全等三角形(辅助线)

类型一、巧引辅助线构造全等三角形 (1)．倍长中线法：

1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结

论.

AEFBDC

(答案与解析）BE＋CF＞EF；

证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG

∵D是BC中点∴BD＝CD 又∵DE⊥DF

EDED在△EDG和△EDF中EDGEDF

DGDF

∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF

CDBD在△FDC与△GDB中12

DFDG

∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF

(点评）因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，

△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.

举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．

求证：CD＝2CE．

(答案）证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF． ∵ EC为中线，∴ AE＝BE．

AEBE,在△AEC与△BEF中，AECBEF,∴ △AEC≌△BEF（SAS）．

CEEF,∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．

∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．

又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．

BFBD,在△FCB与△DCB中，FBCDBC,∴ △FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．

BCBC,(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．

(答案与解析）证明：在AB上截取AE＝AC．

AEAC(已作)，在△AED与△ACD中，12(已知)，∴ △AED≌△ACD（SAS）．

ADAD(公用边)，∴ ∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)． 又∵ ∠C＝2∠B ∴∠AED＝2∠B．

由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．∴ ∠B＝∠EDB． ∴ BE＝ED．即BE＝CD．∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．

(点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用

截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝

AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题． 举一反三：(变式）如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.

(1)求证：∠B与∠AHD互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.

(答案）证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.

∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD. ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD. ∵ HD＝DB, ∴ DB＝ MD. ∴ ∠DMB＝∠B.

∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180,∴ ∠AHD＋∠B＝180. 即 ∠B与∠AHD互补. C（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180.

H∵ ∠B＋2∠DGA ＝180,∴ ∠AHD＝2∠DGA. ∴ ∠AMD＝2∠DGM.

∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.

AM∴ ∠DGM＝∠GDM. ∴ MD＝MG.

∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM＋MG, ∴ AG＝ AH＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：

DGB3、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，

求证：MB－MC＜AB－AC．

(答案与解析）证明：因为AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．

在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．

ACAE(所作)，在△AMC和△AME中，CAMEAM(角平分线的定义)，

AMAM(公共边)，∴ △AMC≌△AME（SAS）．∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE＝AB－AE，∴ BE＝AB－AC，∴ MB－MC＜AB－AC．

(点评）因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，

显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键. 举一反三：(变式）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

(答案）

证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD

AEAC在△AED与△ACD中BADCAD

ADADA∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC 在△BED中，BE＞BD－DC B即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC

（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

EDC4、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．

求证：AF＝AD＋CF．

(答案与解析）

证明： 作ME⊥AF于M，连接EF．

∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠C＝∠D＝∠EMA＝90°． 又∵ ∠DAE＝∠FAE，∴ AE为∠FAD的平分线，∴ ME＝DE．

AEAE(公用边)，在Rt△AME与Rt△ADE中，

DEME(已证)，∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴ AD＝AM(全等三角形对应边相等)． 又∵ E为CD中点，∴ DE＝EC．∴ ME＝EC．

MECE(已证)，在Rt△EMF与Rt△ECF中，

EFEF(公用边)，∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴ MF＝FC(全等三角形对应边相等)． 由图可知：AF＝AM＋MF，∴ AF＝AD＋FC(等量代换)．

(点评）与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一

点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．

5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD

的延长线于E， AE1BD，求证：BD是∠ABC的平分线． 2(答案与解析）

证明：延长AE和BC，交于点F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD． 在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）． 形对应边相等）． AF，即AE=EF． BEF中，

则AF=BD（全等三角∵AE=

BD，∴AE=

在Rt△BEA和Rt△则Rt△BEA≌Rt△BEF

（SAS）．

所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．

(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使

问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法. 类型二、全等三角形动态型问题

6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，

垂足分别为E，F。

（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF。

（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.

(答案与解析）证明：（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。

AECCFB∵在△ACE和△CBF中，13

ACBC∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。 （2）①EF＝AE－BF，理由如下：

∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。

AECCFB∵在△ACE和△CBF中13∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF

ACBC∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。 ②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE证明同①. (点评）解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：

(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用； (2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；

(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化.

举一反三：(变式）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD

（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.

(答案）证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD＝AF，∠DAF＝90° ∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF

ABAC 在△ABD和△ACF中，BADCAF ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF

ADAF （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD＝CF 此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF

ABAC 在△ABD和△ACF中，BADCAF ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF

ADAF全等三角形全章复习与巩固（基础）

类型一、全等三角形的性质和判定

1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直

线上，连结DC．

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC⊥BE .

(答案与解析)

解：（1）△BAE≌△CAD 证明：

∠BAC＝∠EAD＝90°

∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE 即 ∠BAE＝∠CAD

又AB＝AC，AE＝AD， △ABE≌△ACD（SAS）

∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°

（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA,又∠COE＝∠AOD

则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 所以DC⊥BE.

(点评)△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，

通过导角可证垂直.我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.

举一反三：(变式)如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.

(答案)证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90° ∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.

DABEAC 在△DAB与△EAC中，ABAC∴△DAB≌△EAC （SAS） ∴BD＝CE.

BC类型二、巧引辅助线构造全等三角形 (1)．作公共边可构造全等三角形：

2、 如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D. (答案与解析)证明：连接AC，∵AD∥CB，AB∥CD. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

12 在△ABC与△CDA中ACCA ∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D

43(点评)∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.添加公

共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD.

举一反三：(变式)在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C (答案)证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中ABAC

ADAD

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠B＝∠C. (2)．倍长中线法：

3、

(点评)用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着

中点D旋转180°. 举一反三：(变式)若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( ) A.1 ＜x＜ 6 B.5 ＜x＜ 7 C.2 ＜x＜ 12 D.无法确定 (答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项. (3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：

4、在ΔABC中，AB＞AC.

求证：∠B＜∠C

(答案与解析)证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.

ACAE  在△ADC与△ADE中 CADEAD ∴△ADC≌△ADE（SAS） ∴∠AED＝∠C

ADAD ∵∠AED是△BED的外角， ∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形. (4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：

5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．

(答案与解析)

证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．

ACAE(所作)，在△AMC和△AME中，CAMEAM(角平分线的定义)，

AMAM(公共边)，

∴ △AMC≌△AME（SAS）．∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE＝AB－AE，∴ BE＝AB－AC，∴ MB－MC＜AB－AC．

(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜

BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.

类型三、全等三角形动态型问题

6、如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置

关系还成立吗？（注意字母的变化）

(答案与解析) 证明：（1）AC⊥CE．理由如下：

BCDE,在△ABC和△CDE中，BD90,∴ △ABC≌△CDE（SAS）．∴ ∠ACB＝∠E．

ABCD,又∵ ∠E＋∠ECD＝90°，∴ ∠ACB＋∠ECD＝90°．∴ AC⊥CE．

（2）∵ △ABC各顶点的位置没动，在△CDE平移过程中，一直还有ABCD，BC＝DE，∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴ 也一直有△ABC≌△CDE(SAS)．∴ ∠ACB＝∠E．而∠E＋∠ECD＝90°， ∴ ∠ACB＋∠ECD＝90°．故有AC⊥CE，即AC与BE的位置关系仍成立．

(点评)变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就

会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变．

举一反三：(变式)如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?

(答案)证明：∵∠BCA＝∠ECD， ∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，即∠BCE＝∠ACD

ACBC 在△ADC与△BEC中ACD=BCE∴△ADC≌△BEC(SAS) ∴BE＝AD．

CDCE 若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，因为还是可以通过SAS

证明△ADC≌△BEC.