三角公式及推导(祥尽解释)

1-----引诱公式：

经常使用的引诱公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边不异的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈z)

引诱公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些引诱公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α响应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. （符号看象限）

上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限.

公式右侧的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平引诱名不变；符号看象限.

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也能够记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只要正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只不足弦是“＋”，其余全部是“－”．

公式七：额外的定义 2---同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 证实：

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考材料链接）

构造以\"上弦、中切、下割；左正、右余、两头1\"的正六边形为模型. （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积.（主如果两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此，可得商数关系式.

（3）平方关系：在带有暗影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于上面顶点上的三角函数值的平方.

3---两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————-- 1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 和差公式的证实：

(1) 两角差的余弦

令AO=BO=r A xArcos 点A的横坐标为 B (α-β yArsin 点A的纵坐标为β α β xBrcos β 点B的横坐标为 O C x y 点B的纵坐标为yBrsin AB2yAyBxAxB2222rsinrsinrcosrcosr2sin2r2sin22r2sinsinr2cos2r2cos22r2coscosr2sin2sin22sinsincos2cos22coscosr2sin2cos2sin2cos22sinsin2coscosr2112sinsincoscosr222sinsincoscos2r21sinsincoscos由余弦公

式可得：

综上得：cossinsincoscos

(2) 两角和的余弦 (3) 两角和的正弦 (4) 两角差的正弦 (5) 两角和的正切 (6) 两角差的正切

4---二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） 暗示一：sin2α＝2sinαcosα 证实：由于 sin(

+)=sin

=2cos+cossincossin

，令== ，

所以，可得：sin2角）

sin2cos

2

暗示二：（以正切暗示二倍= 1+tan22tan證明：sin2=2sincos

sin=2 cos

12tan =2tan() =余弦二倍角公式： 2

sec21+tan

1+tan2暗示一：

2tan21 tan2cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

证实：由于由和角公式：cos(== ，

所以，可得： cos2二：cos2cos2

2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α)

证实：由于由和角公式：tan(

1tan2= 1+tan2 +)=coscossinsin，令

=cos2sin2=2cos21=12sin2暗示證明：

2

1 =

1+tan2

1tan21 =

1+tan2

=2cos2

21 =sec2

tan+tan

+)=

1tantan= 12tantan2 ，tan2

，令== ，

所以，可得： tan2結論：利用tan可以將sin2

，cos2

暗示出來，

2tan= 1tan2

2tan

清算如下：(a) sin2= (b) cos2

1+tan2用三角形直观暗示如下：（图）

6---半角公式

1tan2= (c) tan21+tan2

1+tan222tan1tan2半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

或：sin^2(α/2)＝————— 2

1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2

1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα

7---全能公式 全能公式推导 附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （由于cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可.

同理可推导余弦的全能公式.正切的全能公式可通过正弦比余弦得到.

8---三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3sin3=sinsin = 3sin證明： cos3

=cos(

+2)=cos

1)1)1)3cos

= 3sin4sin3證明：cos2(2sin(1

+cossin2cos) = sin

(1

2sin2)+2sin

cos2 =

=sin(+2)=sin

(12sin2)+cos(1

2sin2)+2sin

sin2)

4sin3(b)cos3=4cos33cos

cos2sinsin2

)

=cos = cos = cos

(2cos2(2cos2(2cos2

sin(2sincos

2sin2cos2(1

cos2)cos

=4cos3

sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导： tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完以后还有“余”）

☆☆留意函数名，即正弦的三倍角都用正弦暗示，余弦的三倍角都用余弦暗示.

9---积化和差公式 积化和差公式推导 附推导：

首先,我们晓得sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还晓得cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 如许,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 也能够如许证：

10---和差化积公式 和差化积的公式推导：

好,有了积化和差的四个公式当前,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y暗示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

11---辅助角公式

asinbcosabsin()，其中

22tanba，的象限由a,b的符号确定.

12---任意三角形面积公式：

13---余弦定理：

任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边a b . 积的两倍之比

h

证实： d B c A 如Figure II,

C

（证完） 14---正弦定理

如 Figure III,

A

c为ΔABC外接圆的直径,

同理：

15---海式（任意三角形已知三边求面积） 证实

16---特殊的三角函数值（表） sin cos tan 000 1 0 1512 624 624 306 12 32 33 454 22 22 251+tan6075902tan3 12 2 32621 21 4 tan21620 2 4 23 1 3 23 N/A 17：其它一些恒等变换的有效公式：也必须熟记 (a)cos21=1

2sin

2

=cos2 (c)cos

2

sin2=2cos21=12sin2 (b) cos=2cos2

2

2

1+cos212

= ，sin=

2cos2

18：一些经常使用的2

高次方降次---有效的公式：

(a)sin4+cos4=(sin2

(b)sin6+cos6=(sin2sin

2

+cos2)22sin2cos2=12sin2cos2

+cos2)33sin2cos2( sin2+cos2

12= = (d)(sinsincossin2=1

sin2

)=1)2=

3

cos

2

(c)tan+cot

2sin

cos

cos

sin2+cos2

19：三角函数公式集中记忆表：

和差的三角函数 积化和差公式 sin()sincoscossin sincos1sin()sin()2 cos()coscossinsin tantantan()1tantan 倍角、半角的三角函数 将上面两式摆布两边分别相除，得：sin22sincos 证实： cos2cos2sin22cos2112sin2sin()sincoscossin① 2tansin()sincoscossin② tan221tan ①+②，得 1cos22cos12sin sinsin()sin()2sincos 222 11cos22sincossin()sin()cos2cos1 cos2 222 ①-②得： 1sin()sin()2 1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 cossin1costan21cos 2（证实：1cos22 1coscos22 1cos1cossintan=21cossin1cos sinsinsin()sin()2cossin 1cossinsin()sin()2 另两式证实方法不异. 和差化积公式 sinsin2sintan2 22cos21cossin2sincos22） 2全能公式 2sinsin证实： 22 sinsin2cossin22 coscos2coscos22 coscos2sinsin22 cossin()sincoscossin① sin()sincoscossin② ①+②，得 2tansin1tan2 1tan2cos1tan2 1costan221cos 三倍角公式 sin()sin()2sincos③ 2，则2，代人③式，得 令sinsin2sincos 2sin sin33sin4sin3 cos34cos33cos 3tantan3tan31tan2 2cos2.另三式