初二下数学综合训练较难(含解析)

一、单选题

1．星期天，小明和爸爸去大剧院看电影．爸爸步行先走，小明在爸爸离开家一段时间后骑自行车去，两人按相同t分）的路线前往大剧院，他们所走的路程s（米）和时间（的关系如图所示．则小明追上爸爸时，爸爸共走了（ ）

A．12分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．21分钟

2．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于

点G，H，连接GH，则

的值为（ ）

A． B． C． D．1

3．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论： ①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC．

其中正确结论的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54º，则∠B=（ ）

1

A．54º B．60º C．72º D．66º

5．如图， ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）

A． B．2 C． D．3

6．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形 的两个顶点，以 对角线为边作正方形 ，再以正方形的对角线 作正方形 ，…，依此规律，则点 的坐标是（ ）

A．（－8，0） B．（0，8） C．（0，8 ） D．（0，16）

7．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是（ ）

A．13 B．14 C．15 D．16 8．如图，在 ，则

中，∠

的垂直平分线

交AB于点D，交

的延长线于点

的长为（ ）

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A． B． C．二、解答题

D．

9．如图，已知直线AB的函数解析式为y＝2x＋10，与y轴交于点A，与x轴交于点B.

（1）求A，B两点的坐标；

（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问： ①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数解析式；

②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由.

10．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标；

（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3

11．如图，直线 的解析表达式为 ，且 与 轴交于点 ;直线 经过 、 ，直线 、 交于点 . （1）求点 的坐标； （2）求直线 的解析表达式； （3）求⊿ 的面积；

（4）在直线 上存在异于点 的另外一点 ,使得⊿ 与⊿ 的面积相等，请直接写出点 的坐标.

12．如图，已知一次函数y=﹣ x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标及直线AE的表达式；

（2）过点B作BF⊥AE，垂足为F，在y轴上有一点P，使线段PE+PF的值最小，求点P的坐标；

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（3）”，若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．

13．春天来了，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． （1）直接写出小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式； （2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早12分钟达到乙地，求从家到乙地的路程．

14．如图，直线L：y=﹣

1x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每2秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动． （1）点A的坐标：_____；点B的坐标：_____；

（2）求 NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

（3）在y轴右边，当t为何值时， NOM≌ AOB，求出此时点M的坐标；

5

（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG， MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，点C在线段OA上，将 沿直线BC翻折，点A与y轴上的点D（0,4）恰好重合. （1）求直线AB的表达式.

（2）已知点E（0,3），点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接PD，PE，当 PDE的周长取得最小值时，求点P的坐标。

（3）在坐标轴上是否存在一点H，使得 HAB和 ABC的面积相等？若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由。

16．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）． （1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出 OPA的面积S关于x的函数解析式，

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并写出自变量x的取值范围．

（3）探究：当点P运动到什么位置时， OPA的面积为 ，并说明理由．

17．如图1，直线 分别与 轴、 轴交于A、B两点，与直线 交于点C（2， ）．平行于 轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、 轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角 DEF，设直线l的运动时间为 （秒）． （1）求 、 的值；

（2）当 为何值时，点F在 轴上（如图2）；

（3）设 DEF与 BCO重叠部分的面积为S，请求出S与 的函数关系式，并写出 的取值范围．

7

18．如图1，在平面直角坐标系中，A、B坐标为(6，0)、(0，6)，P为线段AB上的一点 (1) 如图1，若S AOP＝12，求P的坐标

(2) 如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，则在M、N运动的过程中，线段PM、PN之间有何关系？并证明

(3) 如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别与F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由

19．如图，将边长为15的正方形OEFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合，边长为 的等边△ABC的边BC垂直于x轴，△ABC从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当BC边与直线EF重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△PAC的面积为y．

（1）当x为何值时，P、A、B三点在同一直线上，求出此时A点的坐标；

（2）在△ABC向右平移的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？ （3）在△ABC向上移动的过程中，当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？ ．

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20．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）． （1）直线y48x经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积； 3332，0），且与直线y=3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于23（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式； （3）若直线l1经过点F（﹣

点M，交直线l1于点N，求 NMF的面积．

21．如图，在⊿ABC中， ACB90 , ACBC, P是⊿ABC内的一点，且PA3, PB1, CDPC2，

CDCP；求BPC的度数.

