2021年新人教版九年级上数学第22章_二次函数单元测试卷含答案

2021年新人教版九年级上数学第22章 二次函数单元测试卷含

答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）

1. 下列二次函数中，其图像的对称轴为𝑥=−2的是( ) A.𝑦=2𝑥2−2

2. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴交于点(−1, 0)，对称轴为𝑥=1，则下列结论中正确的是( )

B.𝑦=−2𝑥2−2

C.𝑦=2(𝑥−2)2

D.𝑦=(𝑥+2)2

A.𝑎>0

B.当𝑥>1时，𝑦随𝑥的增大而增大 C.𝑐<0

D.𝑥=3是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根

3. 已知点(−1, 2)在二次函数𝑦＝𝑎𝑥2的图象上，那么𝑎的值是（ ） A.1

4. 已知𝑎,𝑏,𝑐为常数，点𝑃(𝑎,𝑐)是第四象限内的一点，则二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴的交点个数为( ) A.一个

5. 抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥+1的对称轴是( ) A.直线𝑥=1

6. 将抛物线𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐沿𝑥轴的正方向平移2个单位后能与抛物线𝑦＝𝑥2−2𝑥+3重合，则抛物线𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的表达式是（ ）

A.𝑦＝𝑥2+2𝑥+1 B.𝑦＝𝑥2−6𝑥+9 C.𝑦＝𝑥2−6𝑥+11 D.𝑦＝𝑥2+2𝑥+3

7. 将抛物线𝑦=2𝑥2−6𝑥+21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为

试卷第1页，总21页

1

B.−1 C.2 D.−2

B.没有交点 C.两个 D.无法确定

B.直线𝑥=−1 C.直线𝑥=2 D.直线𝑥=−2

( )

A.𝑦=2(𝑥−8)2+5

8. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于点𝑃(𝑥, 𝑦)和𝑄(𝑥, 𝑦′)，给出如下定义：若𝑦′=

𝑦(𝑥<0){ ，则称点𝑄为点𝑃的“可控变点”，例如：点(1, 2)的“可控变点”为点(1, −2)，−𝑦(𝑥≥0)

点(−1, 3)的“可控变点”为点(−1, 3)．若点𝑃在函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3的图象上，则其“可控变点”𝑄的纵坐标𝑦′关于𝑥的函数图象大致正确的是（ ）

1

1

B.𝑦=2(𝑥+4)2+5

1

C.𝑦=2(𝑥−8)2+3

1

D.𝑦=2(𝑥−4)2+3

A.

B. C. D.

9. 下列表格是二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的自变量𝑥与函数值𝑦的对应值，判断方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)，𝑎，𝑏，𝑐为常数）的一个解𝑥的范围是（ ）

𝑥 A.4<𝑥<4.18

4.18 4.19 4.20 4.21 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 −0.0676 −0.0139 0.04 0.0941 B.4.18<𝑥<4.19 C.4.19<𝑥<4.20 D.4.20<𝑥<4.21

10. 已知二次函数𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，当𝑦>0时，𝑥的取值范围是（ ）

A.−1<𝑥<2

B.𝑥>2

C.𝑥<−1

D.𝑥<−1或𝑥>2

二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ， ）

11. 若抛物线𝑦=−𝑥2−6𝑥+𝑚与𝑥轴没有交点，则𝑚的取值范围是________．

12. 二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥+6的最小值是________．

13. 已知函数𝑦＝𝑥𝑚−1是关于𝑥的二次函数，则𝑚＝________．

试卷第2页，总21页

14. 抛物线𝑦=𝑎𝑥2经过点(2,6)，则𝑎=________.

