维普资讯 http://www.cqvip.com 数学篇 ·思路·方法·技巧· 《数理化解题研究》２００２ 第１２．１￣ｔ 船析八何巾有关四点共圆问题帕证明 ★江苏省常熟外国语学校 （２１５５００）韩勤●张肇平● 下面通过一些例题，说明解析几何中如何证明 四点共圆． 用圆的定义 例ｌ 已知坐标平面内有四点：Ａ（５，９）、Ｂ（－５， ａ（一１，一５）、Ｄ（９，一１），求证：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． 分析通过作图，发现ＡＢＣＤ可能为一正方 形，而正方形的中心为其外接圆的圆心，故可用圆的 定义来证． 略解由中点公式得ＡＣ中点为Ｅ（２，２）．易求得ｌＡＥＩ ＝Ｉ ＝ＩｃＥｌ＝ＩＤＥＩ＝√５８，所以 、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． 二、对角互补，四点共圆 例２ 已知直线，１：ｘ＋３ｙ一１５＝０，Ｊ２： ＝３ｋｘ一６． （１）ｋ为何值时，ｆ 、ｚ２与两坐标轴围成的四边形有一 个外接圆？（２）求这个外接圆的方程． 解 （１）设ｆ：与ｘ轴交于点Ａ，则Ａ（÷，０），ｆ１ 与Ｙ轴交于点Ｂ，则Ｂ（Ｏ，５）．又设ｆ１与ｆ２相交于点Ｃ． 当ｋ＝１时，有ＢＣ上ＡＣ，即￣ＡＣＢ＝９０￣，则有 ＡＯＢ ＋ ＝，４ＣＢ＝１８０￣．对角互补，故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． （２）这个圆以ＡＢ为直径，圆心为（２，÷），半径 为 ，故圆方程为（ｘ—１）：＋（ｙ一导）２＝ ． 三、张角相等，四点共圆 例３求证：等轴双曲线 ＝ｃ２上任意三个点 詈）、 ，丢）、Ｃ（ｃｔｓ， ｔｓ）和点，）（素，ｃｆｌｒ２ｕ 共圆． 证明知 ｎ 一素，ｋ 。 －－ｆ，ｔ３，良 一奇， ．Ｉ（ｃＤ 一 ｔ２．３Ｌ！ｔａｎ Ｄ Ｂｌ Ｉ．ｉ ｌ 一 －，一 ＺＤＣＢＩ＝ 等 则ＬＤＡＢ＝￣＿ＤＣＢ，或 ＤＣＢ＋ Ｄ ＩＢ＝冗．山于张 角相等或对角互补，故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． 四、用相交弦定理或切割线定理的逆定理 例４过不在抛物线ｙ２＝２ｐｘ上的点只引抛物 线的两割线ＰＡＢ，ＰＣＤ，交抛物线于 、Ｂ、Ｃ、Ｄ．求 证：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆的充要条件是两条割线的倾 斜角互补． 分析 ＩＰ Ｉ·Ｉ朋Ｉ＝ＩＰＣＩ·ＩＰＤＩ是 Ｂ、Ｃ、Ｄ四 点共圆的充要条件．为了表示出ＩＰＡ１．Ｉ Ｉ及Ｉｅｃｌ· ＩＰＯｌ，考虑用直线的参数方程． 证明设直线ＡＢ、ＣＤ的倾斜角分别为ｏｃ， （０≤ ｏｃ，卢＜兀），则它们的方程分别为 （一ｌｉ）』 ＋ｙ＝ ＋ｔ ｓｉｎｅ（ｔ为参数），一ｌ②ｊ Ｘｙ＝ｙ０ｏ＋ ｉ＋ＳＣＯＩｌ ，卢 为参数） ． 将①代入抛物线方程，整理得 ｉＩｌ ＋（２ｙｏｓｉｎ￣一２ｐ ｃ０ｓｏｃ）ｆ＋ 一２ｐ ＝０．由韦达定理知Ｉ １．Ｉ阳Ｉ＝Ｉｔ · Ｉ—Ｉｙｏ一２ｐｘｏＩ ｒ－一 五 一。 同理可得ＩＰＣＩ·ＩＰＤＩ＝Ｉ · ＝ ． （１）充分性 若ｏｃ＋卢＝冗，即ｏｃ＝兀一卢，贝９ ｓｉ眦＝ｓｉｎ＃．由①② 知ＩＰ／４１．１Ｐ矧＝ｌＰＣ１．ＩＰＯｌ，于是 、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． （２）必要性 若／｛、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆，则有ｉ １．Ｉ耶Ｉ＝ＩＰＣｌ· 由①，②知 掣由 ， ￥１１１－ｔＸＳｍ’ ｙ（１）不在抛物线上，知ｙｏ２—２ｐｘｏ＃＝０，故有ｓｉＩｌ ＝ｓｉＩｌ ． 又０≤。ｃ，卢＜ ，且ｏｃ≠卢，． ．ｏｃ＋卢＝兀，即两直线的倾 斜角互补．放 、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆的充要条件是两直 线Ｐ，４Ｂ、ＰＣＤ的倾斜角互补． 