9

22．把长方形沿对角形线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，

求∠AOC和∠BAC的度数；

若AD=33，OD=3，求CD的长

23．310

24．已知实数a满足|300﹣a|+ ＝a，求a﹣3002的值．

三、填空题

25．已知直线l1：y=（k﹣1）x+k+1和直线l2：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数． （1）当k=2时，直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2=______；

（2）当k=2、3、4，……，2018时，设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，……，S2018，则S2+S3+S4+……+S2018=______．

26．如图，有一条折线 ，它是由过 ， ， 组成的折线依次平移4，8，12， 个单位得到的，直线 与此折线恰有 ，且为整数 个交点，则k的值为______．

32017102018 ；

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27．如图3，在 ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为 __________.

28．已知1＜x＜2， ，则 29．若m＝ 的值是_____．

，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝_____．

30．（2011•成都）设，，，…，

．

设，则S= _____________ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

11

参

1．C 【解析】 【分析】

根据图象可得到爸爸和小明的解析式，然后联立两直线解析式，解出方程，便可得到答案. 【详解】

爸爸的解析式y1＝

x＝80x，小明解析式为：解得：k＝180，

b＝－1800，即y2＝180x－1800，联立两直线解析式可得：80x＝180x－1800，解得：x＝18， 故答案选C. 【点睛】

本题主要考查了利用待定系数法得出解析式，再利用两直线相交的关系解答，要会读懂图象中的信息,当在图象中两直线相交，即可得出小明追上了爸爸. 2．C

【解析】分析：首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出 BGH∽△BAC，可得 （ ） （ ） , ，由此即可解决问题．

详解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC，DC=AB， ∵AC=CA， ∴△ADC≌△CBA， ∴S ADC=S ABC，

∵AE=CF= AC，AG∥CD，CH∥AD，

∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3， ∴AG：AB=CH：BC=1：3， ∴GH∥AC， ∴△BGH∽△BAC， ∴

（ ） （ ） ，

1

∵

，

∴ .

故选：C．

点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．B

，易证四边形AECF是【解析】分析：①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°平行四边形，即可解题；

②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；

③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角， FPC不一定为等腰三角形；

④当BP=AD或 BPC是等边三角形时， APB≌△FDA，即可解题． 详解：①如图，EC，BP交于点G；

∵点P是点B关于直线EC的对称点， ∴EC垂直平分BP， ∴EP=EB， ∴∠EBP=∠EPB， ∵点E为AB中点， ∴AE=EB， ∴AE=EP， ∴∠PAB=∠PBA，

2

∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即

， ∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°， ∴∠PAB+∠PBA=90°∴AP⊥BP， ∴AF∥EC； ∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形， 故①正确； ， ②∵∠APB=90°， ∴∠APQ+∠BPC=90°由折叠得：BC=PC， ∴∠BPC=∠PBC，

∵四边形ABCD是正方形， ， ∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°∴∠ABP=∠APQ， 故②正确； ③∵AF∥EC，

∴∠FPC=∠PCE=∠BCE， ∵∠PFC是钝角，

当 BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP， 如右图， PCF不一定是等腰三角形， 故③不正确；

， ④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°∴Rt EPC≌△FDA（HL），

，∠FAD=∠ABP， ∵∠ADF=∠APB=90°

当BP=AD或 BPC是等边三角形时， APB≌△FDA， ∴△APB≌△EPC， 故④不正确；

其中正确结论有①②，2个， 故选：B．

3

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．C

【解析】分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即 GEF、 BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．

详解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；

则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG， 即G是BC的中点；

连接EG，在Rt BEC中，EG是斜边上的中线， 则BG=GE=FG= BC； ∵AE∥FG，

， ∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°， ∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°-108°=72°． ∴∠B=∠BEG=180°故选C．

点睛：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 5．C

【解析】分析：证明 BNA≌△BNE，得到BA=BE，即 BAE是等腰三角形，同理 CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 详解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在 BNA和 BNE中，

4

＝

＝

，

＝ ∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE，

∴△BAE是等腰三角形， 同理 CAD是等腰三角形，

∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是 ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=．

故选：C．

点睛：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 6．D

【解析】【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，可求出从A到A3变化后的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，继而得出A8坐标即可. 【详解】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘 ，

∵从A到 经过了3次变化， ∵45°×3＝135°，1× ＝2 ，

∴点 所在的正方形的边长为2 ，点 位置在第四象限， ∴点 的坐标是（2，－2）， 可得出： 点坐标为（1，1），

点坐标为（0，2）， 点坐标为（2，－2）， 点坐标为（0，－4）， 点坐标为（－4，－4）， （－8，0），A7（－8，8）， （0，16）， 故选D.

