2020-2021学年湖北省武汉市江夏区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖北省武汉市江夏区八年级（下）期末数

学试卷

题号 得分 一 二

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各数中不是无理数的是( )

三 四 总分 A. √2 B. 𝜋 C. 3√8 D. √8

2. 在函数𝑦=√1−5𝑥中，自变量x的取值范围是( )

A. 𝑥<5

1

B. 𝑥≤5

1

C. 𝑥>5

1

D. 𝑥≥5

1

3. 下图是甲，乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电

22

费支出的方差𝑠甲和𝑠乙的大小关系是( )

A. 𝑠甲>𝑠乙

22

B. 𝑠甲=𝑠乙

22

C. 𝑠甲<𝑠乙

22

D. 无法确定

4. 如图，四边形ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=2√10，𝐶𝐷=2√2，

𝐴𝐷=4，∠𝐴=90°，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为( )

A. 120° B. 105° C. 135° D. 125°

5. 给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

6. 平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线经过第一、二、三象限，若点(0,)，(−1,

)，(，−1)都在直线上，则下列判断正确的是( )

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A.

B.

C.

D.

7. 丽水市某一周每天的最高气温统计如下(单位：℃)：24，26，28，30，28，28，26，

则这组数据的众数与中位数分别是( )

A. 28，30 B. 28，28 C. 28，26 D. 26，28

𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=3，8. 如图，在矩形纸片ABCD中，折叠纸片使DA与对角线DB重合，

点A落在点𝐴′处，折痕为DE，则𝐴′𝐸的长是( )

A. 1

B. 3

4

C. 2

3

D. 2

9. 如图△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6，点E是AB中点，将△𝐶𝐴𝐸沿着直

线CE翻折，得到△𝐶𝐷𝐸，连接AD，则线段AD的长等于( )

A. 8

B. 5

32

C. 5

48

D. 10

10. 如图是某市一天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列说法错误的是( )

A. 这天15点时温度最高 B. 这天3点时温度最低

C. 这天最高温度与最低温度的差是14℃ D. 这天1点时温度是30℃

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

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11. 计算：(3√48−2√27)÷2√3=______．

12. 小丽平时测验成绩是95分，期中成绩是90分，期末成绩是

96分，根据如图中的权重，可得小丽的综合成绩为______．

13. 已知点(−4,𝑦1)，(2,𝑦2)都在直线𝑦 = −

𝑦1   𝑦2(填“<”、“>”、“=”)。  14. 如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，分别交边AB、AC于

点D、E，且DE将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两部分．把△𝐴𝐷𝐸沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，DF交BC于点G，EF交BC于点H，那么𝐷𝐸= ______ ．

15. 如图一小虫从P点出发绕边长为10cm的等边三角形ABC爬行一圈回到点P，在小

虫爬行过程中，始终保持与三角形ABC的边的距离是2cm，求小虫爬过的路径的长是 ．

𝐺𝐻

𝑥+2的图象上，则

16. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落

在BC边的中点E处，点A落在F处折痕为NM，则线段CN的长是______cm．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

1

17. (1)计算√3(√2+√3)−√24×√+|√6−3|

6

(2)解方程：𝑥2+6(𝑥+1)−13=0

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四、解答题（本大题共7小题，共.0分）

18. 某汽车经销商为了能更好的了解某季度纯电动汽车

的续航能力，现分两次不重复的各抽取了10台纯电动车进行了续航里程的测试．并将测试的情况进行整理、描述和分析(续航里程用x表示，共分成四组：(𝐴)100≤𝑥<200，(𝐵)200≤𝑥<300，(𝐶)300≤𝑥<400，(𝐷)𝑥≥400，单位：𝑘𝑚).下面给出了部分信息：

第一次抽取10台车的续航里程在C组中的数据是：380，310，300，310． 第二次抽取10台车的续航里程是：220，301，175，310，400，310，385，430，234，455．

第一次测试的续航里程扇形统计图如图 两次测试的续航里程统计表

平均里程 中位数 众数 第一次 321.4 c 310 第二次 b 310 310 根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述图表中a、b、c的值，𝑎=______，𝑏=______，c______． (2)根据以上数据，你认为这两次测试中的哪一次的纯电动汽车续航能力更强？请说明理由(一条理由即可)．