15. 已知抛物线𝑦=(𝑥−3)2+4，当1≤𝑥≤4时，函数值𝑦的取值范围是________．

16. 用min{𝑎, 𝑏, 𝑐}表示𝑎，𝑏，𝑐三个数中的最小值，若𝑦=min{𝑥2, 𝑥+2, 10−𝑥}(𝑥≥0)，则𝑦的最大值为________．

三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ， ）

17. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷，设𝐴𝐵边长为𝑥米，则菜园的面积𝑦（单位：米2）与𝑥（单位：米）的函数关系式为多少？

18. 已知二次函数𝑦=2𝑥2+4𝑥−6.

(1)将二次函数的解析式化为𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的形式．

(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

19. 如图1，抛物线𝑦=𝑥(𝑥−𝑘)经过原点𝑂，交𝑥轴正半轴于点𝐴，过𝐴的直线交抛物

41

线于另一点𝐵，𝐴𝐵交𝑦轴正半轴于点𝐶，且𝑂𝐶=𝑂𝐴，𝐵点的纵坐标为9.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点𝑃为第一象限的抛物线上一点，连接𝑃𝐵、𝑃𝐶，设𝑃点的横坐标为𝑚，△𝑃𝐵𝐶的面积为𝑆，求𝑆与𝑚的函数关系式；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接𝑂𝑃、𝐴𝑃，若∠𝐴𝑃𝑂=45∘−2∠𝐴𝑂𝑃，求点𝑃的坐标．

试卷第3页，总21页

1

20. 阅读材料，解答问题．

例：用图象法解一元二次不等式：𝑥2−2𝑥−3>0． 解：设𝑦=𝑥2−2𝑥−3，则𝑦是𝑥的二次函数． ∵ 𝑎=1>0，

∴ 抛物线开口向上．

又∵ 当𝑦=0时，𝑥2−2𝑥−3=0，解得𝑥1=−1，𝑥2=3． ∴ 由此得抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当𝑥<−1或𝑥>3时，𝑦>0． ∴ 𝑥2−2𝑥−3>0的解集是：𝑥<−1或𝑥>3．

(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：𝑥2−2𝑥−3>0的解集是________；

(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：𝑥2−1>0．

21. 已知二次函数𝑦=−2𝑥2+3𝑥−1. (1)求顶点𝐴的坐标；

(2)直接写出两种平移方法，使该函数的图象经过一次平移后经过原点．

22. 已知二次函数𝑦=−2𝑥2+𝑥+2．

(1)将𝑦=−2𝑥2+𝑥+2化成𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的形式；

(2)当0≤𝑥≤3时，求函数值𝑦的取值范围.

试卷第4页，总21页

1

31

3

23. 已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥.

(1)完成下表，并在平面直角坐标中画出这个函数的图象；

𝑥 𝑦 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (2)结合图象回答：

①当𝑥<1时，𝑦随𝑥的增大而________；（填增大或减小） ②当𝑦≤0时，自变量𝑥的取值范围是________.

24. 二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+3的图象经过点(3,0).请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标

25. 随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．

(1)该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为𝑡(10≤𝑡≤30)，且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位𝑦个，求𝑦与𝑡的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？

试卷第5页，总21页

参与试题解析

2021年新人教版九年级上数学第22章 二次函数单元测试卷含

答案

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.

【答案】 D

【考点】

二次函数的性质 【解析】

根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项． 【解答】

解：𝑦=2𝑥2−2的对称轴为𝑥=0，𝐴不符合题意； 𝑦=−2𝑥2−2的对称轴为𝑥=0，𝐵不符合题意； 𝑦=2(𝑥−2)2的对称轴为𝑥=2，𝐶不符合题意； 𝑦=(𝑥+2)2的对称轴为𝑥=−2，𝐷符合题意． 故选𝐷. 2.

