圆锥曲线中的最值和范围问题
一、【基础考点】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点:(1)圆锥曲线的定义和方程；
（2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程；
（3）a、b、c、p、e的几何意义及相关关系；（4）二次函数、均值不等式及导数的应用。基础训练：
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）
A. 6 B.7 C.8 D.93．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )A． B． C． D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）
(A) (B) (C) (D)5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于
A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 . 326．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )
（A）（－∞，0） （B）（－∞，2 （C）［0，2］ （D）（0，2）
二、【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最
值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
突破重难点
【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为： （x0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2
综上可知的最小值为2
【例2】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2=x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ② 将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，此时
【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【例3】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；
（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围．
答案：(1)设、、，则，由此及，得，即 （*）
①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．
②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．（2）设直线的方程：，据题意有，即．由得 ．
因为直线与椭圆有公共点，所以 又把代入上式得 ：．
【例4】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.
（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，∴ 即 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：① ②
③ ④ ⑤
而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB =（2）因S△OAB=,当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
【例5】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求的取值范围.
解：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以 ＝＝＝.由 ， 解得 ，所以 ，综上 .y
O
...
Mx
.
【例6】我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其
中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1） 若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．解：（1） ，，于是，
所求“果圆”方程为，． （2）设，则，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或
