大学物理答案(电磁学)许瑞珍讲解

7－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为

q 2q F40(q22a)25q(14)＝,方向由q指向-4q。 220a2q -4q 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）

习题7－1图

求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。

解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝d，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则

dEd40(x)2d40(x)2

dq d

则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为

0

E40L0d11() 2(x)40xLx方向沿轴正向。

x P

习题7－2 图a



＝

L40x(xL)（2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y

dEdx

40r2dE y

dEydxcos， 240r dxdExsin

40r2dy,r因xytg,dxy，

cos2cos代入上式，则

y Q 0 0 dq dx

P

习题7－2 图b

x

ExdEx40y00sind

11(1cos0)＝()，方向沿x轴负向。

2240y40yyL 1

EydEycosd 040y0L sin0＝

2240y40yyL7－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

解：如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd。对称分析Ey=0。

dExRdsin

40R2d y

EdExsin

40R0R  x

 dE  20Rq20R22习题7－3图

，如图，方向沿x轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

E1

20xλ1 0 a dq λ2 x 两线间的相互作用力为

dxFdF121220x20dxax

l习题7－4图

12alln,如图，方向沿x轴正向。 20a7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为

F相互作用力最大的条件为

q(Qq) 240rdFQ2q0 2dq40r

2

由上式可得：Q=2q，q=Q/2

7－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

y dq2rRd2R2sind

dq在o点产生的电场据（7－10）式为

dEydq，yRcos

40R3o 00r  习题7－6图 EdE2R3sincosd 340R2202000sinsind(sin)202。如图，方向沿y轴负向。 407－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即

S1 E

EdSEdSEdS0

SS1S2S2 S1EdSEdSER2

S1S2习题7－7图

7－8 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为

EdSE4r20

S1R 0 r

得 E内0 （r习题7－18图

EdSE4r2S2q0

E外q40r2ˆ (r>R) r 3

7－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有

EdSEAS1Ax 0得 E1dxi (x) 02A0d2

d 0 习题7－9图 E x

EdSEAS2dE2＝di (x)

2027－10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为求场强分布。 解： 据高斯定理有

0r(rR)，ρ0为常数。

1EdSE2rlS0VkdV

ro r

rR时：E2rl0r2rldr02lk0r0r2dr

kr22lkr3E2rlEen

0330习题7－10图

rR时：E2rlk0r2rldr0R2lk0R0r2dr

kR32lkR3E2rlEen

0330r7－11 带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、

R3。

（1）球壳的电荷及电势分布；

（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布； （3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。 解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。 据（7－23）式的结论得：V1q40(111)(rR1), R1R2R3 4

V2111()(R1rR2); 40rR2R3q40R3(R2rR3),

q

qV3-q q o R1 R2 V4q40r(rR3).

q4011)(rR1), R1R2R3 习题7－11图

（2）U1(V211()(R1rR2);V30(R2rR3),V40(rR3). 40rR2q（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。

V1140(qqqq)(rR1), R1R2R3R1R2q

R2R3R1R3R1R2得：qV3(R1R2)qqq(R2rR3)

40R340(R2R3R1R3R1R2)7－12 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为

E1r1r2, E2 3030E=E1+E2=

r1r2 3030oo 30r1 o p r2 o/ 习题7－12图

上式是恒矢量，得证。

5

7－13 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2，且电荷面密度为σ。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L）

解：圆环中心的电势为

V0R2R12rdr (R2R1) 40r20R2 o R1 圆环轴线上p点的电势为

p x VPR22rdr40rLR2R1R122

习题7－13图

 r2L2202(R2L2R12L2) 20质子到达O点时的速度恰好为零有

E0EPEkEkE0Ep

EkeV0eVp=ee2(R2R1)(R2L2R12L2)

2020

e2(R2R1R2L2R12L2) 207－14 有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（L>R），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。

解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为

VQ40r

Q dr r

Qdr电荷元的电势能为: dW

40r细线在带电球面的电场中的电势能为： WdWo 习题7－14图

2LLQdrQln2

40r40*7－15 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。

解：P到盘心的距离为L，p点的电势为

VPR2rdr40rL220

6

r2L220R02(R2L2L) 20p

圆盘轴线上任意点的电势为

V(x)R2rdr40rxR0022

Q20R2o 习题7－15图

2(R2x2x)

x r2x220dVQx利用电场强度与电势的梯度关系得：E(x)i(1)i

22dx20R2R2xP到盘心的距离为L，p点的电场强度为：E(L)Q20R2(1L2R2L2)i

7－16 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？

解：（1）据（7－23）式的结论得各区城电势分布为

V1140140(Q1Q2) (rR1), R1R2Q11) (R1rR2); rR2Q2 R1 R2 V2(Q1 o V3Q1Q2 (rR2).

40r习题7－16图

（2）两球面间的电势差为

V12R2Q140rR1dr2Q111() 40R1R27－17 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。 解： 据高斯定理有

rR时：

rr2lEen EdSE2rl200So r

rR时，V=0，则 rR时：VR22rdr(Rr) r2040习题7－10图

7

rR时：

R2R2lEen EdSE2rl20r0SV R2V20RrdrR2Rln r20rR o r 空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。

7－18 两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势

差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。

解：设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为

E 20r两圆柱面之间的电势差为

drU20r20由上式可得：

R2R1Rdrln2 r20R1o r

U 20lnR2R1习题7－18图 所以EUenen (R1rR2)

lnR2R1r20r7－19 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为 30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则可融化多少冰?（冰的熔 解热为3.34×105J﹒kg-1)

解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为

Wp30109J

301098.98×104kg 上式释放出来的能量可融化冰的质量为：m53.34107－20 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？

解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为

Wpee 40a 8

（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：W外Wp（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：WWpEkWpe240a

1mv2 2v2e22 ＝mmv240aa40a1e22Ekmv

280a12e2e2e2电子的总能量为：WWpmv 240a80a80ae2第八章 静电场中的导体与电介质

8－1 点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强

度和电势的分布。

解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷 在rE1q40r2ˆ，U1r111() 40rR1R2q R1 R2 q在R1E20,U2q40R2.,

qqˆr.U. 324πε0r40r-q q 习题 8－1图

在r>R2的区域内:E38－2 把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为E0的匀强电场中，E0与板面垂

直，试求金属板两表面的电荷面密度。

解：静电平衡时，金属板内的电场为0， 金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比 E0 1 2 E0 所以有

10E0,20E0.