【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.

5

7．C 【解析】 【分析】

如图：过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】

如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，

过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE=A′E，A′P=AP， ∴AP+PC=A′P+PC=A′C，

∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，

在Rt A′QC中，由勾股定理得：A′C= =15cm，

故选C. 【点睛】

本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，找出最短路线是解题关键. 8．B

【解析】试题分析：连接AE，如图：

设CE=x，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt三角形ACE中，

6

2解得x=AE2AC2CE2即（3x）42x2，．

考点：1．线段垂直平分线的性质2．勾股定理．

9．（1）A（0，10），B（－5，0）；（2）①S＝5a＋25（－5≤a≤0）；②存在点P使得EF的值最小，最小值为2 .

【解析】【分析】（1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；

（2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；

②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值．

【详解】（1）对于直线AB的解析式y＝2x＋10，

令x＝0，得到y＝10， 令y＝0，得到x＝－5， 则A（0，10），B（－5，0）； （2）连接OP，如图，

①∵P（a，b）在线段AB上，∴b＝2a＋10， 由0≤2a＋10≤10，得到－5≤a≤0， 由（1）得OB＝5， ∴ ＝ OB·（2a＋10），

则S＝ （2a＋10）＝5a＋25（－5≤a≤0）； ②存在，理由：

， ∵∠PFO＝∠FOE＝∠OEP＝90°

7

∴四边形PFOE为矩形，∴EF＝PO， ∵O为定点，P在线段AB上运动， ∴当OP⊥AB时，OP取得最小值， ∵AB·OP＝OB·OA，

即 ×5 ·OP＝ ×5×10，解得OP＝2 ， ∴EF＝OP＝2 ，

综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2 .

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积等，综合性较强，熟练掌握相关性质及定理是解本题的关键．

10．（1）A（2，0）；C（0，4）；（2） ；（3）存在，P的坐标为（0，0）或 或 . 【解析】

试题分析：（1）已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；（2）根据题意可知 ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；

（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．

试题解析：（1）A（2，0）；C（0，4）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x， 根据题意得：（4-x）2+22=x2解得：x= 此时，AD=，D(2，)

设直线CD为y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4

解得：k=-

∴该直线CD解析式为y=- x+4．

（3）①当点P与点O重合时， APC≌△CBA，此时P（0，0） ②当点P在第一象限时，如图，

8

由 APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q， 在Rt ADP中，

AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2

由AD×PQ=DP×AP得： PQ=3 ∴PQ=

∴xP=2+ = ，

把x= 代入y=- x+4得y= 此时P(，)

（也可通过Rt APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标） ③当点P在第二象限时，如图

同理可求得：CQ= ∴OQ=4- = 此时P(- ， )

综合得，满足条件的点P有三个，

分别为：P1（0，0）；P2( ， )；P3(- ， )．

9

考点：一次函数综合题．

11．（1） ；（2）直线 的解析表达式为 ；（3） ；（4） . 【解析】【分析】（1）已知 的解析式，令y=0求出x的值即可；

（2）设直线 的解析表达式为 ，根据图示利用待定系数法即可得； （3）联立方程组，求出交点C的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可得； （4）△ADP与△ADC的底边都是AD，面积相等，所以高相等，△ADC的高就是点C到AD的距离，从而可得点P的纵坐标，代入 的解析式即可得.

【详解】（1）由 令 ，得到： ，

解得： ， ∴ ；

（2）设直线 的解析表达式为 ， 由图象知：当 时 ；当 时， ，

则有 ，

解得： ，

∴直线 的解析表达式为 ；

，解得 ， （3）由

∴ ， ∵ ，

∴ ；

（4）△ADP与△ADC的底边都是AD，由面积相等，所以高相等，△ADC的高就是点C到AD的距离，即点C的纵坐标的绝对值为|-3|=3，所以点P到AD的距离为3，

∴点P纵坐标的绝对值是3，点P与点C不是同一个点， ∴点P点纵坐标是3， ∵ ,y=3， ∴ =3， 解得x=6，

10

∴P（6，3）.

