圆锥曲线中的面积问题

圆锥曲线中的面积问题

一、基础知识：

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）

x2y2（1）椭圆：设P为椭圆221ab0上一点，且F1PF2，则

abSPF1F2b2tan2

x2y2（2）双曲线：设P为椭圆221a,b0上一点，且F1PF2，则

abSPF1F2b2cot2

二、典型例题：

2x例1：设F1,F2为椭圆y21的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点，

4当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1PF2的值等于___________

例2：已知点P是椭圆16x25y1600上的一点，且在x轴上方，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为43，则△PF1F2的面积是（ ）

A. 323 B. 243 C. 322 D. 242

22

2例3：已知F为抛物线yx的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

OAOB2，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C.

2例4：抛物线y4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴

172 D. 10 8上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则△AFK的面积是（ ） A. 4 B. 33 C. 43 D. 8

x2y21的顶点为焦点，例5：以椭圆焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为F1,F2，95已知点M的坐标为

2,1，双曲线C上点Px0,y0x00,y00满足

PF1MF1PF1F2F1MF1F2F1，则S△PMF1S△PMF2等于（ ）

A. 2 B. 4 C. 1 D. 1

x2y2例6：已知点P为双曲线221a0,b0右支上一点，F1,F2分别是双曲线的左

abb2右焦点，且F1F2，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1S△IPF2S△IF1F2成立，则a的值为（ ） A.

122 B. 231 C. 221 D. 21

3x2y2c例7：已知点A0,2，椭圆E:221ab0的为，F是椭圆E的右焦

2aba点，直线AF的斜率为（1）求E的方程

（2）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ面积最大时，求l的方程

23，O为坐标原点 3x2y2c1例8：已知椭圆C:221ab0的为，过右焦点F的直线l与C相交于A,Baba2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求椭圆C的方程

（2）若P,Q,M,N是椭圆C上的四点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且

2 2PFMF0，求四边形PMQN面积的最小值

例9：在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA （1）求点P的轨迹方程

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且PQOA，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足S标，若不存在，请说明理由。

例10：设抛物线y2x的焦点为F，过点M2PQM2SPAM？若存在，求出点P的坐

3,0的直线与抛物线相交于A,B两点，

与抛物线的准线相交于C,BF2，则BCF与ACF的面积

之比

SSBCFACF（ ）

A.

4241 B. C. D. 5372