安徽科技学院学报，２０１６，３０（２）：３２～３８ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ 圆环形薄板大挠度变形有限元分析比较研究 陈杰平，李进，乔印虎 （安徽科技学院摘机械工程学院，安徽凤阳２３３１００） 要：环形薄板是汽车减振器中的一个重要零件，属于典型的大挠度非线性变形，传统的计算方法要么 产生误差较大，或者计算繁琐不利于工程应用。本文借助于现代分析软件，利用有限元分析方法对汽车减 振器中不同规格环形薄板的大挠度变形情况进行了研究。根据ｙｏｎ Ｋｄｒｍｄｎ提出的微分方程，结合钱氏摄 动法给出了求解大挠曲变形的解析表达式，拟合出了解析式中的待定系数的数学表达式，并针对固定半径 比、内／外径等不同情况进行了计算分析和误差比较。数值计算证明，使用的方法合理可靠，求解精度高、 简单快捷实用，误差在３％以下，完全可以满足工程设计分析的需要。 关键词：圆环薄板；大挠度变形；有限元；钱氏摄动法 中图分类号：Ｕ４６１．４；Ｕ４６７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—８７７２（２０１６）０２—００３２—０７ Ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｌａｒｇｅ Ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｉｒｃｕｌａｒ Ｔｈｉｎ Ｐｌａｔｅｓ ＣＨＥＮ Ｊｉｅ—ｐｉｎｇ，ＬＩ Ｊｉｎ，ＱＩＡＯ Ｙｉｎ—ｈｕ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ａｎｈｕｉ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｅｎｇｙａｎｇ ２３３１００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｎｕｌａｒ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ ａｕｔｏｍｏｂｉｌｅ ｓｈｏｃｋ ａｂｓｏｒｂｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｂｅｌｏｎｇｓ ｔｏ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｎｏｎ— ｌｉｎｅａｒ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ．Ｔｒａｄｉｉｔｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｌｌ ｃａｕｓｅ ｌａｒｇｅ ｅｌｒｏｒｓ，ｏｒ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｃａｌ— ｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｌｙ．Ｗｉｈ ｔｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ａｎｄ ｍｏｄｅｍ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆｓｔｗａｒｅ．ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｓｈｏｃｋ ａｂｓｏｒｂｅｒｓ ｓｐｅｃｉｉｆｃａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｕｓｉｎｇ ｈｅ ｍｅｔｔｈｏｄ ｏｆ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｙｏｎ Ｋ（ｍｎｒｎ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌ ａｅｑｕａｔｉｏｎ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｈ ｔＣｈｉｅｎ ｐｅｒ－ ｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗｅｒｅ ｂｅｅｎ ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｕｔ．Ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ｆｉｘｅｄ ｒａｄｉａｌ ｒａｔｉｏ，ｏｒ ｉｎｎｅｒ／ｏｕｔ— ｓｉｄｅ ｄｉａｍｅｔｅｒ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｎａａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｌｌ＇Ｏｒ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｅｒｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｈｅ ｍｅｔｔｈｏｄ ｉｓ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ａｎｄ ｒｅｌｉａｂｌｅ，ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｑｕｉｃｋ，ｗｉｔｈ ａｎ ｅｌｒｏｒ ｂｅｌｏｗ ３％，ａｎｄ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｉｓ ｈｉｇｈｅｒ，ｗｈｉｃｈ Ｃａｎ ｍｅｅｔ ｗｉｈ ｔｔｈｅ ｎｅｅｄｓ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｉｒｃｌｅ ｔｈｉｎ ｐｌａｔｅ；Ｌａｒｇｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ；Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ；Ｃｈｉｅｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ 汽车减振器是汽车悬架中的重要零部件之一，其工作原理是利用活塞和底阀上的阀片式节流阀产生 的节流缝隙而产生阻尼减振作用，圆环形阀片的最大挠度变形量直接决定减振器工作性能，影响车辆平顺 性和操纵稳定性。减振器阀系设计一直是困扰减振器设计的关键问题…。目前，国内、外还没有准确、可 靠的设计方法 引，大都是利用经验确定设计参数 、经过反复试验和修改来完成设计参数的确定。因 收稿日期：２０１５—１２—１Ｏ 基金项目：安徽省优秀青年基金重点项目（２０１３ＳＱＲＬ０６２ＺＤ）；安徽科技学院青年基金（ＺＲＣ２０１３３３７），安徽科技学院重点建设学科 （ＡＫＺＤＸＫ２０１５Ｃ０３）。 作者简介：陈杰平（１９６３一），男，河南省巩义市人，博士，教授，主要从事机械ＣＡＤ和控制研究。 第３０卷第２期 陈杰平，等 圆环形薄板大挠度变形有限元分析比较研究 ３３ 此，对环形节流阀片挠曲变形进行高精度计算具有重要意义 Ｊ。 由于减振器环形阀片的厚度ｈ远小于半径ｒ，属于环形薄板情况，需要使用弹性力学的薄板理论计 算，其挠曲变形主要由基于小挠曲和大挠曲两种理论，针对小挠曲变形的研究已经比较深入和成熟 －１０］。 由于按照小挠度弹性变形的方法进行分析计算简单和便捷¨卜也Ｊ，在工程设计实际应用中得到了广泛应 用。但实践证明，减振器环形阀片的工作状况大多都属于大挠度变形，是一个典型的非线性问题，按照小 挠曲理论或经验公式ｕ 计算的挠度值与实际挠度值差异较大，不能满足产品开发和优化设计要求。但 环形薄板的大挠度变形的精确解求解较为困难，钱伟长先生提出了钱氏摄动法进行大挠度变形的求解，可 以达到很高的精度¨ ，但由于其方法的繁琐了在工程上应用。 本实验在对环形薄板的挠曲变形进行了认真分析和比较基础上，采用摄动法与有限元数值解法相结 合，拟合得到变形解析式来进行环形薄板大挠曲变形设计计算，并对拟合精度进行了验证，探索一种便于 工程应用的方法和途径。 １ 圆环薄板的挠曲数学模型建立 １．１力学模型 汽车减振器中的环形阀片工作为轴对称结构，可简化为内边缘固定夹紧，在均布压力ｑ作用下外边缘可 以自由发生挠曲的力学结构。假设外圆半径为ａ、内圆半径为ｂ，可建立如图１所示坐标系下的力学模型。 …川… 图１环形阀片的力学模型 Ｆｉｇ．１ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｃｉｒｃｕｌａｒ ｓｌｉｃｅ—ｐｌａｔｅ １．２圆环薄板的ｖｏｎ Ｋ６ｒｍ６ｎ数学模型 针对以上环形阀片轴对称形式的力学模型，１９１０年ｙｏｎ Ｋ６ｒｍｄｎ提出的非线性微分方程表达式如下： ｆＹ ｎ－￣－２－￣Ｐ（Ｙ）＝‘Ｐ（ｙ）ｓ（ｙ）＋ｙ２ （ｙ） ｛ －ｊ ２ Ｙ ｓ（ｙ）＝一÷‘Ｐ （ｙ） ， ｐ＜Ｙ＜１ （１） ｐ＝ 言 ｙ ，Ｗ＿ Ｒ＝Ｂ 订』：ｑｄｙ 其中：ａ——圆环薄板外径（ｍｍ） ’Ｓ（ ３（１＿ｖ ）器 ）＝ ， ｂ——圆环薄板内径（ｍｍ） ｖ——材料的泊松比 Ｅ——弹性模量（Ｐａ） ｈ——圆环薄板的厚度（ｍｍ） ｗ——薄板的挠度（ｍｌｎ） ｑ——薄板上作用的分布载荷（Ｐａ） Ｎ一薄板的径向薄膜张力（Ｎ） 第３０卷第２期 陈杰平，等圆环形薄板大挠度变形有限元分析比较研究 ３５ 表１不同网格密度圆环的最大挠曲变形值 Ｔａｂｌｅ １ Ｍａｘｉｍｕｍ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｇｒｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｒｉｎｇｓ 言曼 翠 Ｏ ０ Ｏ ０ Ｏ Ｏ Ｏ ０ Ｏ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ 船心乱弘药娼 弘 将表１按序号和挠度为坐标绘制曲线，如图４所示。