【答案】 D

【考点】

二次函数的图象 抛物线与x轴的交点

【解析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得𝑎是负数，与𝑦轴的交点在正半轴可得𝑐是正数，根据二次函数的增减性可得𝐵选项错误，根据抛物线的对称轴结合与𝑥轴的一个交点的坐标可以求出与𝑥轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐＝0的根，从而得解． 【解答】

解：𝐴，根据图象，二次函数开口方向向下， ∴ 𝑎<0，故本选项错误；

𝐵，当𝑥>1时，𝑦随𝑥的增大而减小，故本选项错误； 𝐶，根据图象，抛物线与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴， ∴ 𝑐>0，故本选项错误；

𝐷，∵ 抛物线与𝑥轴的一个交点坐标是(−1, 0)，对称轴是𝑥=1， 设另一交点为(𝑥, 0)，则−1+𝑥=2×1， 解得𝑥=3，

∴ 另一交点坐标是(3, 0)，

∴ 𝑥=3是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根，故本选项正确． 故选𝐷. 3. 【答案】 C

试卷第6页，总21页

【考点】

二次函数图象上点的坐标特征 【解析】

把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于𝑎的方程，可求得𝑎的值． 【解答】

∵ 点(−1, 2)在二次函数𝑦＝𝑎𝑥2的图象上， ∴ 2＝𝑎×(−1)2，解得𝑎＝2， 4.

【答案】 C

【考点】

抛物线与x轴的交点

二次函数图象与系数的关系

【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：∵ 点𝑃(𝑎,𝑐)是第四象限内的一点， ∴ 𝑎>0，𝑐<0，∴ 𝑎𝑐<0, ∴ 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0，

∴ 二次函数与𝑥轴有两个交点. 故选𝐶. 5.

【答案】 A

【考点】

二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 【解析】

此题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．

由对称轴公式𝑥=-可得对称轴方程．

2𝑎𝑏

【解答】

解：抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥+1的对称轴为 𝑥=−2𝑎=−2×1=1. 故选𝐴． 6.

【答案】 D

【考点】

二次函数图象与几何变换 【解析】

直接利用配方法将原式变形进而利用平移的性质得出答案． 【解答】

𝑦＝𝑥2−2𝑥+3

试卷第7页，总21页

𝑏

−2

＝(𝑥−1)2+2，

则此抛物线向𝑥轴负半轴方向平移2个单位得到：𝑦＝(𝑥+1)2+2＝𝑥2+2𝑥+3， 7.

【答案】 D

【考点】

二次函数图象的平移规律 【解析】

直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案． 【解答】

解：𝑦=2𝑥2−6𝑥+21 1

=(𝑥2−12𝑥)+21 21

=[(𝑥−6)2−36]+21 2=2(𝑥−6)2+3，

故𝑦=2(𝑥−6)2+3向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：𝑦=2(𝑥−4)2+3． 故选𝐷. 8. 【答案】 A

【考点】

二次函数图象与几何变换 二次函数的性质

【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：画出函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，如图所示：

1

11

1

将𝑦轴右侧的图象关于𝑥轴颠倒过来， 即可得出𝑦′关于𝑥的函数图象. 故选𝐴.

试卷第8页，总21页

9.

【答案】 C

【考点】

图象法求一元二次方程的近似根 【解析】

根据函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴的交点就是方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0一个根的范围． 【解答】

解：函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴的交点就是方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根， 函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：𝑦=0在𝑦=−0.0139与𝑦=0.04之间， ∴ 对应的𝑥的值在4.19与4.20之间，即4.19<𝑥1<4.20， 故选𝐶． 10.

【答案】 D

【考点】

图象法求一元二次方程的近似根 【解析】

根据已知图象可以得到图象与𝑥轴的交点是(−1,0),(2,0)，又𝑦>08时，图象在𝑥轴的上方，由此可以求出𝑥的取值范围． 【解答】

依题意得图象与𝑥轴的交点是(−1,0),(2,0) 当𝑦>0时，图象在𝑥轴的上方， 此时𝑥<−1或𝑥>2

．𝑥的取值范围是：𝑥<−1或𝑥>2 故选𝐷．

二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.

