劂锥曲线的定义揭示＿ｒ它们的几何本质属性，它是推导 ｆ ４ｘ（Ｏ≤ｘ＜３）， （ 方程或性质的依据，也是解题常用的一把钥匙．利用圆锥曲线 的定题能够捕捉题设信息同有的本质属性，有时能达到 【一１２（ｚ一４）（３≤ｚ＜４）。 ４．巧用定义研究圆锥曲线共同性质 例５过嘲锥 线的…个焦点Ｆ作 一化繁为简、 半功俯的效果． 学们在平时解题时往往习惯于 币ＩＪ朋方程或性质，而忽略＿『运用圆锥『｝Ｉｉ线的定义寻找解题途 经或绕过思维障碍． 此，注意研究圆锥曲线定义的有效运刖 灵活转化很有必要． Ｉ．巧用圆锥曲线的定义（以下简称定义）求离心率 一条弦ＡＢ，过Ｂ作ＢＣ平行于焦点所在 的轴，交相应准线ｆ于点Ｃ．ｆ上ｊ焦点所 在的轴交与点Ｅ．求证直线ＡＣ经过线段 ＥＦ的中点． 证明：如 ４，设直 ‘一 雷 成 国 王 ２ ．２ 例１ 没椭圆 ＋告一１（“＞６＞０）的右焦点为Ｆ，右准 口 线ＡＣ与焦点Ｆ所在轴 交于Ｍ点，过Ａ作ＡＤ ＿Ｌｚ于Ｄ，又由已知得 Ｆ ， 线为ｌ，若过Ｆ且垂直于 轴的弦ＡＢ的长等于Ｆ到ｌ的距 离，求该椭圆的离心率． 解：如陶１，过Ａ作ＡＣ上ｌ于 东 生 Ｃ，则由题意知ＩＡＣｌ—ＩＡＢｌ， 又‘ ｛ＡＢＩ一２ｌＡＦＩ，．‘．由椭圆 厂 ｌ— 、 ．ＢＣ上ｚ，南网锥曲线统 一＼ 图４ 定义得 ，＝ 的第二定义知 一 一专． ２．巧用定义求圆锥曲线有关最值 网１ ＩＢＦ Ｉ￣ＩＩＩＡＤ］．ＩＢＦＩ一｝ＢＣ１．ＩＡＦＩ． ‘．……………＿。 。ＡＤＩＥＦｌＢＣ， ｆ ＡＢ ｌ，’ 例２ 已知点Ａ（４，。）和＇Ｂ（２，２）在椭圆 ２＋寺２一ｌ内，Ｍ 是椭圆上的动点，试求ｆＭＡＩ＋ＩＭＢｌ的最大值和最小值． 解：由已知得点Ａ及Ｆ（一４，０）是椭圆的焦点，由椭圆定 义知ＩＭＡｌ一２ａ－－ｌ ＭＦ Ｊ，而ｎ＝５，则： ＭＡｆ＋ｌ ＭＢｌ一２ａ＋ＩＭＢ 的延长线与椭圆的焦点时，有： （Ｉ ． ￣Ｉ ＥＭＩ－－．丽Ｉ ＥＭＩ一 一］］ＢＦＩ一 ＩＡＤ ｌ Ｉ ＣＡ ｌ｝ ＡＢ ｌｌ・．丽ＩＦＭＩ一— ・ｆＦＭｌ一 一１ ＩＥＭＩ—ｔＦＭＩ，ＩＡＦＩ ’ —ｌ ＦＭ ｌ 一 ｌＢＣ ｌ．． ・ＭＦ｝一１０＋ｆＭＢｆ一｝ＭＦ ， 如图２，明显，当Ｍ为线段ＢＦ ｌ—ｌ ＭＦ１） 一ｌ ＦＢ ｌ一 故直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点． ５．巧用定某些代数或三角问题 例６ 解不等式ｌ￣—ｘ２－－２—ｘ＇＂４一，１，／—ｘ￣－－１０—ｘ＋２８ １＜２． 。。。＿＾。＿＿＇＿＿＿＿＿＿＿－＿－＿。。。。。。。＿●●＇。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－－－。。 ●。。。。。●。。。●＿＿＿＿＿＿＿一 蠢 ０ ． 图２ 解：原不等式可化为ｆ￣／（ｘ－－１）＋（ｏ－￣／３） 一 ￣／（ 一５）。＋（０一√３） ｆ＜２， 此式的几何意义是点Ｐ（ｘ，ｏ）到两定点Ａ（１，√３）和Ｂ（５， √ ）的距离之差的绝对值小于２．若等于２，则Ｐ在以Ａ、Ｂ为 焦点，且实半轴长为１的双曲线（ｘ－－３） 一 ：１上（见 当Ｍ为ＦＢ的延长线与椭圆的 交点时，有： 一 ＼ ＼ （１ＭＢｆ—ｌ １） 一～２ｖ／１ｏ． 故ｌ／ＶＩＡ１＋１ＭＢ１的最大值为１ｏ＋ ２，最小值为ｉ０－－ ２． ３．巧用定义求轨迹（方程） 例３ 已知Ｐ为椭圆上任意一点，Ｆ为椭圆的一个焦点， 求线段ＰＦ中点Ｍ的轨迹． 巧用圆锥曲线的定题 图４）．所以不等式的解集即为该双曲线与 轴交点之间的点 的横坐标．把 一０代人双曲线方程得ｚ一３士√２． 所以原不等式的解集为｛ｚｌ ３一 ＜－ｚ＜３＋ ）． 口 解：如图３，设椭圆的中心 为Ｏ，长轴长为２ｎ，Ｆ是其右焦 点，再取其左焦点 ，连接Ｐ 、 ＭＯ，则由椭圆定义知ｌ Ｐ ｌ＋ １ ３ 例７在△ＡＢｃ中，已知口一１０，ｆ—ｂ＝８，求证ｔａｎ 申掌生数理化．掌所版 ， ・ ｃｏ 一百‘ 证明：建立如图５所示坐标系． ． Ｂ ０ Ｈ ＪＰＦｌ＝２ａ．而ｆＭＯｌ一—去＿『Ｐ Ｉ， １ 故ｌＭＯｌ＋ＪＭＦｌ一＿去－（１Ｐ ｌ＋ ｎ一１０一ｌＢＣｌ，ｌＡＢ｛一ｌＡＣＩ—ｃ一６— 图３ ８，． ．由双曲线定义知。点Ａ（ ， ）在双 ／ 图５ ｌＰＦＩ）一口＞ｌＯＦＩ，所以又由椭圆定义知，Ｍ的轨迹是以（）、Ｆ为 焦点、长轴长为ｎ的椭圆． 例４ 已知动点Ｐ（ｘ，３，）到定点Ａ（１，Ｏ）与至ｑ定直线３７—３ 曲线嚣一等一１的有支上，由双曲线 焦半径公式的ＩＡＢ１一 ５ ｚ＋４１Ａｃ｝＝ ５ ｚ一４，．的距离之和为４，求Ｐ点的轨迹方程． 解：。．‘点Ｐ到定点Ａ（１，０）与定直线ｚ一３的距离之和为 一于是ｔａｎ导・ ．‘ ＣＯｔ 璺旦 …１＂＂ｃｏｓ１Ｃ ｓｉｎＢ…１－Ｉ－ｃｏｓＣ ２…１＂＂ｃｏｓ１Ｂ■ —ｓｉｎＣ…１．．ｃｏｓ１Ｂ 一 ４，． ．点Ｐ到定点Ａ（１，Ｏ）与定直线 一一１或定直线 ＝７的 距离相等．由抛物线定义可知，当 ｌ＜３时，轨迹为顶点在原 点，以Ａ（１。Ｏ）为焦点的抛物线的一部分，方程为ｙ。一４ｘ（Ｏ≤ ＜３）；当 ≥３时候，同样可得点Ｐ的轨迹方程为 一 一ｌ＋， ＡＣ ＡＣ ４１５一 ．５－１－。１ ｛｝ ４ －４．ｚ １ ｛ １ ５一Ｃ一 。 １＋ ～ｌＡＢｉ ＩＡＢＩ＋５＋ｚ 三ｚ＋４＋５＋ ４…～ 。９ １２（ 一４）（３≤ｚ＜４）．故所求点Ｐ的轨迹方程为ｙ 一 作者单位：湖南省嘉禾县第一中学
