动力学中的滑块木板模型

一、模型概述

滑块－木板模型(如图a)，涉及摩擦力分析、相对运动、摩擦生热，多次互相作用，属于多物体多过程问题，知识综合性较强，对能力要求较高，另外，常见的子弹射击木板(如图b)、圆环在直杆中滑动(如图c)都属于滑块类问题，处理方法与滑块－木板模型类似。

二、滑块—木板类问题的解题思路与技巧：

1．通过受力分析判断滑块和木板各自的运动状态（具体做什么运动）；

2．判断滑块与木板间是否存在相对运动。滑块与木板存在相对运动的临界条件是什么？ ⑴ 运动学条件：若两物体速度或加速度不等，则会相对滑动。

⑵ 动力学条件：假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出共同加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力f；比较f与最大静摩擦力fm的关系，若f > fm，则发生相对滑动；否则不会发生相对滑动。

3. 分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；

4. 对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程．特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移.

5. 计算滑块和木板的相对位移（即两者的位移差或位移和）；

6. 如果滑块和木板能达到共同速度，计算共同速度和达到共同速度所需要的时间； 7. 滑块滑离木板的临界条件是什么？

当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界条件。

【滑块以初速度V0运动】1. 如图所示，物块A、木板B的质量均为m＝10 kg，不计A的大小，B板长L＝3 m。开始时A、B均静止。现使A以某一水平初速度从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2。

(1)若物块A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度多大？

(2)若把木板B放在光滑水平面上，让A仍以(1)问中的初速度从B的最左端开始运动，则A能否与B脱离？

最终A和B的速度各是多大？

【木板以初速度V0运动】2. 如图所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，木板运动的速度－时间图象可能是下列选项中的

【板受恒定拉力F】3. 如图所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块。已知木块的质量m＝1 kg，木板的质量M＝4 kg，长L＝2.5 m，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数μ＝0.2。现用水平恒力F＝20 N拉木板，g取10 m/s2。

(1)求木板加速度的大小；

(2)要使木块能滑离木板，求水平恒力F作用的最短时间；

(3)如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为μ1＝0.3，欲使木板能从木块的下方抽出，对木板施加的拉力应满足什么条件？

(4)若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木板与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30 N，则木块滑离木板需要多长时间？

4. 图l中，质量为m的物块叠放在质量为2m的足够长的木板上方右侧，木板放在光滑的水平地面上，物块与木板之间的动摩擦因数为＝0.2．在木板上施加一水平向右的拉力F，在0~3s内F的变化如图2所示，图中F以mg为单位，重力加速度g10m/s．整个系统开始时静止．

(1)求1s、1.5s、2s、3s末木板的速度以及2s、3s末物块的速度；

(2)在同一坐标系中画出0~3s内木板和物块的vt图象，据此求0~3s内物块相对于木板滑过的距离。 【解析】(1)设木板和物块的加速度分别为a和a，在t时刻木板和物块的速度分别为之间摩擦力的大小为

2vt和vt，木板和物块

f，依牛顿第二定律、运动学公式和摩擦定律得

F/mg fma

②

①

m 2m 图1

F 1 0.4 fmg，当vtvt

0 1 1.5 2图2

3 t/s

vt2vt1a(t2t1)Ff(2m)a

③ ④

v/(m•s-1) 4.5 4 木板 2 0 物块 1 1.5 2 3 t/s

vt2vt1a(t2t1) ⑤

由①②③④⑤式与题给条件得

v14m/s,v1.54.5m/s,v24m/s,v34m/s v24m/s,v34m/s

⑦

⑥

(2)由⑥⑦式得到物块与木板运动的vt图象，如右图所示。在0～3s内物块相对于木板的距离s等于木板和物块vt图线下的面积之差，即图中带阴影的四边形面积，该四边形由两个三角形组成，上面的三角形面积为0.25(m)，下面的三角形面积为2(m)，因此s2.25m

【滑块受恒定拉力F】5.如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间1

的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对

2A施加一水平拉力F，则(BCD )

A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止

51

B．当F＝μmg时，A的加速度为μg

23C．当F>3μmg时，A相对B滑动 1

D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg

2

6. 如图甲，质量M＝1 kg的木板静止在水平面上，质量m＝1 kg、大小可以忽略的铁块静止在木板的右端。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，铁块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，取g＝10 m/s2。现给铁块施加一个水平向左的力F。