【答案】 𝑚<−9 【考点】

抛物线与x轴的交点 根的判别式

【解析】

根据抛物线𝑦＝−𝑥2−6𝑥+𝑚与𝑥轴没有交点，可知当𝑦＝0时，0＝−𝑥2−6𝑥+𝑚，△<0，从而可以求得𝑚的取值范围． 【解答】

解：∵ 抛物线𝑦=−𝑥2−6𝑥+𝑚与𝑥轴没有交点， ∴ 当𝑦=0时，0=−𝑥2−6𝑥+𝑚， ∴ 𝛥=(−6)2−4×(−1)×𝑚<0， 解得𝑚<−9.

故答案为：𝑚<−9. 12. 【答案】

试卷第9页，总21页

5

【考点】

二次函数的最值 【解析】

利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值． 【解答】

解：𝑦=𝑥2−2𝑥+6 =𝑥2−2𝑥+1+5 =(𝑥−1)2+5，

可见，二次函数的最小值为5． 故答案为：5. 13.

【答案】 3

【考点】

二次函数的定义 【解析】

根据二次函数的定义列式计算． 【解答】

∵ 函数𝑦＝𝑥𝑚−1是关于𝑥的二次函数， ∴ 𝑚−1＝3， 解得，𝑚＝3， 14. 【答案】

3 2【考点】

待定系数法求二次函数解析式 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：将点(2,6)代入抛物线𝑦=𝑎𝑥2中， 得：4𝑎=6， 解得𝑎=2． 故答案为：2. 15.

【答案】 4≤𝑦≤8 【考点】

二次函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：∵ 𝑦=(𝑥−3)2+4，

试卷第10页，总21页

33

当𝑥=1时，𝑦=8; 当𝑥=3时，𝑦=4； 当𝑥=4时，𝑦=5，

综上，当1≤𝑥≤4时，4≤𝑦≤8. 故答案为：4≤𝑦≤8. 16.

【答案】 6

【考点】

二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象的画法 一次函数的图象

【解析】

本题首先从𝑥的值代入来求，由𝑥≥0，则𝑥=0，1，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6． 【解答】

解：画出大括号中三个函数的图象，如图所示，

由图可知，当0≤𝑥<2时，𝑦=min{𝑥2, 𝑥+2, 10−𝑥}=𝑥2， 当2≤𝑥<4时，𝑦=min{𝑥2, 𝑥+2, 10−𝑥}=𝑥+2， 当𝑥≥4时，𝑦=min{𝑥2, 𝑥+2, 10−𝑥}=10−𝑥，

观察图象，显然当𝑥=4时𝑦取得最大值，此时𝑦=10−4=6. 故答案为：6．

三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 8 分 ，共计72分 ） 17.

【答案】

解：∵ 𝐴𝐵边长为𝑥米， 而菜园𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形菜园， ∴ 𝐵𝐶=2(30−𝑥)，

菜园的面积=𝐴𝐵×𝐵𝐶=2(30−𝑥)⋅𝑥，

试卷第11页，总21页

1

1

则菜园的面积𝑦（单位：米2）与𝑥（单位：米）的函数关系式为：𝑦=−𝑥2+15𝑥．

21

【考点】

根据实际问题列二次函数关系式 【解析】

由𝐴𝐵边长为𝑥米根据已知可以推出𝐵𝐶=2(30−𝑥)，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式． 【解答】

解：∵ 𝐴𝐵边长为𝑥米， 而菜园𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形菜园， ∴ 𝐵𝐶=2(30−𝑥)，

菜园的面积=𝐴𝐵×𝐵𝐶=(30−𝑥)⋅𝑥，

21

1

1

则菜园的面积𝑦（单位：米2）与𝑥（单位：米）的函数关系式为：𝑦=−2𝑥2+15𝑥． 18.

【答案】

解：(1)𝑦=2𝑥2+4𝑥−6 =2(𝑥2+2𝑥+1)−8 =2(𝑥+1)2−8.