习题 8－2图

8－3 一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有

电荷量1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）求电场强度的分布。

解：（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为

9

,12;

（2）在r20r

习题 8－3图

2在r>b的区域内:E1en

20r

8－4 三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距

－

2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。如果A板带正电3.0×107C，略去边缘效应（1）求B板和C板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求A板的电势。

解：（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒

B A C 原理和静电平衡条件，有

q1q2qA（1）

d1 d2 qBq1，qCq2（2）

依题意VAB=VAC,即

习题 8－4图

q1qdd1＝2d2q21q12q1代入（1）0S0Sd2（2）式得

q1＝1.0×10-7C，q2＝2.0×10-7C，qB＝－1.0×10-7C，qC=-q2＝－2.0×10-7C，

2107q1q221032.3×103V （2）UAd1＝d2=412200108.85100S0S8－5 半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.0×1010 C，球外有一个内外半径分别

－

为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11×1010 C，如图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）

解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q+Q电荷

－

（1）U1140(qqqQ)代入数据 R1R2R31.0101011111U1()

43.148.851012102134＝3.3×102V

q+Q

q

-q

习题 8－5图

1.01010(111)qQ U2122440R243.148.851010=2.7×102V

10

（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为

1.01010(111)qQ2

=2.7×10V U2122440R243.148.851010（3）外球接地时，两球电势各为

1.0101011qq()＝60V U1()U143.148.8510121021340R1R21U20

8－6 证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密

度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积

－－

同为100cm2，带电量分别为QA=6×108 C和QB=4×108C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。

A B 证：设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，

B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。由电荷守恒有

q1 q2 q3 q4

q1q2QA（1）

q3q4QB（2）

在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有

习题 8－6图

q1q22S02S0q3q402S02S0，得

q1q2q3q40（3）

qqq1q2340，得q1q2q3q40（4） 2S02S02S02S0联立上面4个方程得：q1q4QAQBQQB,q2q3A 22即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符

号相同，本题得证。

－－

如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×108 C和QB=4×108C，则

(64)1085.0×10－6C/m2, 4210010(64)8-62

23101.0×10C/m 4210010148－7 半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R处有一点电荷+q，试求金属球上的感应电荷。

解：设金属球上的感应电荷为Q，金属球接地 电势为零，即

R Q D=3R q 习题 8－7图 11

q40RQQ40D0

Rqq D38－8 一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为b，间距为d，今将一厚

度为t、宽度为a的金属板平行地向电容器内插入，略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系。

解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2 t d a(bx)x C10

db C20axdt 习题 8－8图

左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系，为

CC1C20a(bx)ddtatx) =0(bddt0ax

8－9 收音机里的可变电容器如图（a）所示，其有n块金属片，相邻两片的距离

均为d，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角度为时，电容器的电容。 解：当动片转到使两组片重叠部分的角度 为时，电容器的电容的有效面积为

(r22r12)(r22r12)S

2180360此结构相当有n-1的电容并联，总电容为

(n1)0S(n1)0(r22r12)C＝

d360d(a)

习题 8－9图

(b)

8－10 半径都为a的两根平行长直导线相距为d（d>>a），（1）设两直导线每单位长

度上分别带电十和一求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。

解：（1）两直导线的电电场强度大小为

E2 20rdrda ln0aro r 两直导线之间的电势差为

drV0r0Vdaa（2）求此导线组每单位长度的电容为

C=

0lndaa

习题 8－10图 12

8－11 如图，C1=10F，C2=5F，C3=5F，求（1）AB间的电容；（2）在AB间加上100V电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C1被击穿，问C3上的电荷量和电压各是多少？

解：（1）AB间的电容为

CC3(C1C2)515=3.75F； C1C2C320（2）在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是C3电容器上的电荷量，为

qq3CV3.731061003.73104C q3.73104V1V225V 6C1C21510V31002575V

q1C1V11010252.510C q2C2V25106251.25104C

（3）如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V，

C3上的电荷量为

64A C1 C3

B 习题 8－11图

C2

q3C3V351061005.0104C

8－12 平行板电容器，两极间距离为l.5cm，外加电压39kV，若空气的击穿场强为30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系?

解：（1）未加玻璃前，两极间的电场为

E3926kV/cm30kV/cm 1.5不会击穿

（2）加玻璃后，两极间的电压为

E1.2E0.339E31kV/cm30kV/cm

7空气部分会击穿，此后，玻璃中的电场为

V

习题 8－12图

E39130kV/cm100kV/cm，玻璃部分也被击穿。结果与玻璃片的位置无关。 0.38－13 一平行板电容器极板面积为S，两板间距离为d,其间充以相对介电常数分别为r1、r2，的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如图所示。若忽略边缘效应，求此电容器的电容。

解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2

C10r1S/2d

r1

r2 13

习题 8－13图

C20r2S/2d

左右电容并联，总电容为

CC1C2d(0r1S/2d0r2S/2d

0Sr1r22)

8－14 平行板电容器两极间充满某种介质，板间距d为2mm，电压600V，如果断开电源后抽出介质，则电压升高到1800V。求（1）电介质相对介电常数；（2）电介质上极化电荷面密度；（3）极化电荷产生的场强。

解：设电介质抽出前后电容分别为C与C/

0rSS,C0QCUCUd2d2SSU1800V0rU0U,r3d2d2U600VU600V5(2)E310V/m

d2103mD0E0E(r1)5.31106C/m2U1800V5(3)EE0E,E0910V/md2103mEEE09105V/m3105V/m6105V/m(1)C0rSS,C0QCUCUd2d2SSU1800V0rU0U,r3d2d2U600VU600V(2)E3105V/m 3d210mD0E0E(r1)5.31106C/m2U1800V(3)EE0E,E09105V/m3d210mEEE09105V/m3105V/m6105V/m(1)C8－15 圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。圆筒的半径为R2，电容器的长度为L，其间充满相对介电常数为r的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+，圆筒单位长度带电量为-，忽略边缘效应。求（1）电介质中的电位移和电场强度；（2）电介质极化电荷面密度。 解：

取同轴圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得DdsD2rllD,E 2r2r0r(r1)(r1)1PDE,PDE1020r2R12r2R2

14

8－16 半径为R的金属球被一层外半径为R/的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为r，金属球带电量为Q,求（1）介质层内外的电场强度；（2）介质层内外的电势；（3）金属球的电势。 解：

R/ R1 U1 U2

(1)取同心高斯球面，由介质的高斯定理得U0 Q E1 E2 DdsD4r2Q,DD1DQE110r4r20r4r2DQE2204r20Rr2习题 8－16图

(2)介质层内的电势U1E2dlE1dlRQ11Q()40rrR40R

介质层外的电势U2E2dl＝RR1Q40rRR1(3)金属球的电势U0E2dlE1dlQ11Q()40rR1R40R

8－17 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为R2，其间有两层均匀电介质，分界面半径为r，电介质相对介电常数分别为r1、r2，如图所示。求（1）电容器的电容；（2）当内球带电量为+Q时各介质表面上的束缚电荷面密度。 解：

(1)取同心高斯球面，由介质的高斯定理得Q2DdsD4rQ,DD124r2DD2QQE11,E20r14r20r10r24r20r2UE2dlE1dlR2rrR1Q11Q11()()40r2rR240r1R1rR2 R1 r C40r2r1R2R1rQU(r1r2)R2R1r(R2r2R1r1)Q1Q1(1),(1)1r1r14R124R12(1)1D10E1习题 8－17图