【点睛】本题考查了待定系数法、一次函数的性质、三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

12．（1）B（8，0），y=﹣2x+6；（2）P（0，﹣）；（3）点E坐标为（，0）或（6，0）．

【解析】 【分析】

222222（1）设OE=x，作EM⊥AB于M．在Rt EBM中，根据EM+BM=EB，可得x+4=（8-x），

求出x即可解决问题；

（2）如图2中，作点E关于y轴的对称点E′，连接FE′交y轴于P，此时PE+PF的值最小．想办法切线直线FE′的解析式即可解决问题；

（3）①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．利用全等三角形的性质，证明四边形OPFQ是正方形即可解决问题；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）. 【详解】 （1）如图1中，

∵一次函数y=﹣ x+6的图象与坐标轴交于A、B点， ∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M． ∵AE平分∠OAB，OE⊥OA， ∴OE=EM=x，

在 AEO和 AEM中， ，

∴△AEO≌△AEM， ∴AM=AO=6，

， ∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°

11

∴AB= 2= 2 2=10， ∴BM=4，

222

在Rt EBM中，∵EM+BM=EB， 222∴x+4=（8﹣x），

∴x=3， ∴E（3，0），

设直线AE的解析式为y=kx+b， 则 ， 解得 ，

∴直线AE的解析式为y=﹣2x+6；

（2）如图2中，作点E关于y轴的对称点E′，连接FE′交y轴于P，此时PE+PF的值最小．

∵BF⊥AE，

∴直线BF的解析式为y= x﹣4，

由 解得 ，

∴F（4，﹣2），

∴直线FE′的解析式为y=﹣ x﹣ ， ∴P（0，﹣ ）．

（3）①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．

12

∵四边形EFMN是正方形， ∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ， ∴∠EFP=∠MFQ， ， ∵∠FPE=∠FQM=90°∴△FPE≌△FQM，

∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x． ， ∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°∴∠FAQ=∠FBP， ， ∵∠AQF=∠BPF=90°∴△AQF≌△BPF， ∴AQ=BP， ∴6+x=8﹣x ∴x=1， ∴F（1，﹣1），

∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6， ∴E（ ，0）；

②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．

13

综上所述，满足条件的点E坐标为（ ，0）或（6，0）． 【点睛】

本题考查一次函数综合题、角平分线的性质定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．

13．（1）y＝20x；（2）小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km；（3）31km． 【解析】 【分析】

（1）由图像确定解析式形式为y＝kx，代点求值即可, （2）求图像的交点,令函数解析式相等,组成方程求解即可, （3）根据题意,设从家到乙地的路程为m,列方程即可解题. 【详解】

解：（1）设小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式y＝kx， ∴10＝0.5k， ∴k＝20，

∴小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式为y＝20x； 故答案为：y＝20x；

3＝60（km/h） （2）妈妈驾车速度：20×设直线BC解析式为y＝20x+b1， 把点B（1，10）代入得b1＝﹣10 ∴y＝20x﹣10，

14

设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0）

代入得b2＝﹣80 ∴y＝60x﹣80 ∴ ， 解得

∴交点F（1.75，25），

答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km； （3）设从家到乙地的路程为m（km）

则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y＝60x﹣80，y＝20x﹣10 得：x1＝

，x2＝

，

∵x2﹣x1＝ ＝ ， ∴

﹣

＝，

∴m＝31．

∴从家到乙地的路程为31（km）．

【点睛】

本题考查了一次函数的图像与性质,一次函数的实际应用,中等难度,从函数图像中获取有用信息是解题关键.

14．（1）（4，0），（0，2）；（2）S{82t(0t4)2t8(t4) ；（3）M（2，0）；（4）G（0，

51）.

【解析】试题分析：（1）在y1x2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标； 2（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；

15

（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标； （4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到则可求得OG的长，可求得G点坐标． 试题解析：解：（1）在y（0，2）；

（2）由题题意可知AM=t．

①当点M在y轴右边，即0＜t≤4时，OM=OA﹣AM=4﹣t． ∵N（0，4），∴ON=4，∴S=

OGOM，NGMN1，Bx2中，令y=0，得x=4，令x=0可，y=2，∴A（4，0）

211OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t； 22②当点M在y轴左边，即t＞4时，则OM=AM﹣OA=t﹣4， ∴S=

1×4×（t﹣4）=2t﹣8； 282t(0t4)2t8(t4) ；

综上所述： S{（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；

22（4）∵OM=2，ON=4，∴MN=24=25．

∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴

OGOM，且NG=ON﹣OG， NGMN51）．

∴

OG2，解得OG=51，∴G（0，

4OG25点睛：本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．

15．（1） ；（2）P（ ）；（3）存在这样的H点使之成立；

， ， 【解析】 【分析】

（1）根据翻折求出点A的坐标,代入即可求得;