(3)若经销商这一季度共购进1600台纯电动汽车，结合这两次测试，估计这一季度续航能力较强(𝑥≥380)的纯电动汽车有多少辆？

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0，2的四个小球，−1，19. 一个不透明的口袋里装着分别标有数字−3，除数字不同外，

小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀．

(1)从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率；

(2)从中任取一球，将球上的数字记为x，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(𝑥,𝑦)所有可能的结果，并求点(𝑥,𝑦)在直线𝑦=−𝑥−1上的概率．

20. 如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑄，

使∠𝐵𝐴𝑄=90°，AQ：𝐴𝐵=3：4，作△𝐴𝐵𝑄的外接圆𝑂.点C在点P右侧，𝑃𝐶=4，过点C作直线𝑚⊥𝑙，过点O作𝑂𝐷⊥𝑚于点D，交AB右侧的圆弧于点𝐸.在射线CD上取点F，使𝐷𝐹=2𝐶𝐷，以DE，DF为邻边作矩形𝐷𝐸𝐺𝐹.设𝐴𝑄=3𝑥． (1)用关于x的代数式表示𝐵𝑄= ______ ，𝐷𝐹= ______ ．

(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．

(3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙𝑂于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．

3

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21. 五一期间，小刚一家早晨7：30点出发乘车去离家300公里的某景区旅游，他们离

家的距离𝑦(𝑘𝑚)与汽车行驶时间𝑥(ℎ)之间的函数图象如图所示． (1)求线段AB对应的函数解析式； (2)小刚一家上午10时离目的地多远？

22. 如图，已知⊙𝑂经过平行四边形ABCD的顶点A，B及对角线的交点M，交AD于

点E且圆心〇在AD边上，∠𝐵𝐶𝐷=45°．

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(1)求证：BC为⊙𝑂的切线；

(2)连接ME，若𝑀𝐸=√3−1，求⊙𝑂的半径．

23. 在四边形ABCD中，E为BC边中点．

(Ⅰ)已知：∠𝐴𝐸𝐷=90°，𝐴𝐹=𝐴𝐵． 如图1，若AE平分∠𝐵𝐴𝐷，点F为AD上一点，求证：(1)△𝐴𝐵𝐸≌AFE； (2)𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷；

(Ⅱ)已知：如图2，若AE平分∠𝐵𝐴𝐷，DE平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐸𝐷=120°，点F，G均为AD上的点，𝐴𝐹=𝐴𝐵，𝐺𝐷=𝐶𝐷． 求证：(1)△𝐺𝐸𝐹为等边三角形； (2)𝐴𝐷=𝐴𝐵+2𝐵𝐶+𝐶𝐷．

1

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24. 已知，如图，直线𝑙1的解析式为𝑦=𝑥+1，直线𝑙2的解析式为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)，

这两个图象交于y轴上一点C，直线𝑙2与x轴的交点为𝐵(2,0)． (1)求a、b的值；

N都位于x轴上方时，(2)过动点𝑄(𝑛,0)且垂直于x轴的直线与𝑙1、𝑙2分别交于点M、求n的取值范围；

(3)动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△𝑃𝐴𝐶为等腰三角形时，直接写出t的值．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、√2是无理数，故A错误； B、𝜋是无理数，故B错误； C、3√8=2是有理数，故C正确； D、√8=2√2是无理数，故D错误； 故选：C．

根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

本题考查了无理数的概念，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．

2.【答案】B

【解析】 【分析】

本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】 解：由题意，得 1−5𝑥≥0， 解得𝑥≤5， 故选：B．

1

3.【答案】A

【解析】 【分析】

本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键． 根据方差的定义即可得到结论． 【解答】

解：由折线统计图可以看出甲2019年上半年每月电费支出比乙2019年上半年每月电费支出的数据波动大，

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22

故𝑠甲>𝑠乙，

故选：A．

4.【答案】C

【解析】解：在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴=90°，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=4， ∴∠𝐴𝐷𝐵=45°，𝐵𝐷=4√2， ∵𝐵𝐶=2√10，𝐶𝐷=2√2， ∴𝐵𝐶2=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2=40，

