2020-2021学年山东省青岛胶州市高二下学期期中考试数学试卷及答案

青岛胶州市2020—2021学年度第二学期期中学业水

平检测高二数学试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1．某物体运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为s52t2，则该物体在t2时的瞬时速度为（）

A．3米/秒

B．8米/秒

C．8米/秒

D．3米/秒

2．某公司招聘了4名实习生，全部分配到企划部、销售部和服务部3个部门进行跟岗实习（每部门至少一人），则不同分配方法的种数为（）

A．36

B．72

2C．54 D．108

3．已知随机变量X服从正态分布N(10,2)，则D(3X1)＝（）

A．6

B．11

C．12

D．36

4．某机场某时降雨的概率为机准点的概率为（）

A．

11，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞5101 41 251 501 2B．C．D．

5．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式(ab)(n1,2,3,n)展开后的系数构成的三角形数阵，称做“开方做法

本源”，这就是著名的“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．某行中只有一项最大，且为252，该行是第（）行

……

A．12 B．11 C．10 D．9

6．某工厂产品合格的概率均为p，各产品合格与否相互．设X为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中D(X)1.2，P(X2)P(X3)，则p（） A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3

7．如图，已知电路中有5个开关，开关S5闭合的概率为

且是相互的，则灯亮的概率为（）

11，其它开关闭合的概率都是，327 823C．

24A．

15 1D．

5B．

8．若函数yf(x)的图象上存在两个不同的点A,B，使得曲线yf(x)在这两点处的切

线重合，称函数yf(x)为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（） A．ylnxx C．yx

3

B．ye1 D．yxcosx

x

二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．设函数f(x)cosx，则下列说法正确的是（）

π[f()]1 A．

2B．[f(x)xsinxcosx ]xx2C．f(x)在(,0)处的切线方程为xyD．[xf(x)]cosxxsinx

π2π0 210．将两个变量x,y的n对样本数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),,(xn,yn)在平面直角坐标系

中表示为散点图，根据x,y满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程

ˆxaˆi)为回归直线上的点，则下列说法正确的是（） ˆbˆ，设(xi,y为yA．

ˆ)越小，说明模型的拟合效果越好 (yyiii1nB．利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点 C．相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强

D．通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值

11．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）

34 A．排成前后两排，前排3人，后排4人，共有A7A4种方法 34 B．全体排成一排，男生互不相邻，共有A3A4种方法 44 C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有A4A4种方法

25D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有A6A5种方法

12．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a,b,m(m0)

为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为ab(modm)．若

012aC20C203C203220C20320，ab(mod5)，则b的值可以是（）

A．2005 B．2006 C．2020

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设函数f(x)的导数为f(x)，若f(x)D．2021

13x2xf(1)，则f(2) ． 314．(2)12x的展开式中的常数项是 ．

15．甲、乙、丙三个地区民众响应号召接种新冠疫苗，据统计这三个地区分别有40%、

1x560%、80%的民众接种了疫苗．假设这三个地区人口数的比为3:4:3，现在从这三

个地区任选一人，则此人接种了疫苗的概率为 ． 16．在平面直角坐标系中，曲线yx上在A点处的切线l与y为 ；切线l上的动点P到曲线ye2x121x垂直，则A点坐标2上的点的最小距离为 ．

（本小题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

2021a0a1xa2x2已知f(x)(1mx)a2021x2021，其中a14042，mR．

（1）求m的值； （2）求a1a2a318．（本题满分12分）

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以

a2021的值．

1的概率向左2或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,,7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；

（2）曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的游戏．摊主规定：2元

可以尝试一次，如果小球落入1号和7号球槽可以得到5元奖金；如果小球落入2号和

6号球槽可以得到2元奖金；如果小球落入3号和5号球槽可以得到1元奖金；如果小

球落入4球槽没有奖金．如果某天有100人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益．

19．（本题满分12分）

已知函数f(x)blnxxax(x0)，a,bR． （1）当a4,b1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）若b0，过点(2,1)与曲线f(x)相切的直线与直线xy30平行，求a的值． 20．（本题满分12分）

随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为

2了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了75人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的2倍；40岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；40岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐．

（1）请完善下面列联表（单位：人），并依据0.1的性检验，分析经常利用外

卖平台点餐是否与年龄有关？

经常用外卖平台点餐 基本不用外卖平台点餐 总计

40岁及以下 40岁以上

总计

15

75

（2）利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取10人，再从以上10人

中随机抽取3人．记被抽取的3人中“40岁以上”的人数为X，求随机变量X的分布列和均值E(X)．

n(adbc)2附：，其中nabcd．

(ab)(cd)(ac)(bd)2临界值表：

P(2x) 0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

x

21．（本题满分12分）

2.072

广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“312”2021年辽宁、

的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部

考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生

必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为

了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考

考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X(满分100分)服从正态分布N(55,10)． （1）分别估计成绩在[45,65]和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结

2果保留为整数）

附1：P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，

P(3X3)0.9973．

2（2）本次考试物理成绩X服从正态分布N(,)．令X，则~N(0,1)，若本次

考试物理成绩的前25%划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？ 附2：若N(0,1)，则P(0.8)0.75．

22．（本题满分12分）

现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前月份 物流成本x 利润y 八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：

1 2 3 80 106 4 5 132 1 6 84.5 114 4.6 7 79 m 8 86.5 132 83 114 83.5 116 86.5 122 3 ˆi 残差eiyiy0.2 0.6 1.8 1 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为y3.2 x151.8． （1）求m的值，并利用已知的线性回归方程求出8月份对应的残差值e8；

