段，几何课程具有非常突出的优点。随着中学数学教育改革的不 断深入，我们看到高等数学的一些知识。例如：向量、简易逻辑、概率 统计和微积分初步都已逐步放到中学数学中。本人认为，作为仿射几 何知识的一部份，仿射几何中的一些基本概念，例如：单比、无穷远元 素、平行射影等也可以引入中学几何教学。这些概念的引入将有助于 加强中学生对几何学习的兴趣，加深对几何空间的理解，提高处理几 何问题的能力。 将几何学进行分类，把欧氏几何与非欧几何统一起来，从而证明了非 欧几何与欧氏几何一样具有相对的真理性。Ｇａｕｓｓ Ｒｉｅｍａｎｎ（１８２６— １８６６）在经典微分几何的基础上，创立了现代微分几何学。欧氏几何、 罗氏几何、黎曼几何都是曲面几何，它们分别对应于的情况，从而使欧 氏几何与非欧几何在另一种观点下统一起来。 在几何基础方面，Ｈｉｌｂｅｒｔ对欧几里德公理体系进行了现代化的改 造，建立了希尔伯特公理体系．成为现代数学公理的范例。Ｇｒａｓｓ ｉＴｌａｎｎ （１８０９—１８７７）引入ｎ维空间概念，把三维几何发展为几何。２Ｏ 世纪后，Ｗｅｙｌ（１８８５—１９５５）等人又以集合论为基础，建立了ｎ维欧几 里德的结构理论，ｎ维欧氏空间是代数结构（向量空间）和拓扑结构 （内积空间）的复合结构。 从上述观点看中学几何，可以更深刻地理解某些几何概念的本 质，沟通中学几何与现代数学的联系，并获得方上的指导。 我们知道，按照仿射几何的观点，所谓两直线平行就是两直线交 于无穷远点。因此，在中学几何中引入无穷远元素是顺理成章的事 情。所有初等几何中涉及到证明平行的问题均可以用交于无穷远代 替。至于单比，只不过是有向线段的数量比，对于中学生来讲，掌握起 来也不困难。我们知道仿射变换保持图形的结合性、平行性、单比、封 闭图形的面积之比。将这些仿射几何的基本知识放到中学几何中去， 将有助于学生对初等几何命题的证明，拓广他们对中学几何问题的认 识，增强解决几何问题的能力。事实上，射影几何的重要定理“代沙 格”定理，“梅内劳斯”定理，“塞瓦”定理，早已是初等几何中的内容。 ２现代数学与中学数学 一般说来，现代数学是指ｌ９世纪３０年代以后诞生的数学。它的 重要标志是Ｌｏｂａｔｃｈｅｕｓｋｇｆ １７９２—１８５６），Ｇａｕｓｓ（１７７７—１８５５）和Ｊ． Ｂ０ｌｖａｉ（１８０２一ｌ８６０）创立非欧几何。Ｇａｌｏｉｓ（１８１１—１８３２）创立群论。 Ｈａｍｉｌｔｏｎ（１８０５—１８６５）创立四元数以及Ｃａｍｔｏｒ（１８４５—１９１８）创立集 合论。从那以后发展起来的非欧几何，抽象代数，集合论，拓扑学，泛 函分析，数理逻辑、数学基础都是现代数学内容。 现代数学与初等数学在研究对象和方法上都有显著的不同。初 综上，本人认为，可以将无穷远元素及仿射几何的一些基本知识 放到中学的几何中。即改革现有的中学几何教学内容，这样有助于加 深学生的几何想象，培养对几何空间的理解，提高处理中学几何问题 的能力。 参考文献： 等数学以数和三维空间的图象为主要研究对象，而现代数学则以任意 集合及其间的种种关系为研究对象。在现代数学中，数推广为一般集 合的元素，数的运算推广为集合中元素的一般运算，函数推广为集合 的映射。曲面、曲线推广为一般空间的任意流形等等。在思想观念和 方法上现代数学以集合论为基础，普遍采用公理化方法和数学结构观 应形式。 ［Ｍ］胡炳生等编，现代数学观点下的中学数学，高等教育出版社 口 ２ＯＵｏ． 总之，文化差异问题是一个内容十分丰富又极其复杂的问题。 因此，要在两种语言之间进行翻译，除了通晓两国的语言文字外，还 必须深刻理解两种文化之间的差异以及这些差异对语言理解的影 响，并采用适当的翻译方法。只有这样，才能不仅做到语言意义上的 等值，而且真正做到文化意义上的等值。 ［２］廖晶，屠国元．文化翻译・文化感知・文化创造力［Ｊ］、外语 与外语教学，２００３（７）． ［３］潘绍中．谈谈汉英对译中的文化因素［Ｊ］．中国翻译，２００４ （３）． ［４］王振亚．语言与文化［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ［５］包惠南．文化语境与语言翻译［Ｍ］．北京：中国对外翻译出版 参考文献： 『１］彝嫜中． 化与翻译ｆＭ］．北京：中国对外翻译出版 公司，２００１口 代企业教育 ＭＯＤＥＲＮ ＥＮＴＥＲＰＲｌＳ｛三 ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