根据勾股定理逆定理得△𝐵𝐷𝐶是直角三角形，∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐵𝐷𝐶=135°． 故选：C．

根据等腰直角三角形的性质得到∠𝐴𝐷𝐵=45°，根据勾股定理得𝐵𝐶2=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2，根据勾股定理逆定理得△𝐵𝐷𝐶是直角三角形，于是得到结论．

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

5.【答案】B

【解析】解：如图所示：

B，C为顶点能做三个平行四边形：以点A，▱ABCD，▱ABFC，▱AEBC． 故选：B．

只要将三角形的三边作为平行四边形的对角线作图，就可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理作图是解决问题的关键．

6.【答案】D

【解析】 【分析】

本题考查一次函数的图象用性质．根据一次函数图象经过第一、二、三象限，可确定𝑘>0，再根据一次函数性质，当𝑘>0时，y随x的增大而增大；当𝑘<0时，y随x的增大而减小．即可得出答案． 解：设直线的表达式为

直线经过第一、二、三象限，

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，

，函数值，

随的增大而增大． ，

故A项错误；

，

，

故B项错误；

， ，

故C项错误；

， ，

故D项正确． 选D．

7.【答案】B

【解析】解：∵28出现的次数最多， ∴众数为28．

将这组数据按照从小到大的顺序排列：24，26，26，28，28，28，30． 中位数为28． 故选B．

根据众数和中位数的定义求解即可．

本题属于基础题，主要考查的是众数和中位数的定义，

注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

8.【答案】C

【解析】 【分析】

此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．由在矩形纸片ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得𝐴′𝐵的长，然后设𝐴′𝐸=𝑥，由勾股定理即可得：𝑥2+4=(4−𝑥)2，解此方程即可求得答案． 【解答】

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解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝐴=90°，

∴𝐵𝐷=√𝐴𝐷2+𝐴𝐵2=5，

由折叠的性质，可得：𝐴′𝐷=𝐴𝐷=3，𝐴′𝐸=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴′𝐸=90°， ∴𝐴′𝐵=𝐵𝐷−𝐴′𝐷=5−3=2， 设𝐴′𝐸=𝑥，

则𝐴𝐸=𝑥，𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=4−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐴′𝐵𝐸中，𝐴′𝐸2+𝐴′𝐵2=𝐵𝐸2， ∴𝑥2+4=(4−𝑥)2， 解得：𝑥=2． ∴𝐴′𝐸=2． 故选：C．

3

3

9.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用所学知识解决问题．

延长CE交AD于F，连接BD，先判定△𝐴𝐵𝐶∽△𝐶𝐴𝐹，即可得到𝐶𝐹=6.4，𝐸𝐹=𝐶𝐹−𝐶𝐸=1.4，再依据EF为△𝐴𝐵𝐷的中位线，即可得出𝐵𝐷=2𝐸𝐹=2.8，最后根据∠𝐴𝐷𝐵=90°，即可运用勾股定理求得AD的长． 【解答】

解：如图，延长CE交AD于F，连接BD， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐵=10，

∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，CE为中线， ∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐶，

由折叠可得，𝐴𝐶=𝐷𝐶，𝐴𝐸=𝐷𝐸， ∴𝐶𝐸垂直平分AD，

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又∵∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=90°， ∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐶𝐴𝐹， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐴，即8=10， ∴𝐶𝐹=6.4，

∴𝐸𝐹=𝐶𝐹−𝐶𝐸=1.4， 又∵𝐸为AB的中点， ∴𝐸𝐹为△𝐴𝐵𝐷的中位线， ∴𝐵𝐷=2𝐸𝐹=2.8， ∵𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐷𝐸，

∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐷𝐵𝐸，

又∵∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐷𝐵𝐸=180°， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐵𝐷𝐸=90°，

∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=√102−2．82=48，

5故选C．

𝐶𝐹

𝐴𝐶

𝐶𝐹

8

10.【答案】D

【解析】解：由图象可得，

这天15点时温度最高，故选项A正确； 这天3点时温度最低，故选项B正确；

这天最高温度与最低温度的差是36−22=14(℃)，故选项C正确； 这天1点时的温度约是24℃，故选项D错误； 故选：D．

根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】3

【解析】解：原式=(12√3−6√3)÷2√3 =6√3÷2√3 =3． 故答案为：3．

直接化简二次根式进而利用二次根式的混合运算法则得出答案．

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此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

12.【答案】94.1分

【解析】解：小丽的综合成绩为95×10%+90×30%+96×60%=94.1(分)， 故答案为：94.1分．

根据加权平均数的定义列式计算可得．

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

13.【答案】>

【解析】

14.【答案】2−√2

【解析】解：

连接AF，交DE于M，交BC于N，

∵把△𝐴𝐷𝐸沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上， 𝐴𝐹⊥𝐵𝐶.𝐴𝑀=𝐹𝑀， ∵𝐷𝐸//𝐷𝐸

∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐹⊥𝐵𝐶，

∵𝐷𝐸将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两部分， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=2，

△𝐴𝐵𝐶

𝑆1

∴

𝐴𝑀𝐴𝑁𝐴𝑀

=

1√2，

∴𝑀𝑁=

1√2−1

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∴∴

𝐹𝑀𝑀𝑁𝐹𝑁𝐹𝑀

==

1√2−1，

=2−√2，

1−(√2−1)1

∵𝐵𝐶//𝐷𝐸， ∴△𝐹𝐻𝐺∽△𝐹𝐸𝐷， ∴

𝐺𝐻𝐷𝐸

=

𝐹𝑁𝐹𝑀

=2−√2．

故答案为：2−√2．

连接AF，交DE于M，交BC于N，根据把△𝐴𝐷𝐸沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上得出𝐴𝐹⊥𝐵𝐶.𝐴𝑀=𝐹𝑀，证△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，得出𝑆=𝐹𝑀

𝐹𝑁

1−(√2−1)1

𝐺𝐻

𝐹𝑁𝑆△𝐴𝐷𝐸

△𝐴𝐵𝐶

=2，求出=，求出𝐴𝑁√21𝐴𝑀1=2−√2，证△𝐹𝐻𝐺∽△𝐹𝐸𝐷得出𝐷𝐸=𝐹𝑀=2−√2．

本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

15.【答案】(30+4𝜋)𝑐𝑚

【解析】试题分析：小虫爬过的路径分为6个部分：与等边三角形平行且等于边长的三条线段，在每个三角形顶点以顶点为圆心、2cm为半径，圆心角为120°的三条弧，然后根据弧长公式计算即可．

小虫爬过的路径的长=10+10+10+故答案为(30+4𝜋)𝑐𝑚．

360⋅𝜋⋅2180

=(30+4𝜋)𝑐𝑚．

16.【答案】3

【解析】解：设𝐶𝑁=𝑥𝑐𝑚，则𝐷𝑁=(8−𝑥)𝑐𝑚，由折叠的性质知𝐸𝑁=𝐷𝑁=(8−𝑥)𝑐𝑚， 而𝐸𝐶=2𝐵𝐶=4𝑐𝑚，

在𝑅𝑡△𝐸𝐶𝑁中，由勾股定理可知𝐸𝑁2=𝐸𝐶2+𝐶𝑁2， 即(8−𝑥)2=16+𝑥2， 整理得16𝑥=48， ∴𝑥=3． ∴𝐶𝑁=3𝑐𝑚， 故答案为：3．

根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△𝐶𝐸𝑁中，若设𝐶𝑁=𝑥，则𝐷𝑁=𝑁𝐸=8−𝑥，𝐶𝐸=4𝑐𝑚，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．

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1

本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x的方程是解题的关键．

17.【答案】解：(1)原式=√6+3−2+3−√6．

=4；

(2)方程整理得：𝑥2+6𝑥−7=0 ∵𝑎=1，𝑏=6，𝑐=−7， ∵△=36+28=， ∴𝑥=

−6±√， 2

∴𝑥1=1，𝑥2=−7．

【解析】(1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； (2)利用公式法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】20 322 =305