(2)由(1)知，该抛物线解析式是：𝑦=2(𝑥+1)2−8， ∴ 𝑎=2>0，

则二次函数图象的开口方向向上， 对称轴是直线𝑥=−1， 顶点坐标是(−1,−8).

【考点】

二次函数的三种形式

二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质

【解析】

（1）根据题意及配方法把一般式化成顶点式即可； （2）由（1）直接进行解答即可．

【解答】

解：(1)𝑦=2𝑥2+4𝑥−6 =2(𝑥2+2𝑥+1)−8 =2(𝑥+1)2−8.

(2)由(1)知，该抛物线解析式是：𝑦=2(𝑥+1)2−8， ∴ 𝑎=2>0，

则二次函数图象的开口方向向上， 对称轴是直线𝑥=−1， 顶点坐标是(−1,−8). 19.

【答案】

解：(1)过𝐵点作𝐵𝐻⊥𝑥轴，垂足为点𝐻，

试卷第12页，总21页

1

∵ 抛物线经过原点𝑂，与𝑥轴交于点𝐴， ∴ 令𝑦=0．则𝑥(𝑥−𝑘)=0，

41

解得𝑥=0或𝑥=𝑘， ∴ 𝐴(𝑘,0)， ∴ 𝑂𝐴=𝑘.

∵ 𝑂𝐶=𝑂𝐴,∠𝐴𝑂𝐶=90∘，

∴ ∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝑂=45∘=∠𝐴𝐵𝐻. ∵ 𝑦𝐵=9，

∴ 𝐴𝐻=𝐵𝐻=9， ∴ 𝐻(𝑘−9,0)， ∴ 𝐵(𝑘−9,9)，

把𝐵点坐标代入抛物线解析式得4(𝑘−9)⋅(𝑘−9−𝑘)=9， 解得𝑘=5，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=𝑥2−𝑥.

4

4

1

51

(2)过𝑃点作𝑃𝐸//𝑦轴交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，过𝐵点作𝐵𝐹⊥𝑃𝐸于点𝐹，过𝐶点作𝐶𝐺⊥𝑃𝐸于点𝐺

∵ 点𝑃在抛物线上，则𝑃(𝑚,4𝑚2−4𝑚)， ∴ 𝑥𝐹=𝑥𝑃=𝑥𝐶=𝑥𝐸=𝑚． ∵ 𝐴(5,0),𝐵(−4,9)，

试卷第13页，总21页

1

5

易求直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+5， ∴ 𝐸(𝑚,−𝑚+5)，

∴ 𝑃𝐸=𝑚2−𝑚−(−𝑚+5)=𝑚2−𝑚−5，

4

4

4

4

1

5

1

1

𝐵𝐹=𝑚+4，𝐶𝐺=𝑚，

𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐵𝑃𝐸−𝑆△𝐶𝑃𝐸=×(𝑚2−𝑚−5)×4=𝑚2−𝑚−10．

2

4

4

2

2

1

1

1

1

1

(3)过点𝑃作 𝑃𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝑂𝑃于点𝐻， 设∠𝐴𝑂𝑃=2𝛼，则∠𝐴𝑃𝑂=45∘−𝛼， ∵ ∠𝑃𝐴𝐺是∠𝑃𝐴𝑂的外角，

∴ ∠𝑃𝐴𝐺=2𝛼+45∘−𝛼=45∘+𝛼. 在△𝑃𝐴𝐺中，∠𝐴𝑃𝐺=45∘−𝛼=∠𝑂𝑃𝐴， ∴ 𝐴𝐺=𝐴𝐻.

𝑅𝑡△𝑃𝑂𝐺中，tan∠𝑃𝑂𝐺=𝑂𝐺=∴ tan∠𝐴𝑂𝐻=

𝑚−54

𝑃𝐺

1

𝑚(𝑚−5)4

𝑚

=

𝑚−54

，

.