2Q1Q1Q1(1),3(1),4(1)222r1r2r24r4r4R28－18 一平行板电容器有两层介质（如图），r1＝4，r2＝2，厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm，

极板面积S=40cm2，两极板间电压为200V。（1）求每层电介质中的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3）计算电容器的总电容。

解：

习题 8－18图

15

0r2S(1)U1Q/C1d2d221r21U2Q/C20r1Sr1d2433d1U150V,U2150VU11e10r1E20r1(1)21.1102J/m3,22d1e20r2E20r2(1212U22)2.2102J/m3d2

0r2S0r1S(2)CC1C2d2d11120WCU22020023.5107C1C20r1S0r2S22d1d20r2S0r1S(3)CC1C2d2d1201.791011FC1C20r1S0r2Sd1d28－19 平板电容器的极板面积S=300cm2两极板相距d1=3mm，在两极板间有一个与地

绝缘的平行金属板，其面积与极板的相同，厚度d1=1mm。当电容器被充电到600V后，拆去电源，然后抽出金属板，问（1）电容器间电场强度是否变化；（2）抽出此板需作多少功?

解：

(1)未拆电源前，SSC=0,QCUU0dd1dd1EU600V3.0105V/m3dd1(31)10m拆去电源并抽出金属板后，C=0Sdd1d3UU0Sddd12dU1.5600VE3.0105V/mE3d310m,U＝QC2U0S

所以电场强度没有发生变化。QQ（2）抽出前W,抽出金属板后W2C2C22Q11所以抽出此板需要做的功为W＝（－）=2CC(U0Sdd12)2(11)1.2105J0S0Sddd18－20 半径为R1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，球壳内外半径分别为

R2=4.0cm、R3=5.0cm。球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷为Q=3.0×10-8C时，求（1）整个电场贮存的能量；（2）如果将导体球壳接地，计算贮存的能量，并由此求其电容。

解：

16

0(r2)Q(2r4)40r（1）由高斯定理可得，E＝0(4r5)Q(r5)4r0取半径为r，厚度为dr的球壳，其体积元为dv4r2dr,所以在此体积元内电场的能量为1Q2dr2dWeedv0Edv280r2电场的总能量为2QdrQ2drWe＝28r258r2004＝1.82104J（2）如果导体壳接地则Q2drWe＝＝1.01104J28r204C＝QUQ4.51012F4Qdr240r

第九章 恒定电流

9－1 长度l=1.0m的圆柱形电容器，内外两极板的半径分别R1=5.0×10-2m，R2=1.0×10-1m，，其间充有电阻率＝1.0×109.m的非理想电介质，设二极板间所加电压1000V，求（1）该介质的漏电电阻值；（2）介质内各点的漏电流电流密度及场强。

解：（1）柱面间任一薄层的漏电电阻为：dRdr 2rl整个圆柱形电容器介质的漏电电阻值为：RdRR2R1Rdrln2 2rl2lR11.01091.01018ln1.1010 代入数据得R23.1415.0102（2）IV100069.110A 8R1.1010I9.11069.11061.44106jA/m2 ＝

S2rl23.141rr1.441061.44103V/m （3）Ej1.010rr9 17

9－2 在半径分别为R1和R2（R1< R2）的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为的均匀的导电物质，若保持两球壳间的电势差恒定为V，求（1）球壳间导电物质的电阻；（2）两球壳间的电流；（3）两球壳间离球心距离为r处的场强。

解：（1）球面间任一薄层的电阻为：dRdr 24r整个球壳间导电物质的电阻为：RdRR2R1dr11（) 24R1R24r（2）I4VR1R2V R(R2R1)（3）VR2R1EdrR2R1qqR2R1 dr40R1R240r2 EVR1R2qˆˆ (rr R 1rR2) 2240r(R2R1)r9－3 一根铜线和一根铁线，长度均为l，直径为d，今把两者连接起来，并在此复合

导线两端加电势差V。设l＝l00m，V=10V，试计算（1）每根导线中的场强；（2）每根导线中的电流密度；（3）每根导线两端的电势差。（铜＝1.6×10-8.m，铁＝8.7×10-8.m）

VVVr2解：（1）两根导线串联，总电流为I RR铁R铜(铁铜）l两导线的直径相同，截面积相同，电流密度为

jIV，代入数据得 2(铁铜）lr10522 9.710A/m0.97A/mm8(1.68.7）10100jE铜＝铜j＝1.61089.7105＝1.6102V/m E铁＝铁j＝8.71089.7105＝8.4102V/m

（2）j铜＝j铁9.7105A/m20.97A/mm2

铜VVr2l（3）V铜IR铜 铜2(铁铜）lr铜铁1.610810 1.6V

(1.68.7）108V铁

铁V铜铁8.7108108.4V 8(1.68.7）1018

9－4 一截面积均匀的铜棒，长为2m，两端电势差为50mV，巳知铜棒的电阻率为铜

＝1.75×10-8，铜内自由电子的电荷密度为1.36×1010C/m3，试求（1）铜内的电场强度；（2）电流密度的大小；（3）棒内自由电子定向运动的平均速率。

V501032.5102V/m 解： （1）El2E2.5102（2）j1.43106A/m21.43A/mm2 81.7510j1.431061.05104m/s （3）v10ne1.36109－5 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m的近似圆形轨道。当环中电子流强度为8mA时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速。

解：因为n表示环单位体积的电子数，S表示环的截面积，所以nS表示单位长度的电子数，整个圆形环轨道中的电子数为

I8103240NnSll41010（个） 819ve3101.6109－6 有两个半径分别为R1和R2的同心球壳，其间充满了电导率为（为常量）的介

质，若在两球壳间维持恒定的电势差V，求两球壳间的电流。

解：球面间任一薄层的电阻为：dRdr

4r2整个球壳间导电物质的电阻为：RdRR2R1dr111（) 24R1R24rIV4VR1R2 R(R2R1)9－7 把大地看作电阻率为的均匀电介质。如图所示，用一半径为a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略。试证明此电极的接地电阻为

Rdr 22r 2a证：半球面间任一薄层的电阻为：

dR半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略， 此电极的接地电阻为

习题 9－7

RdRadr 2r22a9－8 一电源的电动势为E，内电阻为r，均为常量。将此电源与可变外电阻R连接时，电源供给的电流I将随R而改变，试求：（1）电源端电压与外电阻R的关系；（2）电源消耗于外电阻的功率P（称为输出功率）与R的关系；（3）欲使电源有最大输出功率，R应为

19

多大?（4）电源的能量一部分消耗于外电阻，另一部分消耗于内电阻。外电阻消耗的功率与电源总的功率之比，称为电源的效率，求效率与R的关系式。当有最大输出功率时，等于多少？