【解析】解：(1)𝑎%=1−10×100%−30%−10%=20%， ∴𝑎=20； 𝑏=𝑐=

110

4

(220+301+175+310+400+310+385+430+234+455)=322；

=305；

300+310

2

故答案为：20，322，=305；

(2)第2次的纯电动汽车续航能力更强，理由：第二次的平均数大于第一次的平均数；

(3)1600×

3+420

=560(辆)，

答：估计这一季度续航能力较强(𝑥≥380)的纯电动汽车有560辆． (1)根据中位数和众数的定义即可得到结论；

(2)根据二次的平均数大于第一次的平均数进行判断即可； (3)利用样本估计总体思想求解可得．

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本题考查众数，中位数，平均数，读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

19.【答案】解：(1)∵共有4个数字，分别是−3，−1，0，2，其中是负数的有−3，−1，

∴所抽取的数字恰好为负数的概率是4=2； (2)根据题意列表如下：

2

1

−3 −1 0 2 −3 (−3,−3) (−1,−3) (0,−3) (2,−3) −1 (−3,−1) (−1,−1) (0,−1) (2,−1) 0 2 (−3,0) (−1,0) (0,0) (2,0) (−3,2) (−1,2) (0,2) (2,2) 所有等可能的情况有16种，其中点(𝑥,𝑦)在直线𝑦=−𝑥−1上的情况有4种，(−3,2)，(−1,0)，(0,−1)，(2,−3)，

则点(𝑥,𝑦)在直线𝑦=−𝑥−1上的概率是16=4．

【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

(1)四个数字中负数有2个，根据概率公式即可得出答案；

(2)根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出点(𝑥,𝑦)落在直线𝑦=−𝑥−1上的情况数，再根据概率公式即可得出答案．

4

1

20.【答案】5x 3x

【解析】解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑄中， ∵𝐴𝑄：𝐴𝐵=3：4，𝐴𝑄=3𝑥， ∴𝐴𝐵=4𝑥， ∴𝐵𝑄=5𝑥， ∵𝑂𝐷⊥𝑚，𝑚⊥𝑙， ∴𝑂𝐷//𝑙， ∵𝑂𝐵=𝑂𝑄，

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∴𝐴𝐻=𝐵𝐻=2𝐴𝐵=2𝑥， ∴𝐶𝐷=2𝑥， ∴𝐹𝐷=𝐶𝐷=3𝑥，

23

1

故答案为：5x，3x；

(2)∵𝐴𝑃=𝐴𝑄=3𝑥，𝑃𝐶=4， ∴𝐶𝑄=6𝑥+4，

作𝑂𝑀⊥𝐴𝑄于点M，如图1，

∴𝑂𝑀//𝐴𝐵，

∵⊙𝑂是△𝐴𝐵𝑄的外接圆，∠𝐵𝐴𝑄=90°， ∴点O是BQ的中点，

3

∴𝑄𝑀=𝐴𝑀=𝑥

2

∴𝑂𝐷=𝑀𝐶=2𝑥+4， ∴𝑂𝐸=𝐵𝑄=𝑥，

2

2

1

59

∴𝐸𝐷=2𝑥+4，

𝑆矩形𝐷𝐸𝐺𝐹=𝐷𝐹⋅𝐷𝐸=3𝑥(2𝑥+4)=90， 解得：𝑥1=−5(舍去)，𝑥2=3， ∴𝐴𝑃=3𝑥=9；

(3)连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得𝑁𝑄=2，如图2，

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过点B作𝐵𝑀⊥𝐸𝐺于点M， ∵𝐺𝑀=𝑥，𝐵𝑀=𝑥 ∴∠𝐺𝐵𝑀=45°， ∴𝐵𝑀//𝐴𝑄， ∴𝐴𝐼=𝐴𝐵=4𝑥， ∴𝐼𝑄=𝑥， ∴𝑁𝑄=

𝑥√2=2，

∴𝑥=2√2， ∴𝐴𝑃=6√2．

(1)由AQ：𝐴𝐵=3：4，𝐴𝑄=3𝑥，易得𝐴𝐵=4𝑥，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得𝐴𝐻=𝐵𝐻=2𝐴𝐵，求得CD，FD；

