章末复习课 [整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．解决截距问题不忽略“0”的情形 1
解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点： (1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论． 2．弄清直线的倾斜角与斜率关系 在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围． 3．不要忽视斜率不存在的情况 (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.
专题1 直线的倾斜角与斜率问题 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视． (1)对应关系． ①当α≠90°时，k＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在． (2)单调性． 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)． 经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k＝
2
y2－y1
，应用时注意其适用的条件是x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜21x－x
率不存在． [例1] 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 解：当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90° .当m≠1时，由斜率公式可得k＝
13－2
＝， m－1m－1
1
①当m＞1时，k＝＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°
m－1＜α＜90°. 1
②当m＜1时，k＝＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90
m－1°＜α＜180°. 归纳升华 求直线斜率的方法 1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α. 2．公式法．若直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则
y2－y1
斜率k＝. 21x－x
3．数形结合法．已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB
y2－y1
的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝求出
21x－x
kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． [变式训练] (1)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算
3
直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角． (2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________． (1)解：由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率， －1－23－2－22－2
则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0. －2－35－3－34－3由k1>0知，直线l1的倾斜角是锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角是钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角是0°. (2)解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1， 则
y＋3
4－2
＝－1，解得y＝－5. 答案：－5 专题2 直线的平行与垂直问题 1．两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合． 2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
4
[例2] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值： (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又因为点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)因为l1∥l2，且l2的斜率为1－a， aa所以l1的斜率也存在，且＝1－a，即b＝. b1－a
故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋
4（a－1）
a
＝0，l2：(a－1)x＋y＋
＝0. 1－a
a因为原点到l1与l2的距离相等， 所以4
||||)a2a－1＝，所以a＝2或a＝. 31－aa
2
a＝2，所以或a＝3， b＝－2
b＝2.
{{)归纳升华 考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理． [变式训练] 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值． 5
3a－0
解：l1的斜率k1＝＝a. 1－（－2）当a≠0时，l2的斜率k2＝所以l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即a·
1－2aa
＝－1，得a＝1. －2a－（－1）1－2a
＝. a－0a
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴， A(－2，0)，B(1，0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 故实数a的值为0或1. 专题3 距离问题 解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表： 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两平行直线间的距离 已知条件 A(x1，y1)，B(x2，y2) P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)
[例3] 求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为2的直线方程． 解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)，即kx－y＝0. d＝
公式 |AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）2 d＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋
B
2
|C2－C1|
A2＋B
2
6
由已知，得
|3k－1|k2＋1
＝2，整理得7k2－6k－1＝0， 1
解得k＝－或1， 7
所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0(C≠0)， 由已知得
|4＋C|2
＝2，解得C＝－6或C＝－2. 所以所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 归纳升华 1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． 2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. 3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解． [变式训练] 已知一条直线经过点A(1，2)，并且与点B(2，3)和C(0，－5)的距离相等，求此直线方程． 解：法一 假设所求直线的斜率存在， 设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0. 由题设有
|2k－3－k＋2|
1＋k
2
＝
|0＋5－k＋2|
1＋k
2
， 即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4， 7
当所求直线的斜率不存在时，方程x＝1， 经验证，x＝1符合题意， 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0， 法二 如图所示．由题设可知A，B，C三点不共线，故当过点A(1，2)的直线与点B(2，3)，C(0，－5)的距离相等时，所求直线与BC平行或过BC的中点． －5－3
因为kBC＝＝4， 0－2
所以所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 当所求直线过BC的中点时， 因为BC的中点为(1，－1)，且A(1，2)， 所以所求直线方程为x＝1. 故所求直线方程为x＝1和4x－y－2＝0. 专题4 数形结合思想的应用 数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决： [例4] 已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)， 同理可得点M关于y轴的对称点M2(－3，5)，如图所示． 8
根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 7
令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q0，， 2
59x＋2y－7＝0，
解方程组得两直线的交点P，. x－2y＋2＝0，24
{)()()597
所以点P，与点Q0，即为所求． 242
()()归纳升华 利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解． [变式训练] 已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值． 解：设点P(x，y)在直线l：4x＋3y－10＝0上， 又因为x2＋y2＝(x2＋y2)2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2＝|OP|2，如图所示， 即当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|. 又原点O到直线l的距离|OM|＝d＝
|－10|4
2＋2
3
＝2， 即|OP|的最小值是2，所以x2＋y2的最小值是4. 9