𝑚−54

∴ 𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐻中，𝑂𝐻=

𝐴𝐻

,

又∵ 𝐴𝐻=𝐴𝐺=𝑚−5， ∴ 𝑂𝐻=4，

𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐻中，𝑂𝐴2=𝑂𝐻2+𝐴𝐻2,52=42+𝐴𝐻2， ∴ 𝐴𝐻=3. ∴ 𝑚−5=3． 解得𝑚=8， 当𝑚=8时，

1

𝑚2−4𝑚=4×82−4×8=6， 4

∴ 𝑃(8,6) ．

515

【考点】

二次函数综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：(1)过𝐵点作𝐵𝐻⊥𝑥轴，垂足为点𝐻， ∵ 抛物线经过原点𝑂，与𝑥轴交于点𝐴，

试卷第14页，总21页

∴ 令𝑦=0．则𝑥(𝑥−𝑘)=0，

41

解得𝑥=0或𝑥=𝑘， ∴ 𝐴(𝑘,0)， ∴ 𝑂𝐴=𝑘.

∵ 𝑂𝐶=𝑂𝐴,∠𝐴𝑂𝐶=90∘，

∴ ∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝑂=45∘=∠𝐴𝐵𝐻. ∵ 𝑦𝐵=9，

∴ 𝐴𝐻=𝐵𝐻=9， ∴ 𝐻(𝑘−9,0)， ∴ 𝐵(𝑘−9,9)，

把𝐵点坐标代入抛物线解析式得4(𝑘−9)⋅(𝑘−9−𝑘)=9， 解得𝑘=5，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=4𝑥2−4𝑥.

1

51

(2)过𝑃点作𝑃𝐸//𝑦轴交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，过𝐵点作𝐵𝐹⊥𝑃𝐸于点𝐹，过𝐶点作𝐶𝐺⊥𝑃𝐸于点

∵ 点𝑃在抛物线上，则𝑃(𝑚,4𝑚2−4𝑚)， ∴ 𝑥𝐹=𝑥𝑃=𝑥𝐶=𝑥𝐸=𝑚． ∵ 𝐴(5,0),𝐵(−4,9)，

易求直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+5，

试卷第15页，总21页

1

5

∴ 𝐸(𝑚,−𝑚+5)，

∴ 𝑃𝐸=𝑚2−𝑚−(−𝑚+5)=𝑚2−𝑚−5，

4

4

4

4

1

5

1

1

𝐵𝐹=𝑚+4，𝐶𝐺=𝑚，

𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝑆△𝐵𝑃𝐸−𝑆△𝐶𝑃𝐸=2×(4𝑚2−4𝑚−5)×4=2𝑚2−2𝑚−10． (3)过点𝑃作 𝑃𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝑂𝑃于点𝐻， 设∠𝐴𝑂𝑃=2𝛼，则∠𝐴𝑃𝑂=45∘−𝛼， ∵ ∠𝑃𝐴𝐺是∠𝑃𝐴𝑂的外角，

∴ ∠𝑃𝐴𝐺=2𝛼+45∘−𝛼=45∘+𝛼. 在△𝑃𝐴𝐺中，∠𝐴𝑃𝐺=45∘−𝛼=∠𝑂𝑃𝐴， ∴ 𝐴𝐺=𝐴𝐻.

𝑅𝑡△𝑃𝑂𝐺中，tan∠𝑃𝑂𝐺=∴ tan∠𝐴𝑂𝐻=

𝑚−54

𝑃𝐺𝑂𝐺1

1

1

1

1

=

1

𝑚(𝑚−5)4

𝑚

=

𝑚−54

，

.

𝑚−54

∴ 𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐻中，𝑂𝐻=

𝐴𝐻

,

又∵ 𝐴𝐻=𝐴𝐺=𝑚−5， ∴ 𝑂𝐻=4，

𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐻中，𝑂𝐴2=𝑂𝐻2+𝐴𝐻2,52=42+𝐴𝐻2， ∴ 𝐴𝐻=3. ∴ 𝑚−5=3． 解得𝑚=8， 当𝑚=8时，

14

𝑚2−𝑚=×82−×8=6，

4

4

4

515

∴ 𝑃(8,6) ．

20.