解：（1）VIrrRrr1R

（2）PIVRr2R r(Rr)21RE,r R 2dP2(Rr)2(Rr)R（3）0Rr 4dR(Rr)习题 9－8

I2RIR（4）I11rR，当 R=r时，max150% 29－9 试求在下列情形中电流的功率及1s内产生的热量：（1）在电流强度为1A，电压为2V的导线中；（2）在以lA电流充电的蓄电池中，此时电池两极间的电压为2V，蓄电池的电动势为1.3V；（3）在以lA电流放电的蓄电池中，此时电池的端电压为2V，电动势为2.6V。

V22 I1此时电流的功率为PIV2W

解：（1）导线中R1s内产生的热量为QIR2J

2E,r 充电电源

V－21.30.7 I1此时电流的功率为PIV2W

（2）充电电源，r1s内产生的热量为QIr0.7J （3）放电电源，r2E,r 放电电源

习题 9－9

V2.620.6，此时电流的功率为PIV2W I11s内产生的热量为QIr0.6J

29－10 地下电话电缆由一对导线组成，这对导线沿其长度的某处发生短路（如图）。电

话电缆长5m。为了找出何处短路，技术人员首先测量AB间的电阻，然后测量CD间的电阻。前者测得电阻为30，后者测得为70，求短路出现在何处。

解：设P点离A点为x，则有

P A C 2x30D B 得x=1.5

2(5x)70习题 9－8

9－11 大气中由于存在少量的自由电子和整离子而典有微弱的导电性。（1）地表附近，

－12

晴天大气平均电场强度约为120V/m，大气平均电流密度约为4×10A/m2。求大气电阻率

20

是多大?（2）电离层和地表之间电势差为4×105V，大气的总电阻是多大？

解：（1）E12013310m 12j410（2）IjS4101243.14(6.4106)22.1103A

V4105R190 3I2.1109－12 在如图所示的电路中，E1＝3.0V，r1=0.5，E2＝6.0V，r2=1.0，R1=2.，R2=4，试求通过每个电阻的电流。

解：设各电流如图

I1I2I30 I1R1I3r11I(Rr)Ir3121222I1 I2 R1 E1,r1 I3 R2 E2,r2 4I1I2I30IA13解得 2I10.5I3325I0.5I63IA2323习题9－12

9－13 在如图所示的电路中，E1＝3.0V，r1=0.5，E2＝1.0V，r2=1.0，R1=4.5.，R2=19，

R3=10.0，R4=5.0，试求电路中的电流分布。

E1,r2 解：设各电流如图

R1 R4 R3 I1 I3 III0123I1(r1R1R4)I3R31 I(Rr)IR332222I2 E2,r2 R2 习题9－13

I1I2I30I10.16A10I10I3解得1I20.02A与图中所示方向相反 3I0.14A20I10I13329－14 如图所示，E1＝E2=2.0V，内阻r1= r2=0.1，R1=5.0.，R2=4.8，试求（1）电

路中的电流；（2）电路中消耗的功率；（3）两电源的端电压。

解：（1）I12220.4A

R1R2r1r254.80.10.12（2）PI（R1R2r1r2）＝0.410＝1.6W

2E1,r1 R1 R2 习题9－14

E2,r2

V （3）V11Ir120.40.11.96V22Ir220.40.11.96V

21

9－15 在如图所示的电路中E1＝6.0V，E2=2.0V，R1=1.0.，R2=2.0，R3=3.0.，R4=4.0，试求（1）通过各电阻的电流；（2）A、B两点间的电势差。

解：R34R3R412

R3R47620.85A 12127A E2 R2 E1 R3 R4 习题9－15

I12R1R2R34B R1 V340.85121.46V 71.461.46I30.49A,I40.36A

34VABIR110.8565.15V

第十章 稳 恒 磁 场

10－1 两根无限长直导线相互垂直地放置在两正交平面内，分别通有电流I1=2A，I2=3A，

如图所示。求点M1和M2处的磁感应强度。图中AM1＝AM2=lcm，AB=2cm.。

解：无限长电流的磁感应强度为B0I，两无限长 2d电流在点M1和M2处的磁感应强度相互垂直，合磁感 应强度为

BM1BM220II22＝4.47105T (I13)210541221030I225(II49＝7.21105T 12)2102210习题 10－1图

10－2一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径R=3cm，导线中的电流I=2A， 如图所示，求圆弧中心O点的磁感应强度。

解：两半无限长电流在O点产生的磁感应强度 方向相同，叠加为

BO12

0I 方向 4R22

R O 3/4圆电流在O点产生的磁感应强度为

BO230I 方向 42RO点的合磁感应强度为

0I31 ( - )2R4

410-72-5  0.431.810 T 方向22310BOBO1BO210－3图中三棱柱面高h＝1.0m，底面各边长分别为ab=0.6m，bc=0.4m，ac=0.3m，沿ad边有直长导线，导线申通有电流I=4A。求通过cbef面的磁通量。

解：通过cbef面的磁通量应与通过gbje面的磁通量相当 ag=ac=0.3m，有 g b 0 a x 0.6Ic 0＝BdShdx

0.32xI SIh0.1010ln  ln25.5410-7Wb 20.32-7d f j e 习题 10－3图

10－4两根平行直长导线载有电流I1=I2=20A。试求（1）两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度；（2）通过图中矩形面积的磁通量。图中r1=r3=10cm，r2=20cm，l=25cm。

解：（1）两半无限长电流在中点A点产生的磁感应强度方向相同，叠加为

0I410-720-5BA2  410T 方向 22220102010I11)ldx （2）＝BdS0(102x40xS30I2 r1 I1

0

dS l r2 x 习题 10－4图 r3 0Il410-72025102x  2 ln3 ln2240-x102.210-6Wb

3010－5 两个半径为R的线圈共轴放置，相距为l，通有相同大小、方向的电流I，如图

所示，o点是两环心o1、o2的中点，求在两环心o1、o2连线上离o点距离为x的P点的磁感应强度。

解：已知圆电流在轴线上产生的磁感应强度为

0IR2，两圆电流在P点产生的 B22322(zR)I R o1 I o x P R o2 23 z

习题 10－5图

磁感应强度方向相同，所以在P点的磁感应强度为

BP0IR2l2[(x)2R2]3220IR2l2[(x)2R2]322

磁感应强度的方向沿z轴负方向。

10－6一根导线作成正n边形，其外接圆半径为R，导线中通有电流I。求证：（1）在外接圆中心处的磁感应强度大小为B0nItg；（2）当n 时，B的值化简为圆电流的2Rn结果。

证：（1）如图取任一边分析，这一边就是有限长的电流， 有限长的电流产生的磁感应强度为

B0I(cos1cos2) 4d/2+/n R /n o I /2-/n 与图中各量对应，上式为

B[cos(cos()] 2n)2n4Rcosn0nItg，得证。 2Rn0nI0Itglimntg

n2Rn2Rnn0I习题 10－6图

（2）当n 时，BlimIn0I 这值正是圆电流的结果。 0lim2R2Rnnsin10－7如图所示，两根导线沿半径方向引到铜圆环上A、B两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求圆环中心处的磁感应强度。 解：O处在两直线电流的延长线上，故两直 电流在O处产生的磁感应强度为0。