16

（2）求出直线AE和直线BC的解析式,联立可求出点P的坐标; （3）分两种情况,当点H在x轴上和在y轴上分析. 【详解】

(1) 对于直线 , 当x=0时,y=-6, 又∵D（0,4）, ∴BD=10,

由翻折知AB=BD=10,

根据勾股定理得OA= = =8, ∴A(8,0),

把A(8,0)代入 得k=,

∴y=

(2)过点D作BC的对称点A(8,0),

∵E(0,3) ,

∴直线AE的解析式为y=-x+3,

∵A,D关于BC对称,

∴OP=OP, PDE的周长=DE+DP+EP, 设OC=x,则CD=CA=8-x,

+4²=(8-x)²,解得x=3, 在Rt DOC中,x²∴C(3,0) ∵C(3,0),B(0,-6),

∴直线BC的解析式为y=2x-6, 联立

,解得 ,

17

∴P（ ）；

(3) 存在这样的H点使之成立, ∵ =×AC×BO=×5×6=15,

∴当点H在x轴上时,得 ; 当点H在y轴上时,设H(0,a), ∵ =∣a+6∣·8=15,即a=-或-,

∴综上, ， ， . 【点睛】

此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，解本题的关键是设出OC的长度，表示出直线BC和直线AE的解析式．

16．（1）k= ；（2） OPA的面积S= x+18 （﹣8＜x＜0）（3）；点P坐标为（ ，）或（ ， ）时， 三角形OPA的面积为．

【解析】 【分析】

（1）将点E坐标（﹣8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式； （2）由点A的坐标为（﹣6，0）可以求出OA=6，求 OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出 OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围． （3）分点P在x轴上方与下方两种情况分别求解即可得. 【详解】

（1）∵直线y=kx+6过点E（﹣8，0）， ∴0=﹣8k+6， k=；

（2）∵点A的坐标为（﹣6，0）， ∴OA=6，

∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点， ∴△OPA的面积S= ×6×（ x+6）= x+18 （﹣8＜x＜0）；

18

（3）设点P的坐标为（m，n），则有S AOP= ，

即

，

解得：n=±，

当n=时，=x+6，解得x= ，

此时点P在x轴上方，其坐标为（ ， ）； 当n=- 时，- = x+6，解得x= ，

此时点P在x轴下方，其坐标为（ ， ），

综上，点P坐标为：（ ，）或（ ， ）.

【点睛】

本题考查了待定系数法、三角形的面积、点坐标的求法，熟练掌握待定系数法、正确找出各量间的关系列出函数解析式，分情况进行讨论是解题的关键.

17．（1） ， ；（2）当 ＝1时，点F在 轴上；（3）当0＜t≤1时，S=﹣3t2+4t；当1＜t＜2时，S=（t﹣2）2． 【解析】

分析：（1）利用待定系数法即可求得k和b的值；

（2）当F在y轴上时，F到DE的距离等于DE的长的一半，据此即可列方程求得t的值；

（3）分F在y轴的左侧和右侧两种情况进行讨论，当F在y轴的左侧时，阴影部分是两个等腰直角三角形面积的差，当F在y轴的右侧时，阴影部分就是△DEF的面积，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式． 详解：（1）把（2， ）代入y=﹣ x+b得：﹣ +b= ，解得：b=4； 把（2， ）代入y=kx中，2k= ，解得：k= ． 故答案为： ，4；

（2）由（1）得两直线的解析式为：

y=﹣ x+4和y= x，依题意得：OP=t，则D（t，﹣ t+4），E（t， t），

19

∴DE=﹣2t+4，作FG⊥DE于G，则FG=OP=t．

∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，∴FG= DE，即t= （﹣2t+4），解得：t=1．

