步步高19：基本不等式

1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题．

复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．

a＋b

1． 基本不等式ab≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2． 几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba

(2)＋≥2(a，b同号)． ab(3)ab≤

a＋b2

2 (a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)≥

22 (a，b∈R)． 3． 算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4． 利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4[难点正本 疑点清源]

1． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为

正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

2． 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用

a2＋b2a＋ba＋b2

就是ab≤；≥ab (a，b>0)逆用就是ab≤ (a，b>0)等．还要注意“添、222拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

m

3． 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．

x

1． 若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．

答案 81

解析 由于x>0，y>0，则x＋y≥2xy， 所以xy≤

x＋y2

＝81， 2当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.

t2－4t＋1

2． 已知t>0，则函数y＝的最小值为________．

t

答案 －2

t2－4t＋11

解析 ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．

tt12

3． 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_____________．

xy

答案 8

1212

解析 因为＋＝(2x＋y)x＋y xyy4x

＝4＋＋≥4＋2

xy

y4x11

·＝8，等号当且仅当y＝，x＝时成立． xy24

( )

4． 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是

24

A. 5答案 C

113＋＝1. 解析 ∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得5yx131

∴3x＋4y＝(3x＋4y)y＋x 512y13x

＋4＋9＋ ＝x5y1313x12y131

＋＝＋x≥5＋5×255y

3x12y· yx

28

B. 5

C．5

D．6

＝5(当且仅当x＝2y时取等号)， ∴3x＋4y的最小值为5.

5． 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)对称，则ab的取值范围是

( )

1－∞， A.4

1

－，0 C.4答案 A

解析 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤1

＝ (a＝b时取等号)． 41－∞，. 故ab的取值范围是4

1

0， B.41－∞， D.4

a＋b2

2

题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例1 已知x>0，y>0，z>0.

yzxzxy

求证：x＋xy＋yz＋z≥8.

思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x>0，y>0，z>0， yz2yzxz2xz∴＋≥>0，＋≥>0， xxxyyyxy2xy＋≥>0， zzzyzxzxy∴x＋xy＋yz＋z ≥

8yz·xz·xy

＝8.

xyz

当且仅当x＝y＝z时等号成立．

探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推

理最后转化为需证问题．

已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.

111求证：＋＋≥9.

abc

证明 ∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋ aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9，

1

当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

3题型二 利用基本不等式求最值

11

例2 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

xy

(2)当x>0时，则f(x)＝

2x

的最大值为________． x＋1

211

思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把＋中的

xy“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 答案 (1)3＋22 (2)1

解析 (1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， 112x＋y2x＋y∴＋＝＋ xyxy

y2xy2x

＝3＋＋≥3＋22.当且仅当＝时，取等号．

xyxy2x22(2)∵x>0，∴f(x)＝2＝≤＝1，

x＋1x＋12

x1

当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x

(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是

( )

A．3 B．4

9

C. 2

11D. 2

16

(2)已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．

ba－b答案 (1)B (2)16

解析 (1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2即x＋2y≥4.

x＋12y＋1＝6，

x＋1＝2y＋1，x＝2，

当且仅当即时等号成立．

x＋2y＋2xy＝8，y＝1

∴x＋2y的最小值是4.

b＋a－b2a2

(2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤＝，

24

当且仅当a＝2b时等号成立． 1616

∴a2＋≥a2＋2＝a2＋2

aaba－b

4≥2

a2·2＝16，当且仅当a＝22时等号成立． a

16

∴当a＝22，b＝2时，a2＋取得最小值16.

ba－b题型三 基本不等式的实际应用

例3 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的，房

子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

思维启迪：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域012

解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800

x16

x＋＋5 800 (016

x＋＋5 800 则y＝900x≥900×2x×

16＋5 800＝13 000(元)， x

16

当且仅当x＝，即x＝4时取等号．

x故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每

x

批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每

8件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60件 答案 B

解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得 800xy＝＋≥2

x8

800x·＝20. x8

B．80件

C．100件

( )

D．120件

800x

当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.

x8

忽视最值取得的条件致误

11

a＋b＋的最小值． 典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝ab易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．

审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答

11

a＋b＋ 解 方法一 y＝ab1ba1

ab＋＋＋≥ab＋＋2 ＝ababab＝ab＋



121

－3ab2 ＝4ab＋

abab

≥2

a＋b232251＝4－2＝4.[10分] 4ab·－3×2ab

11125

a＋b＋取最小值，最小值为.[12分] 当且仅当a＝b＝时，y＝ab24111ab

a＋b＋＝ab＋＋＋ 方法二 y＝ababba

222

1a＋b1a＋b－2ab

＝ab＋＋＝ab＋＋

abababab

2

＝＋ab－2.[6分] ab令t＝ab≤

1a＋b21

0，. ＝4，即t∈42

12

0，上是单调递减的，[10分] 又f(t)＝＋t在4t1331

∴当t＝时，f(t)min＝，此时，a＝b＝. 442125

∴当a＝b＝时，y有最小值.[12分]

24

温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.

方法与技巧

1． 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，

常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．

2． 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：

(1)当x>2时，x＋

1

＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4. x－2x－21

81

(2)033

13x＋8－3x216≤＝3. 32失误与防范

1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．

3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2011·陕西)设0a＋bA．a2a＋b

C．a2答案 B

a＋b

解析 ∵02

ab－a＝a(b－a)>0，即ab>a，D错误，故选B. 2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是

1

x2＋>lg x(x>0) A．lg41B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

sin xC．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1

D.2>1(x∈R) x＋1答案 C

11

解析 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，

42

( )

( )

a＋b

B．a2a＋b

D.ab2

1

x2＋≥lg x(x>0)，故选项A不正确； 所以lg4

而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确； 由基本不等式可知，选项C正确；

1

当x＝0时，有2＝1，故选项D不正确．

x＋1

11

3． 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为

xy

A．2 答案 C

11

解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a

xy＋log3b＝log3ab≤log3为1.