(2)利用(1)的结论，易得CQ的长，作𝑂𝑀⊥𝐴𝑄于点M，则𝑂𝑀//𝐴𝐵，由垂径定理得𝑄𝑀=𝐴𝑀=𝑥，由矩形性质得𝑂𝐷=𝑀𝐶，利用矩形面积，求得x，得出结论；

23

1

(3)连接NQ，𝐺𝑀=𝑥，由点O到BN的弦心距为l，得𝑁𝑄=2，过点B作𝐵𝑀⊥𝐸𝐺于点M，𝐵𝑀=𝑥，易得∠𝐺𝐵𝑀=45°，𝐵𝑀//𝐴𝑄，易得𝐴𝐼=𝐴𝐵，求得IQ，由NQ得AP． 本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．

21.【答案】解：(1)设线段AB对应的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，

把𝐴(1,60)、𝐵(3,260)分别代入， 60=𝑘+𝑏𝑘=100得{，解得{， 260=3𝑘+𝑏𝑏=−40

∴设线段AB对应的函数解析式为𝑦=100𝑥−40(1≤𝑥≤3)． (2)当𝑥=10−7.5=2.5时，

𝑦=100𝑥−40=100×2.5−40=210， 即此时距家210 𝑘𝑚， ∴300−210=90(𝑘𝑚)，

答：小刚一家上午10时离目的地90km．

【解析】从图中可以直接看出A、B两点坐标，利用待定系数法可求线段AB对应的函数解析式，而上午10时，也就是小刚离开家2.5小时时，离开家的距离可通过线段AB对应的函数解析式来计算，从而计算出剩余距离．

此题是利用函数图象来解决实际问题的题型，主要考查学生的看图能力和数形结合的数

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学思想，求线段AB对应的函数解析式和运用解析式是解决问题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接OB，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=45°， ∴∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐷𝑂𝐵+∠𝑂𝐵𝐶=180°， ∴∠𝑂𝐵𝐶=90°， ∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐶， ∴𝐵𝐶为⊙𝑂切线； (2)解：连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐵𝑀=𝐷𝑀， ∵∠𝐵𝑂𝐷=90°， ∴𝑂𝑀=𝐵𝑀， ∵𝑂𝐵=𝑂𝑀， ∴𝑂𝐵=𝑂𝑀=𝐵𝑀， ∴∠𝑂𝐵𝑀=60°， ∴∠𝐴𝐷𝐵=30°，

连接EM，过M作𝑀𝐹⊥𝐴𝐸于F， ∵𝑂𝑀=𝐷𝑀，

∴∠𝑀𝑂𝐹=∠𝑀𝐷𝐹=30°， 设𝑂𝑀=𝑂𝐸=𝑟， ∴𝐹𝑀=𝑟，𝑂𝐹=√3𝑟，

2

2

1

∴𝐸𝐹=𝑟−

√3

𝑟， 2

∵𝐸𝐹2+𝐹𝑀2=𝐸𝑀2， ∴(𝑟−

√3

𝑟)22

+(2𝑟)2=(√3−1)2，

1

解得：𝑟=1(负值舍去)， ∴⊙𝑂的半径为1．

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【解析】(1)连接OB，根据平行四边形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=45°，根据圆周角定理得到∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐵𝐴𝐷=90°，根据平行线的性质得到𝑂𝐵⊥𝐵𝐶，即可得到结论； (2)连接OM，根据平行四边形的性质得到𝐵𝑀=𝐷𝑀，根据直角三角形的性质得到𝑂𝑀=𝐵𝑀，求得∠𝑂𝐵𝑀=60°，于是得到∠𝐴𝐷𝐵=30°；连接EM，过M作𝑀𝐹⊥𝐴𝐸于F，根据等腰三角形的性质得到∠𝑀𝑂𝐹=∠𝑀𝐷𝐹=30°，设𝑂𝑀=𝑂𝐸=𝑟，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

23.【答案】(Ⅰ)证明：(1)如图1中，

∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐸， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐹𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐹

{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐸， 𝐴𝐸=𝐴𝐸

∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)， (2)∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，𝐵𝐸=𝐵𝐹， ∵𝐴𝐸平分BC， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐸， ∴𝐹𝐸=𝐶𝐸，

∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐷𝐸𝐹=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐷𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐶， 在△𝐷𝐸𝐹和△𝐷𝐸𝐶中，

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𝐹𝐸=𝐶𝐸

{∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐶， 𝐷𝐸=𝐷𝐸

∴△𝐷𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐶， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐹+𝐷𝐹， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷；

(Ⅱ)证明：(1)如图2中，

∵𝐸是BC的中点， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐸=𝐵𝐶，

21

同(1)得：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)，△𝐷𝐸𝐺≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐹𝐸，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，𝐶𝐸=𝐸𝐺，∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐺𝐸𝐷， ∵𝐵𝐸=𝐶𝐸， ∴𝐸𝐹=𝐸𝐺，

∵∠𝐴𝐸𝐷=120°，∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐶𝐸𝐷=180°−120°=60°， ∴∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐺𝐸𝐷=60°， ∴∠𝐹𝐸𝐺=60°， ∴△𝐹𝐸𝐺是等边三角形．

(2)由(1)可知𝐹𝐺=𝐺𝐸=𝐸𝐹=2𝐵𝐶， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐺+𝐺𝐻+𝐻𝐷， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷+2𝐵𝐶．

【解析】(1)如图1中，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)，得出∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，𝐵𝐸=𝐵𝐹，再证明△𝐷𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)，得出𝐷𝐹=𝐷𝐶，即可得出结论；

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1

1

(2)如图2中，同(1)得：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)，△𝐷𝐸𝐹≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出𝐵𝐸=𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，𝐶𝐸=𝐸𝐹，∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐹𝐸𝐷，证明△𝐸𝐹𝐺是等边三角形，得出𝐹𝐺=𝐺𝐸=𝐸𝐹=2𝐵𝐶，即可得出结论．

本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

1

24.【答案】解：(1)∵点C是直线𝑙1：𝑦=𝑥+1与y轴的交点，

∴𝐶(0,1)， ∵点C在直线𝑙2上， ∴𝑏=1，

∴直线𝑙2的解析式为𝑦=𝑎𝑥+1， ∵点B在直线𝑙2上， ∴2𝑎+1=0， ∴𝑎=−2；

(2)由(1)知，𝑙1的解析式为𝑦=𝑥+1，令𝑦=0，得𝑥=−1， 由图象知，点Q在点A，B之间，

∴−1<𝑛<2;

(3)如图，

∵△𝑃𝐴𝐶是等腰三角形，

∴①点x轴正半轴上时，当𝐴𝐶=𝑃1𝐶时， ∵𝐶𝑂⊥𝑥轴， ∴𝑂𝑃1=𝑂𝐴=1，

∴𝐵𝑃1=𝑂𝐵−𝑂𝑃1=2−1=1， ∴1÷1=1𝑠，

②当𝑃2𝐴=𝑃2𝐶时，易知点𝑃2与O重合， ∴𝐵𝑃2=𝑂𝐵=2， ∴2÷1=2𝑠，

③点P在x轴负半轴时，𝐴𝑃3=𝐴𝐶， ∵𝐴(−1,0)，𝐶(0,1)， ∴𝐴𝐶=√2， ∴𝐴𝑃3=√2，

∴𝐵𝑃3=𝑂𝐵+𝑂𝐴+𝐴𝑃3=3+√2或𝐵𝑃3=𝑂𝐵+𝑂𝐴−𝐴𝑃3=3−√2，

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1

∴(3+√2)÷1=(3+√2)𝑠，或(3−√2)÷1=(3−√2)𝑠， 即：满足条件的时间t为1s，2s，或(3+√2)或(3−√2)𝑠．

【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，分类讨论的思想，解(1)的关键是求出点A的坐标，解(2)的关键是借助图象确定出点Q在点A和点B之间，解(3)的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道常规题．

(1)先确定出点C的坐标，进而求出b，再将点𝐵(2,0)代入直线𝑙2的解析式中即可求出b； (2)先确定出点A的坐标，根据题意即可得出n的范围； (3)分三种情况讨论计算即可得出结论．

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