五、证明四个点的坐标满足同一圆方程 证明设两共轭双曲线方程为 一告＝１和 １．前者焦点为 （√ａ２＋６ ，０），（一√ａ２＋６ ， 维普资讯 http://www.cqvip.com 数学篇·教学随笔． 《数理化解题研究》２∞２年第１２期 分析直线ｆ的方程可由点斜式写出，显然点 在ｆ上或异侧． 解设直线ｆ的方程为Ｙ一２＝足 ＋１），即ｋｘ－ｙ ＋ｋ＋２＝０． 当点Ａ（－２，一３）或 ３，０）在ｆ上时，得 ★广西浦北中学（５３５３００）赵荣秀● ｋ＝５或ｋ＝一１／２． 当 、 在ｆ的异侧时，有 命题 已知直线ｆ：Ａｘ＋ ＋Ｃ＝０，点Ｐｌ（ｘｌ，Ｊ， ）， （一２ ＋３＋ｋ＋２）（３ｋ一０＋足＋２）＜０，解得 Ｐ２（ｘ２，ｙ２）．（１）若Ｂ、Ｐ２在ｆ的两侧，则（Ａｘ ＋ 。＋Ｃ） （Ａｘ２＋ ２＋Ｃ）＜０；（２）若Ｐｌ、Ｐ２在ｌ的同侧，则（Ａｘ，＋ １＋Ｃ）（ ＋ ２＋Ｃ）＞０． 证明 （１）若Ｐｌ、 在ｌ的两侧，则过Ｐ１ 的直线 必与直线ｌ相交，设交点为Ｐｏ（Ｘｏ，ｙｏ）， －２，则 尝１ ＋ ’， Ｙ０ｏ １－－ ＋ 。． 。又Ｐｏ ， ’ ０， 在直线ｆ‘Ｌ且矾‘ ’上， Ａｘｏ＋Ｂｙｏ＋Ｃ＝０，即 · ＋ · ＋ ｃ＝０．解得 ＝一 ．又Ｐ０为ＰｌＰ２的内分 即ｌ芸 ＞ ‘ ｘｌ＋ ＋ Ｃ）（Ａｘ２＋ ２＋Ｃ）＜０． （２）若只、Ｐ２在ｆ的同侧，即只Ｐ２（或 ）的延长 线与ｆ相交，或ＰｌＰ２／／ｆ． 当Ｐ。Ｐ２（或船）的延长线与ｌ相交时，设交点为 ，Ｐ ，Ｐｏ ， ２ ．同理可得 ＝～ 同理可得 ＝一 Ａｘ， ＋ Ｂｙ ，＋Ｃ． 又Ｐ０为ＢＰ２（或Ｐ２ ）的外分点，．．． ＜０，即 Ａｘｌ丽＋ＢＹｌ＋Ｃ＜０＋ Ｉ＋Ｃ）（Ａｘｚ＋Ｂｙ２＋Ｃ）＞０． 当Ｐ１ ／／ｌ时，设Ｐ１ 的方程为 Ａｘ＋ ＋Ｃ１＝０，则 ｘ１＋Ｂｙ１＝一Ｃ１， ＋ ２＝ Ｃｌ，．‘．Ａｘ，＋ １＋Ｃ＝Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃ＝Ｃ—Ｃ１． ｘ。＋ 。＋Ｃ与 ＋ ＋Ｃ同号， ＋ １＋Ｃ）（，４ ＋Ｂｙ２＋Ｏ＞０． 综合上述，命题得证． 运用这个性质解答有关问题时，十分简便． 例１ 已知直线，过点Ｐ（一Ｉ，２），且与点Ａ（一２， ３），Ｂ（３，０）为端点的线段ＡＢ相交，求直线ｌ的斜 率的取值范围． 七＞５或ｋ＜一１／２． 综合上述，得直线ｆ的斜率的取值范围是 （一Ｏ０，一１／２］Ｉ Ｊ［５，＋Ｏ０）． 例２ 已知直线ａｘ＋ｙ＋２＝０与Ｐ（一２，１），Ｑ（３， ２）的连结线段ＰＱ始终无公共点，求实数ａ的范围． 分析直线 ＋Ｊ，＋２＝０与线段尸ｊＱ无公共点， 就是点Ｐ、Ｑ在已知直线的同侧． 解直线ａｘ＋ｙ＋２＝Ｏ与点Ｐ（一２，１），Ｑ（３，２）． 连结所得的线段ＰＱ无公共点，则有（一２ａ＋ｌ＋２）（３口 ＋２＋２）＞０．解得一４／３＜口＜３／２． 故ａ的取值范围是（一４／３，３／）－）． ０）；后者焦点为Ｆ３（０，√ａ２＋ｂ ）， （０，一√ａ２＋６ ）． 这四个点的坐标都满足圆方程 ＋ｙ２＝ ＋６ ，故 四点共圆． 六、利用曲线系方程得出圆方程 例６ 抛物线ｙ２＝２ｐ（）ｃ＋ｎ）与ｘ￣＝２ｑ（）ｃ＋６）相交 于四个不同的点，求证这四个点必在一个圆上（此处 Ｊ＿，、ｑ、ａ、ｂ均为正实数）． 解过两已知抛物线交点的曲线系方程为 一 ２ｐｘ一２ｐ口＋ 一２ｑｙ一２ｑｂ）＝０，它必过四个交点．令 Ａ＝１，得（ｘ—ｐ） ＋（ｙ—ｑ） ＝ｐ２￣ｑ ＋２ｐａ＋２ｑｂ＞０，这 是一个圆方程．故四个交点在同一个圆上． 上面介绍了在解析几何中证明四点共圆的六种 方法，当然同一道题也可用多种不同方法证明． 下面是２００２年高考江苏卷２０题，请读者参考上 述方法给出多种解法． ＇２ 设 、Ｂ是双曲线 一 ＝ｌ上的两点，点Ⅳ（１， ’Ｚ ２ 是线段ＡＢ的中点． （１）求直线ＡＢ的方程；（２）如果线段ＡＢ的垂直 平分线与双曲线相交于Ｃ、Ｄ两点，那么 、 、Ｃ、Ｄ 四点是否共圆？为什么？