（2）请先求出线性回归模型y3.2 x151.8的决定系数R（精确到0.0001）；若根据非

线性模型y267.76lnx1069.2求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）

2决定系数R00.9057，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？

2（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润

应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．

附1（修正前的参考数据）：

xyii18i78880，x56528，x84，(yiy)2904．

2ii1i188附2：R12(yy)iin2(yy)ii1ni1n．

2ˆ附3：b(xx)(yy)xynxyiiiii1n(xx)ii1ni12xi1n2inx2，aybx．

2020—2021学年度第二学期期中学业水平检测

高二数学答案及评分标准

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分． 1-8:BADDCBAD

二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分． 9.BC;10.CD;11.ACD;12.BD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.2；14.8；15.0.6；16.(1,1)，

5. 5四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

11解：（1）由题意可得C2021(m)4042 ·················· 2分 得m2 ································ 4分 （2）f(0)1a0 ··························· 6分

f(1)1a0a1a2所以a1a2a3a2021 ····················· 8分

a2020f(1)f(0)2 ··············· 10分

18.（本小题满分12分）

解：（1）设这个小球掉入6号球槽为事件A，掉入6号球槽，需要向右5次向左1次，

3 ····················· 2分 323所以这个小球掉入6号球槽的概率为 ·················· 3分

32（2）每一次游戏中，的可能取值为0,1,2,5 ················ 4分

1153P(0)P(n4)C6()3()3 ················ 5分

221611111524 ··· 6分 P(1)P(n3)P(n5)C6()2()4C6()4()22222321111315P(2)P(n2)P(n6)C6()()5C6()5() ···· 7分

22221611106 ········· 8分 P(5)P(n1)P(n7)C6()6C6()622321所以P(A)C6()1()51212 P 0 1 2 5 5 1615 323 161 32一次游戏付出的奖金E0515311251 16321632则摊主的收益为211 ························· 11分

所以100人次的总收益为100元 ······················ 12分 19．（本小题满分12分）

1··················· 2分 2x4

x所以f(1)1，即切线的斜率为1 ···················· 3分 又因为f(1)3，所以该切线过点(1,3) ·················· 5分 所以切线方程为xy20 ······················· 6分

2（2）设切点为(x0,y0)，由题意的知f(x)xax，f(x)2xa1 ···· 7分

y121③ ············· 所以a2x01①；y0x0ax0②；010分 x02解：（1）由题求得：f(x)22将①代入②得：y0x0x0④；再将④代入③中，化简得x010 ······ 11分

解得x01（x01舍），所以a2x011，

因此a的值为1 ····························· 12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）设基本不用外卖平台点餐人数为x，

2xx75得x25 ·························· 1分 所以基本不用外卖平台点餐人数为25人

因为40岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐

所以40岁以上有10人基本不用外卖平台点餐，40岁以上有10人经常用外卖平台点餐 40岁及以下有40人经常用外卖平台点餐 ·················· 2分 列联表如下：

经常用外卖平台点餐 基本不用外卖平台点餐 总计

40岁及以下 40 40岁以上

总计

由列联表可知215 10 25

255 20 75

10 50

753.409 ············· 4分

5025205522因为3.4092.706=x0.1 ··························· 5分

所以依据小概率值0.1的性检验，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 ························ 6分 （2）由题意可知，抽取的10人中“40岁以上”的市民有2人，

X的所有可能取值为0,1,2 ························ 7分 C837PX03 ··························· 8分

C10151C2C827PX1 ·························· 9分 3C101521C2C81PX2 ·························· 10分 3C10157540101510所以X的分布列为

X P

所以EX0

7 151 7 152 1 15723·························· 12分 

1515521．（本小题满分12分）

解：（1）正态分布X~N(55,100)，P(X)0.6827

所以P(45X65)0.6827 ······················ 2分 成绩在[45,65]的人数约为300000.682720481人 ············ 3分 由正态分布曲线的对称性可得：

P(35X75)P(2X2)0.9545， ··········· 4分

1P(35X75)0.0228 ················ 5分

2所以估计75分以上的人数约为300000.0228684人 ············ 6分

N(55,100)得55,10， ········ 8分 （2）设该划线分为m，由XXX55m55令 ····················· 9分 1010由题意因为~N(0,1)，P(0.8)0.75，所以P(0.8)0.25······ 11分

m55所以······················ 12分 0.8，所以m63

10则P(X75)22.（本小题满分12分）

ˆ3.2x151.8，x84 解：（1）因为y所以y3.284151.8117 ······················ 1分

114116106122132114m1321178

解得m100 ······························ 2分 所以8月份对应的残差值e81323.286.5151.87 ··········· 3分 （

8ii2

2）由已知公式

得

(yy)i1(0.2)2(0.6)2(1.8)2(3)2(1)2(4.6)2(1)2(7)284.82iiR21ˆ)(yy8(yy)ii1i181284.80.9062R02 ··············· 5分 904所以线性回归模型y3.2 x151.8拟合程度更好 ·············· 6分 （3）由（1）可知，第八组数据的利润应为116（万元） ··········· 7分 此时

8xyii12i8i7888086.51677496 ·················· 8分

又

xi156528，x84，y115 ··················· 9分

ˆ所以bxy8xyiii188xi28xi12774968841152.7 ············ 10分 256528884ˆ1152.784111.8 所以a······················ 11分

ˆ2.7x111.8 ··········· 所以重新采集数据后，线性回归方程为y12分