锐角三角函数的难题汇编附答案

锐角三角函数的难题汇编附答案

一、选择题

1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（ ）

A．43 B．12﹣43 C．12﹣63

D．63 【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠

EDF＝60°，进而可得出答案．

【详解】

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，

∴BC＝AC＝122．

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝

1222122

CM＝BM＝12，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴MD＝BM÷tan60°＝43，

∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43．

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tanABC（ ）

3A．9 3B．6

3C．3 3D．2 【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用

tanABCECBE 得出答案．

【详解】

解:连接DC，交AB于点E．

由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,

x=3x设EC=x,则EF=tan30,

∴BFAF2EF23x

tan∠ABCECx13BE23x3x339,

故选:A

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．

3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）

1000B．1000tan米 C．tan米

1000D．sin米

A．1000sin米

【答案】C

【解析】

【分析】

ACAB，即可解决问

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据题．

tan【详解】

解：在RtABC中，∵CAB90，B，AC1000米，

ACAB，

∴

tan∴

ABAC1000tantan米．

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40，若DE55米，DECE，CE36米，CE平行于AB，BC的坡度为i1:0.75，坡长BC140米，则AB的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin400.，cos400.77，tan400.84）

A．78.6米 B．78.7米

C．78.8米

D．78.9米

【答案】C

【解析】

【分析】

如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG求AG的长，进而得到AB的长度

【详解】

如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G

∵BC的坡度为1:0.75

∴设CF为xm，则BF为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt△BCF中，

x20.75x14022，解得：x=112

∴CF=112m，BF=84m

∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG是直角三角形

∵DE=55m，CE=FG=36m

∴DG=167m，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40°

DG1670.84∴tan40°=AGy120

解得：y=78.8

故选：C

【点睛】

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.

5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）

5A．3 3B．5 2C．2 2D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEFAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BEDCDF，设CD1，CFx，则CACB2，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF是△AEF翻折而成，

∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，

∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，

∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2＝DF2，

即x2+1＝（2﹣x）2，

解得：

x34，

sinBEDsinCDFCF3DF5．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

6．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45，向前走6m到达B点， 测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30，则该电线杆PQ的高度（ ）

A．623 B．63

C．103 D．83

【答案】A

【解析】

【分析】

延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．

【详解】

解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．

在直角△APE中，∠A=45°，

AE=PE=x；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

33在直角△BPE中，BE=3PE=3x，

∵AB=AE-BE=6米，

3则x-3x=6，

解得：x=9+33．

则BE=33+3．

33在直角△BEQ中，QE=3BE=3（33+3）=3+3．

∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23．

答：电线杆PQ的高度是（6+23）米．

故选：A．

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.

7．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡

AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．

A．15－53 B．20－103

C．10－53 D．53－5

【答案】A

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．

【详解】

解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．

在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

∴AM＝AB•cos30°＝53（米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．

在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，

∴DE＝AE•tan60°＝103（米）．

在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋53（米），∠CBN＝45°，

∴CN＝BN•tan45°＝10＋53（米），

∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋53＋5−103＝15−53（米）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．

8．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设OA1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87，

cos450.71．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）

A．30

B．50

C．40

D．20

【答案】D

【解析】

【分析】

根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.

【详解】

从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos200.94，

∴余弦值最接近0.94的是20，

故选：D.

【点睛】

此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.

9．如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径是4，线段AC的长是（ ）．

sinB14，则

3C．2

A．2 B．4 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

1连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝4，

然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．

【详解】

连结CD，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90，

∵∠D＝∠B，

1∴sinD＝sinB＝4，

1AC在Rt△ACD中，∵sinD＝AD＝4，

11∴AC＝4AD＝4×8＝2．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

10．如图，ABC中，ACB90，O为AB中点，且AB4，CD，AD分别平分

ACB和CAB，交于D点，则OD的最小值为（ ）．

2B．2

A．1 C．21 D．222

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO最小时，DO为三角形ABC内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．

【详解】

解： CD，AD分别平分ACB和CAB，交于D点，

∴D为ABC的内心，

OD最小时，OD为ABC的内切圆的半径，

DOAB,

过D作DEAC,DFBC, 垂足分别为E,F,

DEDFDO,

 四边形DFCE为正方形，

O为AB的中点，AB4,

AOBO2,

由切线长定理得：AOAE2,BOBF2,CECFr,

ACBCAB•sin4522,

CEACAE222,

四边形DFCE为正方形，

CEDE,

ODCE222,

故选D．

【点睛】

本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．

11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为

i1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建

筑物底端E的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据：31.73,sin370.60，

cos370.80,tan370.75)（ ）

A．23.0米 B．23.6米

C．26.7米

D．28.9米

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．

【详解】

如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，

∵沿着坡度为i1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，

BN1∴AN2.4，

∴AN=2.4BN，

∴BN2+（2.4BN）2=262，

解得：BN=10（负值舍去），

∴CN=BN+BC=11.6，

∴ME=11.6，

∵∠MCE=30°，

ME∴CM=tan30=11.63，

∵∠DCM=37°，

∴DM=CM·tan37°=8.73，

∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )

53532 B．42 A．4C．23 D．

432

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.

【详解】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，

则有AD=2AH，∠AHO=90°，

BC23在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=AB233，

∴∠A=30°，

133332222，∠BOC=2∠A=60°， ∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=∴AD=2AH=3，

113603232322360∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=22532， =4故选A.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

13．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）

3A．13

5B．13

5C．12 12D．13

【答案】C

【解析】

【分析】

1Slr2先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式

可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.

【详解】

解：∵圆锥底面周长为2510，

且圆锥的侧面积为60π，

2601210∴圆锥的母线长为，

5∴sinθ=12.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）

A．﹣3 B．﹣23 C．﹣33 D．﹣43

【答案】B

【解析】

【分析】

b2bb2,根据已知求出B（﹣2a4a），由△AOB为等边三角形，得到4a＝tan60°×（﹣b2a），即可求解；

【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，

∴c＝0，

bb2,B（﹣2a4a），

∵△AOB为等边三角形，

b2b∴4a＝tan60°×（﹣2a），

∴b＝﹣23；

故选B．

【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若ADCD23．则BC的长为( )

A．32B．3

3C．3 23D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂径定理得到CEDE3，BCBD ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.

【详解】

如图：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，ADCD23，

∴CEDE3，BCBD ，∠A=30°，

∴∠DOE=60°，

DE2sin60∴OD=，

6022BC1803， BD∴的长=的长=

故选：B.

【点睛】

此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.

16．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 B．3 C．2 1D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.

【详解】

连接OA，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵PA是圆的切线，

∴∠PAO=90°，

PA∵tan∠AOC =OA,

∴PA= tan60°×1=3.

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.

17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（ ）

A．a•tanα B．a•cotα C．a•sinα D．a•cosα

【答案】B

【解析】

【分析】

画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】

如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，

ACBC，

∵cotα

∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，

故选：B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ）

3D．4

4A．5 3B．5 4C．3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

22ACBC由勾股定理，得AB==5

AC3cosA=AB=5

故选：B．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

19．把RtABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（ ）

1B．缩小为原来的3 C．扩大为原来的9倍

A．扩大为原来的3倍 D．不变

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，

则所得的三角形与原三角形相似，

∴锐角A的大小不变，

∴锐角A的余弦值不变，

故选：D．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

20．如图，在矩形ABCD中，AB4,DEAC，垂足为E，设ADE，且

cos35，则AC的长为（ ）

16B．3

20C．3

16D．5

A．3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．

【详解】

解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

AB33∵cosα=5，AC5，

52043． ∴AC=3故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．