可以看出，在序号４（即当周向单元为４Ｏ、径向单 元达到ｌＯ以上）时，即可得到较高的求解精度。 ０ １ ２ ３ ４ ｂ ， 网格密度序号 图４不同网格划分边缘挠度 Ｆｉｇ．４ ｅｄｇｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｓｈ ２．２ 曲线拟合 为进行有限元数值实验，定义Ｂ＝ｂ／ａ为环形阀片内外半径之比。考虑到阀片实际几何尺寸及材料特 性，令ｈ＝Ｏ．３ ｍｎｌ，Ｅ＝２１０ ＧＰａ， ＝０．３，ｑ＝１．０ＭＰａ。对于轿车减振器来说，环形阀片圆环内圆半径一般为５ ～８ｍｍ，外圆半径处于８．５～１５之间，即Ｂ一般位于０．３５—０．７５之间。可根据不同的ｐ取值来确定外径，然 后按照１４ ｘ４０ Ｑｕａｄ—Ｄｏｎｉｎａｔｅｄ划分网格，利用有限元分析确定环形阀片外边缘处挠度，如表２。 表２不同内外径比最大挠曲值 Ｔａｂｌｅ ２ Ｍａｘｉｍｕｍ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ Ｉ／Ｏ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｒａｔｉｏ 将表２中得到的同一Ｂ值下的两个挠度值代人式（４），即可确定待定系数 、 ，见表３。 ３６ 安徽科技学院学报 表３待定系数 Ｔａｂｌｅ ３ Ｕｒｌｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ２０１６芷 根据以上得到的待定系数值，可以确定采用Ｒａｔｉｏｎａｌ待定系数拟合公式分别为： ｊｆ、入 —ｅ １ ｐ ＋ｃ２ｐ＋ｃ３ 。Ｉ３５＜ｐ＜。．７５ ．、 ｋ１ Ｂ ＋ｋ２ｐ＋ｋ３ 。 （５） 【＾ 一ｐ ＋１１ ｐ＋１２ 其中：Ｃ１＝３．２５８、Ｃ２＝一１．０５４、ｃ１＝０．６１３９、ｄ１＝ 一１．６９２、ｄ２＝０．７２０６；。ｌ＝２５５．５、ｅ２＝一２１７．９、 ３＝ １５７．５、１１＝一１１７６、１２：８９３．１。 。和 ：拟合曲线如下图所示： １２ ， １２０ １∞ …… ， １０ Ｌ 拟台曲线１ ８ ８０ ０分析值 Ｉ ｆ ｆ６ ∞ ｊ ４０ ／ ／ ４ ／ ２Ｏ ｈ一一 Ｐ一｛ ／／／ ｜ ２ ０一一 一 ／。 ０．５ ０ Ｏ．５ Ｏ １３ １３ 图５ ｔ和 拟合曲线 ｂ． ２ ａ． ｌ Ｆｉｇ．５ Ｆｉｔｔｉｎｇ Ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｌ ａｎｄ ２ ３验证比较 为验证解析解的正确性，结合前述汽车减振器阀片参数，保持材料特性及薄板厚度ｈ＝０．３ ｍｍ，Ｅ＝ ２１０ ＧＰａ、 ＝０．３、ｑ＝１．０ Ｍｐａ不变，分别在不同情况下下进行有限元分析并与数值解比较验证。 （１）环形阀片的结构参数及为ｆｌ＝１１ ｍｌｎ，ｂ＝５ ｍｉｌｌ，可知其ｐ＝０．４５５。同时改变ａ、ｂ参数，而保持ｐ 不变，利用式（５）可以确定： 。＝５．１６２和ｋ２＝０．３１０５。利用解析式（４），可以求得的不同ａ、ｂ时的最大挠 曲变形解析解与有限元分析结果，见表４： 第３０卷第２期 陈杰平，等圆环形薄板大挠度变形有限元分析比较研究 ３７ 表４ Ｂ＝０．４５５不变情况下挠度变形 Ｔａｂｌｅ ４ Ｔｈｅ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｂ＝０．４５５ （２）内径ｂ不变，改变外径ａ，即ＩＳ在０．３５－０．７５之间变化情况下的最大挠曲变形解析解与有限元分 析结果，见表５。 表５ 固定内径情况下的挠曲变形 Ｔａｂｌｅ ５ ｎｅｘｕｒａｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｉｎｎｅｒ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｃａｓｅ （３）外径ａ不变，改变内径ｂ，使Ｂ在Ｏ．３５～Ｏ．７５之间变化情况下的最大挠曲变形解析解与有限元分 析结果，见表６。 表６固定外径情况下的挠曲变形 Ｔａｂｌｅ ６ Ｆｌｅｘｕｒａｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｏｕｔｅｒ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｃａｓｅ ３８ 安徽科技学院学报 ２０１６正 通过以上各类情况下的有限元仿真结果与数值计算结果比较可知，两种方法产生的误差在０．