4． 已知01A. 3答案 B

解析 ∵00. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3

1B. 2

3C. 4

2D. 3

( )

3B. 2

C．1

1 D. 2

( )

a＋b211

＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则x＋y的最大值2x＋1－x23

＝.

24

1

当x＝1－x，即x＝时取等号．

2二、填空题(每小题5分，共15分)

xy＋

5． 已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34

答案 3

xy

解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2

34

xyxy

，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号． 1234

112x2＋2·2＋4y的最小值为________． 6． (2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则yx

答案 9

111

x2＋22＋4y2＝5＋22＋4x2y2 解析 yxxy

≥5＋2

xy

14x2y2＝9， 22·

1

当且仅当x2y2＝时“＝”成立．

2

7． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万

元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______． 答案 20

200200400

解析 设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，xxx400

一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2

x

400·x＝40，当x

400

且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每

x次应购买该种货物20吨． 三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

111

(1)＋＋≥8； abab11

1＋1＋≥9. (2)ab11111a＋b证明 (1)＋＋＝＋＋ abababab11＝2a＋b，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11a＋ba＋bab∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ababba1111

∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)． abab2(2)方法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b1b∴1＋＝1＋＝2＋，

aaa1a同理，1＋＝2＋，

bb

11ba

1＋1＋＝2＋2＋ ∴abab＝5＋2b＋aab≥5＋4＝9.

∴111＋a1＋b≥9(当且仅当a＝b＝1

2时等号成立)． 方法二 1＋1a1＋1b＝1＋111

a＋b＋ab. 由(1)知，1a＋11

b＋ab

≥8，

故1＋1a1＋1b＝1＋111

a＋b＋ab

≥9. 9． (12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长

方体沉淀箱(如图所示)，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设 箱的底长为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质的质量分别与 a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2.问：当a，b各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)? 解 方法一 设y为流出的水中该杂质的质量分数，

则y＝k

ab，其中k>0为比例系数，依题意，求使y值最小的a，b的值．

根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 解得b＝30－a

2＋a (0于是y＝kkk

ab＝30a－a2＝

－a＋32－

2＋aa＋2

＝

k

34－a＋2＋a＋2

≥

k

34－2

a＋2·＝k18

， a＋2

当且仅当a＋2＝

a＋2时等号成立，y取得最小值．

这时a＝6或a＝－10(舍)，将其代入①式，得b＝3.

故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，求使ab值最大的a，b的值．

由题设，知4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)．

因为a＋2b≥22ab，所以22·ab＋ab≤30， 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a>0，b>0，解得0即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18. 所以2b2＝18，解得b＝3，进而求得a＝6.

故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是

A．正数 答案 C

解析 原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．

1a＋b111112． 如果02222222

大小顺序是 A．P>Q>M C．Q>M>P 答案 B

1a＋b111

解析 因为P＝log，Q＝(loga＋logb)，

22222a＋b11

M＝log(a＋b)，所以只需比较，ab，222<

a＋ba＋b

a＋b的大小，显然>ab.又因为

22

a＋b

a＋b>>ab，而对数函数当底

2

( )

B．非负数

( )

C．实数 D．不存在

B．Q>P>M D．M>Q>P

a＋b2a＋b

a＋b(因为a＋b>，也就是<1)，所以

44

数大于0且小于1时为减函数，故Q>P>M.

3． 函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0

12

上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为

mnA．2 答案 C

解析 点A(－2，－1)，所以2m＋n＝1.

B．4

C．8

D．16

( )

1212n4m11

＋＝4＋＋≥8，当且仅当n＝2m，即m＝，n＝时等号成所以＋＝(2m＋n)mnmnmn42立．

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

答案 18

解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得

xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)， 即(xy)2－22xy－6≥0， ∴(xy－32)·(xy＋2)≥0. 又∵xy>0，∴xy≥32，即xy≥18. ∴xy的最小值为18.

mn4＋

5． 已知m、n、s、t∈R，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是，

st9

满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________． 答案 x＋y－2＝0

mntmsn

＋＝m＋n＋＋ 解析 因(s＋t)stst≥m＋n＋2mn，所以m＋n＋2mn＝4， 从而mn＝1，得m＝n＝1，即点(1,1)， 而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1， 从而此弦的方程为x＋y－2＝0.

6． 定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b为正实

数，已知1] . 答案 1

2

解析 ∵1]∵2a＋3b≥26ab，∴ab≤. 3当且仅当2a＝3b，即a＝1时等号成立， 2

所以当a＝1时，ab取最大值. 3三、解答题

7． (13分)甲、乙两地相距s千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p(单位：

千米/小时)，船在静水中的最大速度为q千米/小时(q>p)．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.

(1)把全程燃料费用y(单位：元)表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；

(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？

s解 (1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv2，全程航行时间为，

v－ps

于是全程燃料费用y＝kv2· (pv－ps

(2)由(1)，知y＝kv2· v－pv2－p2＋p2p2

＝ks·＝ks[v＋p＋] v－pv－p＝ks[v－p＋＋2p]

v－p≥ks[2v－p·＋2p]＝4ksp(当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立)．

v－pv－p

p2p2

p2

①当2p∈(p，q]，即2p≤q时，ymin＝4ksp，此时船的前进速度为2p－p＝p；

②当2p∉(p，q]，即2p>q时，函数y＝kv·在(p，q]内单调递减，所以ymin＝ks·，v－pq－p此时船的前进速度为q－p.

故为了使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p>q时，船的实际前进速度应为(q－p)千米/小时．

2

s

q2