第３５卷第ｌＯ期 湖南科技学院学报 、，ｏＪ－３５ Ｎｏ．１Ｏ ２０１４年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｏｃｔ．２０１４ 牛顿一莱布尼兹公式的另一证法 刘忠志 （广东白云学院基础教学部，广东广州５１０４５０） 摘要：论文在定积分的教学中，得出牛顿一莱布尼兹公式的另一证法，即用定积分的定义“和式的极限”来证明。 关键词：定积分；牛顿一莱布尼兹公式；证明 中图分类号：０１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－２２１９（２０１４）１０－０００１－０２ 定积分的定义如下： 定义设函数厂（ ）在［ ，ｂ】上有界，在［口，ｂ］上任意插入ｎ一１个分点ｘ１ ｘ２，人，ｘ ，使 ａ＝ ｏ＜ｘｌ＜ｘ２Ａ＜ ｎ１＜ ｎ＝ｂ， 把区间［ ， 任意分成，ｚ个小区间： ［ ｏ，Ｘｌ】，［ ｌ，Ｘ２］，人，［Ｘ 一ｌ， ］，各个小区间的长度依次为 ｌ＝ １一 ０，Ａｘ２＝ ２一Ｘ１，Ａ， ｎ＝ — Ｈ—ｌ， 在每个小区间［Ｘｉ＿ｌ￣Ｘｉ］任取一点 （ｆ＝１，２，人，，ｚ），作和 厂（ ）缸 ， 令 ＝ｍａＸ｛ １，Ａｘ２，人，Ａｘ ），当 ０时，若和式的极限 ， 存在，则此孥限 称为函数厂（ ）在［以，６】上的定积分，记为 厂（ ） ，即 ） 喜 ） 若取 则有 ＝烛喜 定理若函数 （ｘ）在区间［口，ｂ］上连续，且Ｆ（ ）是 （ ）的一个原函数，则 触 ） ） （２） （２）式也叫牛顿一莱布尼兹公式。下面我们用（１）式来证明（２）式。 证明： 因， ）是 （ ）的原函数，所以有 收稿日期：２０１４一ｏ４一ｌ６ 基金项目：第二批院级教学成果培育项目“应用型本科（＜高等数学 教学改革研究与实践”。 作者简介：刘忠志（１９５９－－）男，湖南永州人，广东自云学院基础教学部副教授，研究方向为高等数学教育研究。 Ｆ （ ）＝ （ ），即ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＝ （ ）・Ａｘ 根据微分定义知，Ｆ（ｘ＋ ）一 （ ）＝Ｆ （ ） ＋Ｄ（ ）＝ｆ（ｘ）Ａｘ＋ｏ（Ａｘ）， 其中Ｄ（ ）是 （ ０）的高阶无穷小。 Ｂｐ在区间长度很小的区间［ ， ＋Ａｘ］ｃ［ａ，ｂ］上有 Ｆ（ｘ＋Ａｘ）一Ｆ（ｘ）≈Ｆ （ ） ＝ｆ（ｘ）Ａｘ （Ａｘ越小越精确）， 则对于长度很小的区间［ Ｈ， ｆ］ｃ［ａ，ｂ］也有 Ｆ（ｘｆ）一Ｆ（ｘｆ—１）≈ｆ（ｘｆ）ａｘｆ，Ａｘ ＝ ｆ— ｆ一１（ｉ＝１，２，人，ｎ） （３） 因已知 （ ）在［口，ｂ］上连续，而Ｆ（ ）是厂（ ）的原函数，即Ｆ （ｘ）＝ （ ），则Ｆ（ ）也连续（可导必连续），所以 ｆ（ｘ ）、Ｆ（ｘｆ）（ｉ：１，２，Ａ，ｎ）均存在。从而 窆＿厂（ ） ，∑ｎ【，（ ）一Ｆ（ｘ ）】也均存在，则由（。）式有 ＾ ∑ｆ（ｘ ）Ａｘ ∑【，（ ）一Ｆ（ ）】 ｉ＝１ ｆ＝ｌ ≈［Ｆ（ｘ１）一Ｆ（ｘｏ）］＋［Ｆ（ｘ２）一Ｆ（ｘ１）］＋［Ｆ（ｘ３）一Ｆ（ｘ２）］＋Ｋ＋［Ｆ（ｘ ）一Ｆ（ｘ 一１）】 ＝【Ｆ（ｘ１）一Ｆ（口）］＋【Ｆ（ｘ２）一Ｆ（ｘ１）］＋【Ｆ（ｘ３）一Ｆ（ｘ２）］＋Ｋ＋【Ｆ（６）一Ｆ（ｘ 一１）］ ＝Ｆ（ｂ）一Ｆ（ａ）（Ｏｌ￣Ｆ（ｘ１），Ｆ（ｘ２）Ｋ，Ｆ（ｘ ）全部抵消）， （４） 尽管无限细分区间 ，ｂ］，即 ＝ｍａｘ｛Ａｘ１，Ａｘ２，△ｘ３，Ｋ，Ａｘ ，Ｋ｝ ０时， （４）￣ＯＮＮＦ（ｘ ）、Ｆ（ｘ：）、 、Ｆ（ｘ ）、 也都相互抵消了，只剩下 （６）一Ｆ（ａ），与分法无关。故由（４）式 两边取极限，近似变为精确了，于是得： ｌｉｍ￣［ｆ（ ） ，＝Ｆ（６）一Ｆ（口）’ …．即 ’“ ｆ ） ：，（６）一Ｆ（日）：Ｆ（ ）『Ｉ６“ 塞厂（ ）△ ＝Ｊ 厂（ ） 存在（也可用定积分的几何意义来理解）。 这就用定积分的定义证明了牛顿一莱布尼兹公式。 参考文献： ［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ】．上海：同济大学出版社，２００９． ［２】高俊勇．高等数学［Ｍ】．长春：吉林大学出版社，２００９． ［３】赵树源．微积分［Ｍ】．北京：中国人民大学出版社，２００７． ［４】刘忠志，吴云宗．定积分教法一得［Ｊ】．湖南科技学院学，２００５，（５）：２２３—２２４ （责任编校：刘志壮） ２