０２ｍｍ 以内，具有较高的模拟计算精度。 ４结论与讨论 本实验根据ｖｏｎ Ｋ６ｒｒｎ６ｎ微分方程，结合钱氏摄动法推导了减振器环形阀片大挠曲变形的计算方程， 利用现代工程软件进行了大量的仿真分析，在进行数值实验的基础上拟合出了环形阀片大挠曲变形的解 析计算公式。验证结果表明，该解析式在不同情况下都具有较高的计算精度，产生的误差在３％以下，完 全可以满足工程设计的需要。该方法将有限元方法与传统解析计算方法进行了有机结合，使复杂的环形 阀片大变形问题求解得到简化。可以证明，所推导的解析式完全不但可以适用于环形阀片大挠度薄板计 算，同样也可以适用于环形阀片小挠曲变形的计算，使计算精度得到显著提高。该方法可以为解决汽车减 振器节流阀片的设计计算、分析研究、优化设计等工程实际问题提供了新的途径，同时也可用于解决其他 领域同类问题。 参考文献： ［１］李世民，吕振华．汽车筒式液阻减振器技术的发展［Ｊ］．汽车技术，２００１（８）：１０—１６． ［２］周长城，顾亮，王丽．节流阀片弯曲变形与变形系数［Ｊ］．北京理工大学学报，２００６，２６（７）：５８１—５８４． ［３］姚嘉伶，蔡伟义，陈宁．汽车半主动悬架系统发展状况［Ｊ］．汽车工程，２００６，２８（３）：２７６—２８０． ［４］陈勇，何辉，白金福．夏利轿车液力减振器簧片的变形分析［Ｊ］．汽车技术，２０００（１）：１９—２０． ［５］Ｄｕｙｍ Ｓ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｏｏｌｓ，ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ａｎｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｆｏｒ ａｎ ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ ｓｈｏｃｋ ａｂｓｏｒｂｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ［Ｊ］．Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，２０００，３３：２６１—２８５ ［６］贺李平，顾亮，辛国国，等．减振器环形阀片大挠曲变形的高精度解析式［Ｊ］．北京理工大学学报，２００９，２９（６）：５１０—５１４． ［７］吕振华，李世民．筒式液阻减振器动态特性模拟分析技术的发展［Ｊ］．清华大学学报：自然科学版，２００２，４２（１１）：１５３２— １５３６． ［８］周长城，任传波．最佳阻尼匹配减振器阀片厚度优化设计与特性试验［Ｊ］．振动工程学报，２００９，２２（１）：５４—５９． ［９］ＺＨＯＵ Ｃｈａｎｇ—ｃｈｅｎｇ，ＺＨＥＮＧ Ｚｈｉ—ｙｕｎ，ＧＵ Ｌｉｎｇ，ｅｔａ ａ１．Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ａｖａｉｌｂｉａｌｉｔｙ ｏｐｅｎｉｎｇ ｓｉｚｅ ｏｆｔｈｒｏｔｔｌｅ ａｎｄ ａｆｅｃｔ—ｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｌｃｉｏｙｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｉｔｃ ｏｆ ｓｈｏｃｋ ａｂｓｏｒｅｒ［Ｊ］．Ｂｅｉｂｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７，１６（１）：２３—２７． ［１０］周长城，顾亮．减振器叠加节流阀片与节流阀开度研究［Ｊ］．流体机械，２００６，３４（７）：ｌ９—２３． ［１１］周长城．汽车减振器设计与特性仿真［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１２． ［１２］陈轶杰，顾亮，管继富．减振装置节流阀片均布载荷变形解析计算［Ｊ］．重庆大学学报：自然科学版，２００８，３１（９）：９８８— ９９１． ［１３］成大先．机械设计手册［Ｍ］．第３版．北京：化学工业出版社，１９９４． ［１４］ＷＥＩＺＡＮＧ Ｃ．Ｌａｒｇｅ ｄｅｆｌｅｃｉｔｏｎ ｏｆ ａ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｅ￣＝ｎｐｏｄ ｐｌａｔｅ ｕｎｄｅｒ ｕｎｌｆｏｒｌｔｎ ｐｒｅｓｓｕｒｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，１９４７（２）： １０２—１】３． （责任编辑：李孟良）