I1与I2为并联电流，其在O处产生的磁感 应强度分别为

I1

0I1B1l1 方向 

I2 l1

4IB102l2 方向 

4l2

习题 10－7图

因为并联电流电压相同有：I1l1I2l2，所以Bo=0

10－8一均匀带电的半圆形弧线，半径为R，所带电量为Q，以匀角速度绕轴OO/转动，

24

如图所示，求O点处的磁感应强度。

解：此题可利用运动电荷产生的磁场计算， 也可利用圆电流产生的磁场计算。以下根据圆 电流在轴线产生的磁感应强度来计算的。

如图电荷dq旋转在O处产生的磁感应强度为

 r R  O dq Rd(Rsin)220dIr2dB03

2R2R30200Bsind

404280Q 方向沿轴线向上。

8R习题 10－8图

10－9一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如 图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电 流I，试求（1）环内离轴线为r远处的磁感应强度； （2）通过螺线管截面的磁通量。 解：（1）根据安培环路定理

BdlNI

0L习题 10－9图

B2r0NIB（2）＝BdSS0NIdd (2r1) 2r22d122d20NINIhd1hdr0 ln2r2d210－10一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2（筒壁厚度可

以忽略），电流I沿内筒流出去，沿外筒流回，如图所示。（1）计算两圆筒间的磁感应强度。（2）求通过长度为l的一段截面（图中画斜线部分）的磁通量。 解：（1）由安培环路定理可分析仅在两筒间有磁场，为

BdlI

0LB2r0IB0I (R1rR2) 2r

习题 10－10图

＝BdSSR2R1IlR0Ildr0 ln2

2R12r10－11磁感应强度B=5×10-4T的均匀磁场垂直于电场强度E＝10V/m的均匀电场，一

束电子以速度v进入该电磁场，v垂直于B和E。求（1）当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子的速度v；（2）只有磁场存在时电子的轨道半径R。

解：（1）当两种场同时作用时，要使电子束不偏转，电子所受的电场力与磁场力相同

25

即eEevBvE102.0104m/s 4B510v2mv9.110312104R2.28104m （2）evBm194ReB1.61051010－12一根导体棒质量m=0.20kg，横放在相距0.30m的两根水平导线上，并载有50A

的电流，方向如图所示，棒与导线之间的静摩擦系数是0.60，若要使此棒沿导线滑动，至少要加多大的磁场？磁场方向应如何？ 解：（1）要此棒沿导线滑动，磁场对它的作用力至少 与摩擦力相等，即IBlmg

v

B Bmg0.60.29.87.84102T Il500.3磁感应强度的方向如图所示，向下。 习题 10－12图

10－13质谱仪的构造原理如图所示，离子源S产生质量为M、电荷为q的离子，离子产生出来时速度很小，可以看作是静止的；离子飞出S后经过电压V加速，进入磁感应强度为B的均匀磁场，沿着半个圆周运动，达到记录底片上的P点，可测得P点的位置到入口处的距离为x，试证明这离子的质量为

qB22Mx

8V证：依题意有qV1Mv2 （1） 2粒子所受的洛仑兹力是粒子作圆周运动的向心力有

v2 （2） qvBMx2联立（1）（2）式消去v，就可得到

习题 10－13图

MqB2x 8V210－14在磁感应强度为B的水平均匀磁场中，一段长为l、质量为m的载流直导线沿竖直方向自由滑落，其所载电流为I，滑动中导线恒与磁场正交，如图所示。设t=0时导线处于静止状态，求任意时刻导线下落的速度。

解：依题意有

mgIlBm分离变量积分为

vtdv dtIlB)dt m习题 10－14图

0dv(g0解得任意时刻导线下落的速度为

v(gIlB)t m

10－15一半径为R的无限长半圆柱面形导体，与轴线上的长直导线载有等值反向的电

26

流I，如图所示。试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。

解：此电流结构俯视如图，圆柱面上的电流 与轴线电流反向，反向电流电流相斥，如图，对 称分析可知，合力沿x轴正向，有

0II0I2dFBldIRdd 22RR2R0I2FdFsinsind

22R00I22 R10－16半径为R的圆形线圈载有电流I2，无限长载有电流I1的直导线沿线圈直径方向放置，求圆形线圈所受到的磁力。

I1 解：此电流结构如图，对称分析可知，合力

dF B B 沿x轴负向，有

I0I1I2IIdFI2dl01Rd012d

2r2Rcos2cosFdFcos2r o 2 I2 x 00I1I2IIcosd0122cos20d0I1习题I2 10－16图

dF 10－17一圆形线圈，其直径为0.08m，共有12匝，载有电流5A，线圈放在一磁感应强

度为0.60T的均匀磁场中。（1）求线圈所受的最大磁力矩；（2）如果磁力矩等于最大磁力矩的一半，线圈处于什么位置？

解：MmB

22（1）Maxm=mBINSBINrB5123.14(410)0.60.18Nm

2（2）M=mBsinMaxm1sin300 2210－18有一磁电式电流计，它的矩形线圈长11mm，宽10mm，由1500匝表面绝缘的

细导线绕成，如图所示。当线圈偏转角时，线圈游丝产生的钮力矩M=C，扭转系数C＝22×10-8N·m/（0），若电表指针的最大偏转角为900，相应的满度电流为50A，求线圈所在处的磁感应强度。

解：因为MaxmINSBsin90

依题意有MaxmINSBsin90CC90

000C900221080.24T 即B66INS50101500111010习题 10－18图

10－19一半径为R的薄圆盘，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向与盘面平

27

行，如图所示，圆盘表面的电荷面密度为，若圆盘以角速度绕其轴线转动，试求作用在圆盘上的磁力矩。

解：圆盘上任一薄层电荷运转时产生的电流为dI，其对应的磁矩为

dmdIr22rdr整个圆盘的磁矩为

2rrdr 2Rdm

mdm0R4rdr

4dI 习题 10－19图

作用在圆盘上的磁力矩为MmB

R4B,方向垂直纸面向里。 MmBsin90mB4010－20长为l=1.0m的导线作成一闭合回路，通有电流I=2A，放入磁感应强度B=0.1T的均匀磁场中，回路平面与磁场B的方向成450角，求载流回路所受的磁力矩。（1）若回路为正方形；（2）若回路为圆形。 解：（1）回路为正方形有4l1l0.25m

MISBsin45020.2520.1（2）回路为圆形有2r1r228.84103Nm 21m 221MISBsin45020.11.13102Nm

210－21 如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单

层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝效为N，通过线圈的电流为I。求球心处O的磁感应强度。