（3）当0＜t≤1时（如图1），S△DEF=（﹣t+4﹣t）•（﹣t+4﹣t）=（﹣2t+4）

2

=（t﹣2）2，在y轴的左边部分是等腰直角三角形，底边上的高是： （﹣ t+4﹣ t）

﹣t= （﹣2t+4）﹣t=2﹣2t，则面积是：（2﹣2t）2． S=（t﹣2）2﹣（2﹣2t）2=﹣3t2+4t；

当1＜t＜2时（备用图），作FK⊥DE于点K．则： S=（t﹣2）2．

综上所述：当0＜t≤1时，S=﹣3t2+4t；当1＜t＜2时，S=（t﹣2）2．

点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及三角形的面积的计算，正确表示出DE的长是关键．

18．（1）P(2，4)；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（3）OD＝AE，理由见解析 【解析】试题分析：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．线求出直线AB的解析式，利用面积构建方程求出PH即可解决问题；

（2）结论：PM=PN，PM⊥PN．连接OP．只要证明 PON≌△PAM即可解决问题； （3）结论：OD=AE．如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由 DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明 PAE≌△PAG即可解决问题； 试题解析：解：（1）如图1中，作PH⊥OA于H．

20

∵A（6，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．∵ y=4时，4=﹣x+6，∴x=2，∴P（2，4）． （2）结论：PM=PN，PM⊥PN．证明如下： 如图2中，连接OP．

1•OA•PH=12，∴PH=4，当2

∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，∴∠OPA=90°． ∵AM=ON，OP=OP，∴△PON≌△PAM，∴PN=PM，∠OPN=∠APM，∴∠NPM=∠OPA=90°，

∴PM⊥PN，PM=PN．

（3）结论：OD=AE．理由如下：

如图3中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．

∵BD⊥OP，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠

21

AOG=∠DBO，∵OB=OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD=AG，∠BDO=∠G．∵∠BDO=∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，∴△PAE≌△PAG，∴AE=AG，∴OD=AE． 点睛：本题是三角形综合题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

19．（1）A ， ；

（2）x=0时，y最小=，x=12时，y最大= ，

（3），y最大= ，y最小= . 【解析】如图,当P、A、B在同一直线上时,

中,

,

,

则

,

此时点A的坐标为

;

, (秒),

如图,

中,

当

,

时,

22

梯形 ,

,

,

,

由一次函数性质可以知道:当时,;

当时,;

当向右移动时,的面积由逐步增大到;

当向上移动时,的面积由逐步减小到.

20．（1）四边形AECD在面积为10；（2）直线l的解析式为y=2x-4；（3）【解析】试题分析：（1）由题意知边长已经告诉，易求四边形的面积；

361 12（2）直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，设与DC交于点F，根据正方形的性质，可求出F点坐标，设直线l的解析式是y=kx+b，把E、F的坐标代入即可求出解析式；

（3）根据直线l1经过点F（﹣

3，0）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可2求出b的值即可得出直线11，同理求出解析式y=2x-3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积． 试题解析：（1）在y=令y=0，即

4848x中，令y=4，即x=4，解得：x=5，则B的坐标是（5，0）； 333348x=0，解得：x=2，则E的坐标是（2，0）． 3311（AE+CD）•AD （4+1）×4=10； 22则OB=5，OE=2，BE=OB﹣OA=5﹣2=3，∴AE=AB﹣BE=4﹣3=1， 四边形AECD的面积=

（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF=AE=1，

23

则F的坐标是（4，4）． 设直线的解析式是y=kx+b，则{4kb4k2 ，解得： { ．

2kb0b4则直线l的解析式是：y=2x﹣4； （3）∵直线l1经过点F（﹣

2，0）且与直线y=3x平行， 3设直线11的解析式是y1=kx+b，则：k=3， 代入得：0=3×（﹣∴y1=3x+

39）+b，解得：b=， 229， 222个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+， 33155即：y=2x﹣3，当y=0时，x=，∴M（，0），

333已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移

95x752得： {解方程组{， 6 ，即：N（﹣7，﹣19）

16y19y2x33y3x153361×[﹣（﹣）]×|﹣19|=． 23212361答： NMF的面积是．

12S NMF=

【点睛】本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式． 21．135°

【解析】整体分析：

连接BD，等腰直角 DAB与等腰直角 CDP有公共顶点C，则可证明⊿CAP≌⊿CBD，求得DB的长，判断 DBP是直角三角形，从而求得∠BPC的度数. 解：如图，连接BD

∵CDCP， CDPC2 ∴⊿PCD为等腰直角三角形．

24

∴CPD45.