【答案】 −1<𝑥<3

(2)设 𝑦=𝑥2−1 ，则𝑦是𝑥的二次函数， ∵ 𝑎=1>0

∴ 抛物线开口向上．

又∵ 当 𝑦=0 ，𝑥2−1=0，

试卷第16页，总21页

解得 𝑥1=−1，𝑥2=1，

由此得抛物线 𝑦=𝑥2−1 的大致图象如图所示：

观察函数图象可知：当𝑥<−1或𝑥>1时，𝑦>0． ∴ 𝑥2−1>0的解集是：𝑥<−1或𝑥>1．

【考点】

二次函数与不等式（组） 【解析】

解：(1)由𝑥2−2𝑥−3=0得𝑥1=−1，𝑥2=3， 抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3开口向上，

𝑦<0时，图象在𝑥轴的下方，此时−1<𝑥<3.

（2）仿照（1）的方法，解出图象与𝑥轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定𝑥的范围．

【解答】

解：(1)由𝑥2−2𝑥−3=0得𝑥1=−1，𝑥2=3， 抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3开口向上，

𝑦<0时，图象在𝑥轴的下方，此时−1<𝑥<3. (2)设 𝑦=𝑥2−1 ，则𝑦是𝑥的二次函数， ∵ 𝑎=1>0

∴ 抛物线开口向上．

又∵ 当 𝑦=0 ，𝑥2−1=0，

解得 𝑥1=−1，𝑥2=1，

由此得抛物线 𝑦=𝑥2−1 的大致图象如图所示：

观察函数图象可知：当𝑥<−1或𝑥>1时，𝑦>0． ∴ 𝑥2−1>0的解集是：𝑥<−1或𝑥>1． 21. 【答案】

解：(1)顶点𝐴的横坐标为：𝑥=−2𝑎=−2×(−2)=4, 纵坐标为：

4𝑎𝑐−𝑏24𝑎

𝑏

3

3

=

4×(−2)×(−1)−32

4×(−2)31

=8, 1

∴ 顶点𝐴的坐标为：(4,8).

试卷第17页，总21页

(2)第一种方法：当𝑦=0时，−2𝑥2+3𝑥−1=0， 解得𝑥=1或𝑥=,

21

即抛物线与𝑥轴的交点坐标是(1,0)，(2,0)，

∴ 该二次函数的图象向左平移1个单位，则其图象经过原点； 第二种方法：∵ 𝑐=−1，

∴ 该二次函数的图象向上平移1个单位，则其图象经过原点. 【考点】

二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质 二次函数图象的平移规律

【解析】

根据顶点坐标的公式来解答即可.

根据二次函数的与𝑥轴、𝑦轴的交点及二次函数的性质来解答即可. 【解答】

解：(1)顶点𝐴的横坐标为：𝑥=−2𝑎=−2×(−2)=4, 纵坐标为：

4𝑎𝑐−𝑏24𝑎

𝑏

3

3

1

=

4×(−2)×(−1)−32

4×(−2)31

=8, 1

∴ 顶点𝐴的坐标为：(4,8).

(2)第一种方法：当𝑦=0时，−2𝑥2+3𝑥−1=0， 解得𝑥=1或𝑥=2,

即抛物线与𝑥轴的交点坐标是(1,0)，(2,0)，

∴ 该二次函数的图象向左平移1个单位，则其图象经过原点； 第二种方法：∵ 𝑐=−1，

∴ 该二次函数的图象向上平移1个单位，则其图象经过原点. 22. 【答案】

解：(1)𝑦=−𝑥2+𝑥+

2

2

1

3

1

1

13=−(𝑥2−2𝑥)+ 2213=−(𝑥2−2𝑥+1−1)+ 22=−2(𝑥−1)2+2.