解：依题意，球上沿圆周单位长度的线圈匝数为

N1R2

球上任一薄层电流为：dIIdNIRdN1R22INd 2R B  I 一薄层圆电流在球心处O的磁感应强度为

习题 10－21图

dB0IN20IN0dIr2Rsindsin2d 33RR2R20IN0IN0IN2sin2d整个半球电流在球心处O的磁感应强度B 0R44RR方向如图向右。

10－22 如图所示，在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球

28

面的轴线夹角为，求通过该半球面的磁通量。 解：据高斯定理

BdSSS半球BdSBdS＝0

S圆平面en

2S半球＝BdS＝－BππBdSS圆平面cos

习题 10－22图

10－23 已知l0mm2裸铜线允许通过50A电流而不致导线过热，电流在导线横截面上

均匀分布。求（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度。 解：（1）由安培环路定理

BdlI

0L0 r B2π20（2）同理有

0IrI2rB (0rR) R22R2习题 10－23图 IB2π20IB0 (rR)

2r0I410750r＝R时,B5.6103T

2R1010423.1410－24 有一同轴电缆，其尺寸如图所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）rR3；面出B－r曲线。

解：由安培环路定理

BdlI

0L（1）B2πr00IrI2rB (rR1) R22R120I (R1rR2) 2r

习题 10－24图

（2）B2πr0IB2I(r2R2)（3）B2πr0[I] 22(R3R2)B 0IR32r2 (R2rR3) B22rR32R2（4）B2πr0B0 (rR3)

0 R1 R2 R3 习题 10－25图

r

10－25 如图所示，一半径为R的无限长载流直导体圆柱，其中电流I沿轴向流过，并

29

均匀分布在横截面上，现在导体上有一半径为R/ 的圆柱型空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d，试用安培环路定理求空腔中心的磁感应强度。你能证明空腔中的磁场是均匀磁场吗？

解：利用补缺法，其电流密度的大小为jI，对空腔内任意点，设大圆柱

(R2R2)电流产生的磁场为B1，小圆柱电流产生的磁场为B2，由安培环路定理

BdlI，有

0LB12r10jr12B10j1r1，写成矢量形式为 2B10j1r1，同理有B20j2r2。因为j1=-j2=j， 220j(r1r2)0jr00 22习题 10－25图

所以BB1B2上式说明空腔内任意点的磁场是匀强的，磁感应强度的大小为B0Id

2(R2R2)10－26在一个显像管的电子束中，电子有1.2×104eV的能量。这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动，地球磁场的垂直分量B=5.0×10-5 T，并且方向向下。试求（1）电子束偏转方向；（2）电子束在显像管内通过20cm到达屏面时光点的偏转间距。

解：依题意有eV12mvv22eV，如图电子的回旋半径为 mRmv12Vm eBBeh

B R 

R

习题 10－26图

15.510521.21049.110316.71m 191.610d

dRR2h26.716.7120.222.98103m

10－27 通有电流I=50A的无限长直导线，放在如图所示弧形线圈的oz轴上，线圈中的电流I=20A，线圈高h=7R/3，求作用在线圈上的力。

解：依题意线圈可分为两半圆弧和两长为7R/3的直电流，由安培力公式分析可知，两半圆弧电流不受磁场力，只要讨论两长为7R/3的直电流受的磁场力即可。轴线上的长直电流在两长为7R/3的直电流处产生的磁感应强度为

B0I1 2R可判断出两长为7R/3的直电流所受的磁场力方向相同， 所以作用在线圈上的力为

30

习题 10－27图

F2I27R0I1 32R74107202509.33104N

32力的方向沿x轴负向

10－28利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度，设一霍尔元件用金属材料制成，其厚度为0.l5mm，载流子数密度为l024/m3，将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔电压为42V，测得电流为l0mA。求此时待测磁场的磁感应强度。

解：依题意有

nedV10241.610190.1510342104B0.1T 3I1010

10－29载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓

度，来控制P型或n型半导体的载流子浓度。利用霍尔效应可以测量载流子的浓度和类型。如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为I，现测得霍尔电压为UH。证明样品载流子浓度为：

nIB

edUH证：设稳定后横向电场为E，此时载流子受力平衡，即

qEqvBEvB

霍尔电压为UHEbvBb （1） 导体的截面积S=bd，流经此截面的电流为

IjbdnevbdvUHI代入（1）式得 nebd

习题 10－29图

IBIB，所以可得n。证明完毕 nededUH10－30变电站将电压500kV的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。巳知

两输电导线间单位长度的电容为3×10-11F/m，若导线间的静电力与安培力正好抵消。求（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率。

解：如图，由安培力公式分析可知两反向的直电流间存在相互排斥的安培力。反向电流的导体可当作带等量异号的电荷的导体，它们之间存在相互吸引的静电力，依题意有F静＝F安。

（1）两单位长度的两导线间的静电力和安培力分别为

2C2V2 F静20d20dI d I

31

习题 10－30图

0I2F安IB

2dC2V20I2由可得 ＝2d20dICV00CVc3101150010331084.5103A

（2）输出功率为

PIV4.51035001032.25109W

第十一章 磁场中的磁介质

11－1一螺绕环的平均半径为R=0.08m，其上绕有N=240匝线圈，电流强度为I=0.30A时管内充满的铁磁质的相对磁导率r＝5000，问管内的磁场强度和磁感应强度各为多少？

解：（1）由HdlI得H2RNIHLNI代入数值为 2RH2400.31.43102A/m

23.140.08（2）B0rH410750001.431020.9T

11－2在图11－8所示的实验中，环型螺绕环共包含500匝线圈，平均周长为50cm，当线圈中的电流强度为2.0A时，用冲击电流计测得介质内的磁感应强度为2.0T，求这时（1）待测材料的相对磁导率r；（2）磁化电流线密度js。

解：（1）HN5002I代入数值H2000A/m 22R5010rB2796 0H4107200050021.56106A/m 25010（2）js(r1)nI(7961)11－3如图所示，一根长圆柱型同轴电缆，内、外导体间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为r（r<1），导体的磁化可以略去不计，电缆沿轴向有稳定电流I通过，内外导体上的电流的方向相反，求（1）空间各区域的磁感应强度和磁化强度；（2）磁介质表面的磁化电

32

流。

解：依题意，内圆柱的电流密度j（1）rI R12

2jrIr根据HdlI得H12rjrH1 222R1L习题11－3图

B10H10Ir 22R1M1(r1)H10（导体的r=1）

R1r>R3时：H=0, B=0, M=0 （2）Is(r1)I

11－4一个截面为正方形的环形铁心，其中磁介质的相对磁导率为r，若在此环形铁心上绕有N匝线圈，线圈中的电流为I，设环的平均半径为r，求此铁心的磁化强度。

解： 由HdlI得H2rNIHLNI 2rM(r1)H(r1)NI 2r11－5设长为L=5.0m，截面积S=1.0cm2的铁棒中所有铁原子的磁偶极矩都沿轴向整齐

33

排列，且每个铁原子的磁偶极矩m0=1.8×1023A·m2，求（1）铁棒的磁偶极矩；（2）如果要使铁棒与磁感应强度B0=1.5T的外磁场正交，需用多大的力矩？设铁的密度＝7.8·g/m3,铁的摩尔质量M0=55.85g/mol。