∵ACPBCPBCPBCD90 ∴ACPBCD ∵CACB

∴⊿CAP≌⊿CBD (SAS) ∴DBPA3

在Rt⊿CPD中, DP2CP2CD222228. 又∵PB1,DP8

∴DB2DP2PB2819. ∴DPB90

∴CPBCPDDPB4590135. 22．(1)∠AOC=120°，∠BAC=60°（2）CD=3

【解析】试题分析：(1)利用平行线的性质，三角形的外角定理解决即可；（2）利用

2等角对等边性质定理和勾股定理解决即可.

试题解析：

(1)∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC , B900 ∴∠1=∠3

25

∵翻折后∠1=∠2 ∴∠2=∠3 ∵翻折后BB900 ∠BAO=30°

∴AOCBBAO1200 ∴∠2=∠3=30°

∴BACBAO3600 （2）∵∠2=∠3 ∴AO=CO ∵AD=33,OD=3 ∴AO=CO=23 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠D是直角

∴在RtODC中， CDOCOD22233223

点睛：图形的翻折问题中，翻着前后的线段和角分别对应相等，本题还要注意矩形隐含的条件——平行线，这个也是解题的关键.

23．103 【解析】整体分析：

mmm

逆用积的乘方法则，即ab=(ab)，结合平方差公式计算.

310

=310310310 =[310310]×310 =（-1）×310

解： 31020172017201820172017

2017

=103. 24．401. 【解析】

26

【分析】

2

由二次根式有意义的条件可得出a的范围为a≥401，对方程去绝对值，整理得出a﹣300=401.

【详解】

由题意得：a﹣401≥0， ∴a≥401，

∴原方程可化为a﹣300+ =a，

2

∴300=a﹣401， 2

∴a﹣300=401.

【点睛】

本题主要考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简以及方程的变形. 25． 1

【解析】分析：利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标． （1）代入k=2，可得出d的值，利用三角形的面积公式可求出S2的值；

（2）分别代入k=2、3、4、…、2018求出S2、S3、S4、…、S2018值，将其相加即可得出结论．

详解：当y=0时，有（k-1）x+k+1=0， 解得：x=-1- ，

∴直线l1与x轴的交点坐标为（-1- ，0），

同理，可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（-1-，0），

∴两直线与x轴交点间的距离d=-1--（-1-

）=

-．

联立直线l1、l2成方程组，得：

＝ ＝

，解得： ，

＝ ＝

∴直线l1、l2的交点坐标为（-1，-2）． （1）当k=2时，d= - =1， ∴S2= ×|-2|d=1．

27

故答案为：1．

（2）当k=3时，S3= ；当k=4时，S4= ；…；S2018= ， ∴S2+S3+S4+……+S2018=

，

= ， =2- ， =

．

故答案为：．

点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 26．

【解析】 【分析】 由点有

（

、的坐标，结合平移的距离即可得出点

，且为整数）个交点，即可得出点.

【详解】 由点

、

的坐标，结合平移的距离即可得出点

与此折线恰有

（

的坐标(4n-4,0)， 的坐标，再由直线

在直线

与此折线恰上.故可得

因为，直线所以点所以，解得

故答案为： 【点睛】

，且为整数）个交点，

在直线

上.

的下一个点必须在直线上，即可得出点

， .

本题考核知识点：规律探索. 解题关键点：根据平移知识和一次函数性质，结合图形分析规律. 27．10

28

【解析】 【分析】

先利用勾股定理在Rt ABD中求出AD的长，再利用勾股定理在Rt 中求出AC的长即可. 【详解】

∵AD⊥BC与D，AB=17，BD=15， ∴AD= =8. ∴AC= =10. 故答案为：10 【点睛】

本题主要考查了勾股定理的运用，在不同直角三角形中灵活运用勾股定理是解题关键. 28．-2 【解析】

∵x+ =7，∴x-1+ =6，∴（x-1）-2+ =4， 即 ∴

=4，

=±2，

故答案为：±2.

【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形. 29．4030 【解析】 【分析】

利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】 m= = m= （ ）（ ）（ ）= +1，

32

∴m-m-2017m+2015

=m2（m﹣1）﹣2017m+2015

= （ +1）2× ﹣2017（ +1）+2015

29

=（2017+2 ）× ﹣2017 ﹣2017+2015 =2017 +2×2016﹣2017 ﹣2 =4030. 故答案为4030. 【点睛】

本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算. 30．【解析】 ∵Sn=1+

+

=

=

=

，

∴==1+﹣，

∴S=1+1﹣+1+﹣ … 1 ﹣

=n+1﹣

==．

故答案为：

．

30