(2)由(1)知对称轴为直线𝑥=1. ∵ 0≤𝑥≤3，

∴ 当𝑥=1时，𝑦𝑚𝑎𝑥=2， 当𝑥=0时，𝑦=2， 当𝑥=3，𝑦=0， ∴ 0≤𝑦≤2.

试卷第18页，总21页

3

1

【考点】

二次函数在给定区间上的最值 二次函数的三种形式

【解析】

（1）根据配方法的步骤即可解决． （2）利用描点法画出函数图象即可． 【解答】

解：(1)𝑦=−2𝑥2+𝑥+2 13=−(𝑥2−2𝑥)+ 2213=−(𝑥2−2𝑥+1−1)+ 22=−(𝑥−1)2+2.

21

1

3

(2)由(1)知对称轴为直线𝑥=1. ∵ 0≤𝑥≤3，

∴ 当𝑥=1时，𝑦𝑚𝑎𝑥=2， 当𝑥=0时，𝑦=2， 当𝑥=3，𝑦=0， ∴ 0≤𝑦≤2. 23. 【答案】 解：(1) 3

𝑥 ⋯ −1 0 1 𝑦 ⋯ 3 图象如图所示：

2 3 ⋯ 0 −1 0 3 ⋯

减小,0≤𝑥≤2

【考点】

二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象的画法 二次函数的性质

试卷第19页，总21页

【解析】

根据画函数的对称性质取值，然后在平面直角坐标系中描出来，然后用平滑的曲线边接即可.

根据二次函数的图象来解答即可. 【解答】 解：(1) 𝑥 ⋯ −1 0 1 𝑦 ⋯ 3 图象如图所示： 2 3 ⋯ 0 −1 0 3 ⋯

(2)①由图象可知，当𝑥<1时，𝑦随𝑥的增大而减小； ②当𝑦≤0时，自变量𝑥的取值范围是0≤𝑥≤2. 故答案为：减小；0≤𝑥≤2. 24.

【答案】

解：把(3,0)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+3， 0=32+3𝑏+3, 解得：𝑏=−4,

∴ 𝑦=𝑥2−4𝑥+3 =𝑥2−4𝑥+4−1 =(𝑥−2)2−1,

∴ 该二次函数图象的顶点坐标是(2,−1). 【考点】

含字母系数的二次函数

二次函数图象上点的坐标特征 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：把(3,0)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+3， 0=32+3𝑏+3, 解得：𝑏=−4,

∴ 𝑦=𝑥2−4𝑥+3 =𝑥2−4𝑥+4−1 =(𝑥−2)2−1,

试卷第20页，总21页

∴ 该二次函数图象的顶点坐标是(2,−1). 25.

【答案】

解：(1)设这两年平均年增长率为𝑥， 由题意可得：2(1+𝑥)2=2.88，

解得：𝑥1=0.2=20%，𝑥2=−2.2（不合题意，会去）． 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%． (2)设该养老中心建成后能提供养老床位𝑦个， 由题意得：𝑦=𝑡+4𝑡+3(100−3𝑡) =−4𝑡+300(0≤𝑡≤30)， ∵ 𝑘=−4<0，

∴ 𝑦随𝑡的增大而减小，

当𝑡=10时，𝑦的最大值为−4×10+300=260（个）. 答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个． 【考点】

一元二次方程的应用——增长率问题 一次函数的应用 【解析】

【解答】

解：(1)设这两年平均年增长率为𝑥， 由题意可得：2(1+𝑥)2=2.88，

解得：𝑥1=0.2=20%，𝑥2=−2.2（不合题意，会去）． 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%． (2)设该养老中心建成后能提供养老床位𝑦个， 由题意得：𝑦=𝑡+4𝑡+3(100−3𝑡) =−4𝑡+300(0≤𝑡≤30)， ∵ 𝑘=−4<0，

∴ 𝑦随𝑡的增大而减小，

当𝑡=10时，𝑦的最大值为−4×10+300=260（个）. 答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．

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