－

解：（1）棒的质量为VLS，棒内的铁原子数N为：

LS7.85104NNA6.0210234.21019

M055.85铁棒的磁偶极矩为

mNm04.210191.810237.57102Am2

（2）需用的力矩为MB0m1.54.210190.114Nm

－

11－6将一直径为10cm的薄铁圆盘放在B0=0.4×104T的均匀磁场中（如图），使磁力线垂直于盘面，已知盘中心的磁感应强度为BC=0.1T，假设盘被均匀磁化，磁化电流可视为沿圆盘边缘流动的一圆电流，求（1）磁化电流大小；（2）盘的轴线上距盘心0.4m处的磁感应强度。

解：（1）设圆盘边缘流动的磁化圆电流为Is，对盘中心而言，依题意有

BCB0BsB00Is可得磁化电流大小为 2R(BCB0)2R(0.10.4104)251023Is7.9610A 70410（2）圆盘边缘流动的磁化圆电流为Is在轴线上产生的磁感应强度为

0IsR2 Bs22(R2Z2)32将R=5cm、Z=0.4m及上面Is的值代入上式得

习题11－6图

41077.96103251044Bs1.9110T 22322(0.050.4)B0.4mBSB0(1.910.4)1042.31104T

34

第十二章 电磁感应

12－1在通有电流I=5A的长直导线近旁有一导线ab，长l=20cm，离长直导线距离d=10cm（如图）。当它沿平行于长直导线的方向以v=10m/s速率平移时，导线中的感应电动势多大？a、b哪端的电势高？

解：根据动生电动势的公式E =(vB)dl

L30I v a o

d l 习题12－1图 E100Ivdx0Ivln3

2x27b x

410510ln31.1105V

2方向沿x轴负向，a电势高。 12－2平均半径为12cm的4×103匝线圈，在强度为0.5G的地磁场中每秒钟旋转30周，线圈中可产生最大感应电动势为多大？如何旋转和转到何时，才有这样大的电动势？

解：NBScost，电动势的大小为

E2dNBSsint dt3422EmaxNBr2n4100.510(1210)2301.7V

12－3如图所示，长直导线中通有电流I=5A时，另一矩形线圈共1.0×103匝，a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s的速率向右平动，求当d=10cm时线圈中的感应电动势。

35

解：x1010N0ILdxILx10N0ln

2x10210I 电动势的大小为EIL1dxdN0 dt2x10dt0ILv

2x107L d a v

N3Ex=d=10=

1.010410522103V

2(1010)习题12－3图

12－4若上题中线圈不动，而长导线中，通有交流电i=5sin100t A，线圈内的感生电动势将多大？

解：101010N0iLdxiLN0ln2

2x102电动势的大小为ELLLddidiN0ln2N0ln2N0ln25100cos100t dt2dt2dt21.010341072ln2500cos100t4.35102cos100t(V)

212－5一长为L的导体棒CD，在与一均匀磁场垂直的平面内，绕位于L/3处的轴以匀角速度沿反时针方向旋转，磁场方向如图所示，磁感应强度为B，求导体棒内的感应电动势，并指出哪一端电势高？

解：根据动生电动势的公式E =(vB)dl

L2L301L30EBrdrBrdrBrdr

习题12－5图

2L31L31BL2 c点电势高 612－6如图两端导线ab=bc=10cm，在b处相接而成300角。若使导线在匀强磁场中以速

－

率v=1.5m/s运动，磁场方向垂直图面向内，B=2.5×102T，问ac间的电势差是多少？哪端电势高？

解：ab边不切割磁场线，不产生感应电动势， bc边产生感应电动势为

E＝bcvBsin3010100211.52.5102

2习题12－6图

1.88103V

c点电势高

36

12－7在通有电流I的无限长直导线附近，有一直角三角形线圈ABC与其共面，并以速度v垂直于导线运动，求当线圈的A点距导线为b时，线圈中的感应电动势的大小及方向。已知AB=a，ACB=。

解：AB边不切割磁场线，不产生感应电动势， BC边产生感应电动势为 EBC＝BvBC0Ivactg

2(ba)AC边产生感应电动势为

adx0Iva10IvdlcosctgEAC＝

0bx20bx20Ivabctgln 2b习题12－7图

E＝

0Ivabactg(ln)方向顺时针 2bba

12－8 在水平放置的光滑平行导轨上，放置质量为m的金属杆，其长度ab=l，导轨一端由一电阻R相连（其他电阻忽略），导轨又处于竖直向下的均匀磁场B中，当杆以初速v0运动时，求（1）金属杆能移动的距离；（2）在此过程中R所发出的焦耳热。 解：（1）依题意，根据牛顿定律有

vB2l2dvvdvFIBlmm

Rdtdx分离变量积分

v0

vB2l2mRx0mRvdxmvdvx220

v0Bl0

习题12－8图

（2）Q12mv0 212－9均匀磁场B被局限在圆柱形空间，B从0.5T以0.1T/s的速率减小。（1）试确定涡旋电场电场线的形状和方向；（2）求图中半径为r=10cm的导体回路内各点的涡旋电场的电场强度和回路中的感生电动势；（3）设回路电阻为2，求其感应电流的大小；（4）回路中任意两点a、b间的电势差为多大？（5）如果在回路上某点将其切断，两端稍微分开，问此时两端的电势差多大？ 解：（1）顺时针 （2）EdlLd2dB＝r可得

dtdt

37

习题12－9图

ErdB 2dt101020.15103V/m r=10cm时：E2E＝EdlLd－－2dB＝r＝3.14×（10×102）2×0.1＝3.14×103V，方向顺时针

dtdt3.141031.57103A （3）IR2（4）回路中任意两点a、b间的电势差为

Eab

b I

Rab a

VababIRabRlablab0 2rR2r－

（5）断开时，电流I=0，开路电压即为电源电动势Vab=E＝－3.14×103V

12－10均匀磁场B(t)被在半径为R的圆柱形空间，磁场对时间的变化率为dB/dt，

在与磁场垂直的平面内有一正三角形回路aob，位置如图所示，试求回路中的感应电动势的大小。

12RB，回路中的感应电动势的大小为 6d1dBBSR2E dt6dt解：BS12－11如图所示，在与均匀磁场垂直的平面内有一折成角的V形导线框，其MN边

可以自由滑动，并保持与其它两边接触，今使MNON，当t=0时，MN由O点出发，以匀

速v平行于ON滑动，已知磁场随时间的变化规律为B(t)＝t2/2，求线框中的感应电动势与习题12－10图 时间的函数关系。

解：依题意图中三角形面积的磁通量为

BS121xtgBv2tgt4 24三角形回路中的感应电动势的大小为 E习题12－11图

12－12一半径为R，电阻率为的金属薄圆盘放在磁场中，B的方向与盘面垂直，B的值为B(t)=B0t/，式中的B0和为常量，t为时间。（1）求盘中产生的涡电流的电流密度；（2）若R=0.20m，=6.0×10-8·m，B0=2.2T，=18.0s，计算圆盘边缘处的电流密度。

dv2tgt3 方向逆时针 dt

解：（1）与o距离为r（r（2）边缘处r=R，j

12－13法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R，它的轴线与均匀外磁场B平行，它以角速度绕轴线转动，如图所示。（1）求盘边缘与盘心间的电势差；（2）当R=15cm， B=0.6T，转速为每秒30圈时，盘边缘与盘心间的电势差为多少？（3）盘边与盘心哪处电势高？当盘反转时，它们电势的高低是否也会反过来？