(1)若力F恒为8 N，经1 s铁块运动到木板的左端。求木板的长度L。

(2)若力F从零开始逐渐增加，且木板足够长。试通过分析与计算，在图乙中作出铁块受到的摩擦力f随力F大小变化的图象。

【解析】（1）牛顿运动定律+运动学公式 “经典八式”法

m在M上向左做匀加速直线运动由牛顿第二定律：F-2mgma1①得a14m/s2

M向左做匀加速直线运动由牛顿第二定律：2mg1(mM)gMa2②得a22m/s2

设历时t时m动到M的左端此时二者速度分别为v1，v2则

对于m：v1a1t③ 对于M：v2a2t④

二者在这段时间内发生的位移分别为x1、x2则

12a1t⑤ 212对于m2：x2a2t⑥

2对于m1：x1二者的相对位移：xx1x2⑦

m从一端运动到另一端，则xL⑧

得L1m。

（2）当F≤μ1(m＋M)g＝2 N时，系统没有被拉动，静摩擦力f与外力F大小相等，即f＝F。

当F＞μ1(m＋M)g＝2 N时，如果M，m相对静止，铁块与木板有相同的加速度a，则 F－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，F－f＝ma，解得F＝2f－2，此时f≤μ2mg＝4 N，也即F≤6 N， 所以当2 N＜F≤6 N时， F

f＝＋1。 2

当F＞6 N时，M，m相对滑动，此时铁块受到的摩擦力为 f＝μ2mg＝4 N， f-F图象如右图所示。

7. 如图所示，可看作质点的小物块放在长木板正中间，已知长木板质量为M＝4 kg，长度为L＝2 m，小物块质量为m＝1 kg，长木板置于光滑水平地面上，两物体皆静止。现在用一大小为F的水平恒力作用于小物块上，发现只有当F超过2.5 N时，两物体间才能产生相对滑动，设两物体间的最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，重力加速度g取10 m/s2。 (1)求小物块和长木板间的动摩擦因数。

(2)若一开始力F就作用在长木板上，且F＝12 N，则小物块经过多长时间从长木板上掉下？

解析 (1)设两物体间的最大静摩擦力为fm，当F＝2.5 N作用于小物块时，对整体，由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a

对长木板，由牛顿第二定律有fm＝Ma联立可得fm＝2 N

小物块在竖直方向上受力平衡，所受支持力N＝mg，由摩擦力性质有fm＝mg 解得μ＝0.2。

(2)F＝12 N作用于长木板时，两物体发生相对滑动，设长木板、小物块加速度分别为a1、a2 对长木板，由牛顿第二定律有F－fm＝Ma1，解得a1＝2.5 m/s2 对小物块，由牛顿第二定律有fm＝ma2，解得a2＝2 m/s2

11

由匀变速直线运动规律，两物体在t时间内的位移为s1＝a1t2，s2＝a2t2

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小物块刚滑下长木板时s1－s2＝L，联立解得t＝2 s。

2【模型提炼】该模型中需要讨论以下几点： 1、M滑动的条件是2mg1(mM)g 2、M滑动又可以分为 （1）若

F-2mg1mg2(mM)g此时二者相对静止一起加速，加速度可有整体法求出。mMF2(mM)g(mM)a

3、由于二者均做加速运动，此类问题不出现共速状态。

【倾斜板块问题】8. 如图所示，倾角α=30°的足够长光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一长L=1.8m、质量M=3kg的薄木板，木板的最右端叠放一质量m=lkg的小物块，物块与木板间的动摩擦因数μ=3．对木2板施加沿斜面向上的恒力F，使木板沿斜面由静止开始做匀加速直线运动．设物块与木板间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=l0m/s2．

（1）为使物块不滑离木板，求力F应满足的条件；

（2）若F=37.5N，物块能否滑离木板？若不能，请说明理由；若能，求出物块滑离木板所用的时间及滑离

木板后沿斜面上升的最大距离．

【竖直板块问题】9. 一圆环A套在一均匀圆木棒B上,A的高度相对B的长度来说可以忽略不计. A和B的质量都等于m,A和B之间的滑动摩擦力为f(fmg).开始时B竖直放置,下端离地面高度为h, A在B的顶端,如图所示.让它们由静止开始自由下落,当木棒与地面相碰后,木棒以竖直向上的速度反向运动,并且碰撞前后的速度大小相等,设碰撞时间很短,不考虑空气阻力,试求： （1）木棒第二次着地时速度是多大？

（2）若在B再次着地前,要使A不脱离B,B至少应该多长?

10. 如图所示，质量M=4.0kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m=1.0kg的小滑块A（可视为质点）．初始时刻，A、B分别以v0=2.0m/s向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板．已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.40，取g=10m/s2．求：

（1）A、B相对运动时的加速度aA和aB的大小与方向；

（2）A相对地面速度为零时，B相对地面运动已发生的位移x； （3）木板B的长度l．