解：（1）盘可视为无数根长为R的细棒并联而成，并联一端在盘心，一端在盘边缘

VBrdr0r11BR2B2nR2BnR2 22（2）当R=15cm， B=0.6T，转速为每秒30圈时，

盘边缘与盘心间的电势差为

V0.63.1430(15102)21.27V

B  R （3）盘边电势高，当盘反转时，它们电势的高低 习题12－13图 也会反过来，即此时盘心电势高

12－14 两根平行长直导线，其中心线距离为d，载有等值反向电流I（可以想象它们在相当远的地方汇合成一单一回路），每根导线的半径为a，如果不计导线内部磁通的贡献，试求单位长度的自感系数。

解：对图中阴影部分的磁通量为

I BdS

Sdaa0Il11()dx 2xdx

o I x

习题12－14图 0Idaln (单位长度l1) a12－15 两圆形线圈共轴地放置在一平面内，它们的半径分别为R1和R2，且R1>>R2，

匝数分别为N1和N2，试求它们的互感。（提示：可认为大线圈中有电流时，在小线圈处产生的磁场可看作是均匀的）

解：大线圈圆电流在其圆心处产生的磁场为

BN10I 2R10I2 R22R1习题12－15图

因为R1>>R2，所以可认为其穿过小线圈的磁通量为

2N1N2BN2R2

M2 N1N20R2I2R112－16在如图所示的电路中，线圈II连线上有一长为l的导体棒CD，可在垂直于均匀

磁场B的平面内左右滑动并保持与线圈II连线接触，导体棒的速度与棒垂直。设线圈I和II的互感系数为M，电阻为R1和R2。分别就以下两情形求通过线圈I和II的电流：（1）CD以匀速v运动；（2）CD由静止开始以加速度a运动。 解：（1）CD以匀速v运动时

II

I

39

I1Bvl,I1是恒量，故I2=0 R1R1（2）CD由静止开始以加速度a运动

I1Blat,I1是时间的函数，故I2不为零 R1R12MdI1BlaMBl， I22Ma

dtR1R2R1R212－17矩形截面螺绕环的尺寸如图，总匝数为N。（1）求它们的自感；（2）当N＝1000

匝，D1=20cm，D2=10cm，h=1.0cm时自感为多少？

解：（1）根据安培环路定理Bdl0LI

B2r0NIBD10NI，穿过线圈的磁链数为 2ro 习题12－17图 0N2I1NBdShdr

D22rS r

0N2IhD1ln

2D20N2hD1Lln

I2D2（2）当N＝1000匝，D1=20cm，D2=10cm，h=1.0cm时自感为

4107(1000)21.010220Lln 1.3910-3H

21012－18 在长60cm、直径5.0cm的空心纸筒上绕多少匝导线，才能得到自感系数为

－

6.0×103H的线圈？

解：穿过线圈的磁链数为

0N2r20NI BNSNr0Ill20N2r20NLlILl20r60103601021.200匝 72410(2.510)12－19如图，两长螺线管同轴，半径分别为R1和R2（R1>R2），长度为l（l>>R1和R2）， 匝数分别为N1和N2。求互感M1和M2，由此证明M1＝M2。

解：匝数为N1、半径为R1的螺线管通有电流为I1时

B10

N1I1 l

习题12－19图

40

穿过匝数为N2、半径为R2的螺线管线圈的磁链数为

2N202N2B1R2N12R2I1 lM2N22N201R2

lI1N2I2 lN12R2I2 l匝数为N2、半径为R2的螺线管通有电流为I2时B202N20穿过匝数为N1、半径为R1的螺线管线圈的磁链数为1N1B2R2M1N12N201R2，结果得M1=M2

lI212－20一圆柱形长直导线中各处电流密度相等，总电流为I，试证每单位长度导线内贮

0I2藏的磁能为。

16证：根据安培环路定理Bdl0LI

B2r0jr200IrI2rB 22R2RWR012B2rldr，单位长度l=1 202220I2Ir102rdrW244R4204RWR0R00I2rdr，本题得证。

16312－21实验室中一般获得的强磁场约为2.0T，强电场约为106V/m。求相应的磁场能量密度和电场能量密度多大？哪种场更有利于储存能量？

解：相应的磁场能量密度和电场能量密度分别为

122263 wmB1.610J/m7202410we110E28.851012(106)24.43J/m3 22上述结果可知磁场更有利于储存能量。

12－22可能利用超导线圈中持续大电流的磁场储存能量。要储存1kW·h的能量，利用1.0T的磁场，需要多大体积的磁场？若利用线圈中的500A的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应为多大？

解：1kW·h的能量W1036003.610J

41

36241073.6106J12369.0m WBV3.610JV2201122W23.6106WLIL228.8H 22I(500)12－23设半径R=0.20m的平行板电容器。两板之间为真空，以恒定电流I=2.0A对电容

器充电。求位移电流密度（忽略平行板电容器边缘效应，设电场是均匀的）。

解：依题意得

jdIdI215.9A/m2 222RR3.14(0.2)12－24 给极板面积S=3cm2的平行板电容器充电，分别就下面两情形求极板间的电场

变化率dE/dt：（1）充电电流I=0.01A；（2）充电电流I=0.5A。

解：位移电流为IdIdDdEIdE0S，可得 ddtdtdt0S0S（1）充电电流I=0.01A时

dEI0.01123.7710V/(ms) 124dt0S8.8510310（2）充电电流I=0.5A时

dEI0.51.881014V/(ms) 124dt0S8.851031012－25试证平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为IdC为电容器的电容，V为两极板的电势差。

证：因为qCV，IdV，其中CdtdqdVC，电路中Id=I dtdtdV所以IdC 本题得证。

dt12－26平行板电容器圆形极板的半径R=0.05m，欲使变化电场在r=0.04m处产生的磁感应强度为1×10-5T，问需多大电流给电容器充电？此时极板间电场对时间的变化率有多大？设两板间为真空。

解：电路中jdId，根据安培环路定理Bdl0I有 R2L0IrI2rB，可得 22R2RB2r0jdr2022R2B2(0.05)21053.13A ，r=0.04m时，II40.040r 42

dEI3.13134.510V/(ms) 122dt0S8.85103.14(0.05)

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