2008年青岛市中考数学试题及答案

2008年山东省青岛市中考数学试题

（考试时间：120分钟；满分120分）

真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．

2．本试题共有24道题，其中1—7题为选择题，请将所选答案的标号，写在第7题后面给出表格的相应位置上：8—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15—24题请在试题给出的本题位置上做答． 一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选，选错或选出的标号超过一个的不得分，请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7小题后面表格的相应位置上．

1的相反数等于（ ） 411A． B． C．4

441．D．4

2．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 3．已知

O1和O2的半径分别为3cm和2cm，圆心距O1O24cm，则两圆的位置关系是

（ ）

A．相切 B．内含 C．外离 D．相交

4．某几何体的三种视图如右图所示，则该几何体可能是（ ） 主视图 左视图 俯视图

A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体

5．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 6．如果点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是直线ykxb上的两点，且当x1x2时，y1y2，那么函数y

k

的图象大致是（ ） x

y O x

y O x

y O x

y O x

7．如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的△ABC，如果图①中

△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在图②中的对应点P的坐标为（ ）

A．(a2，b3)

B．(a3，b2)

C．(a3，b2)

D．(a2，b3)

y y

3 3  B

2 2

1 B 1 A －3 －3 －2 －Ｏ1 1 2 3 －2 －Ｏ1 1 2 3 x x  P－1 －1 C －2 －2 A

Ｐ －3 －3 C 图① 图②

二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）请将8—14各小题的答案填写在第14小题后面表格的相应位置上． 8．计算：22 ．

01x29 ． 9．化简：

x3

10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若

AOB60，AB4cm，则AC的长为 cm．

11．如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，如果AB10，CD8，那么AE的长为 ．

12．为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x，则根据题意可列方程为 ．

13．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A，B两名候选人测试成绩

测试项目

进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．根A B 据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2面试 90 95 的比例计算两人的总成绩，那么 （填A或B）将综合知识测试 85 80 被录用．

14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．母线

OE(OF)长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA2cm，一只蚂蚁

从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm． Ｏ Ａ

Ｅ

Ｆ

第14题图 三、作图题（本题满分6分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．如图，AB，AC表示两条相交的公路，现要在BAC的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000米． （1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P．

1cm （2） 解：（1）

B

四、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 16．（本小题满分6分） 用配方法解一元二次方程：x2x20．

2A C

17．（本小题满分6分）

某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：

被抽取学生视力在4.9以下 被抽取学生2008年的视 的人数变化情况统计图 力分布情况统计图 人数 A：4.9以下

B

800 A B：4.9－5.1

30%

40% C：5.1－5.2 500 C D D：5.2以上 300 20%10% （每组数据

0

2006 2007 2008 时间（年） 只含最低值

不含最高值） 解答下列问题：

（1）该市共抽取了多少名九年级学生？

（2）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？

（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字）． 18．（本小题满分6分）

小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．

这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？

红 红 黄 白

蓝 蓝

19．（本小题满分6分）

在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6，最大夹角为.5．

请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）

（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin.50.90，tan.52.1）

D Ｃ  Ｄ

B

A 20．（本小题满分8分）

2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题： （1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？ 21．（本小题满分8分）

已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90得到△DAE，

A

D

判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由． E F G

B E

C

22．（本小题满分10分）

某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？ y(件)

400 300

Ｏ 60 70 x(元)

23．（本小题满分10分）

实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？ 建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型： 在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ 为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：134（如图①）；

（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1327（如图②）

（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13310（如图③）：

（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13(101)28（如图⑩）

红 红 黄 黄 红 红 9个 红 黄 9个 黄 黄

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ； （2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 ； （3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n20），则最少需摸出小球的个数是 ．

模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ． （2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n20），则最少需摸出小球的个数是 ． 问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型； （2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生． 24．（本小题满分12分） 已知：如图①，在Rt△ACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0t2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

2

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理

由．

B P

A Q C

图①

B P A Q C 图② P

2008年山东省青岛市中考数学试题参及评分标准

说明：

1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．

2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．

4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D D C B C 二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

题号 8

9 10 11 答案 32 x＋3

8 2 题号 12

13 14

答案

560002x20000x20 B

241

三、作图题（本题满分6分） 15．解：（1）1000米=100000厘米，

100000÷50000=2（厘米）； ···················（2） 略． ····························四、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 16．（本小题满分6分）

解： x22x2， x22x121，

(x1)23， ··················x13，

∴x113， x213. ······················17．（本小题满分6分）

解：（1）800÷40% = 2000（人）； ··················（2）80000×40% = 32000（人）； ···················（3）合理即可． ···························2′

6′

3′ 6′2′4′6′

18．（本小题满分6分）

解：

····························· 2′

∴P（配成紫色）=

27，P（配不成紫色）=．

9922∴小刚得分：1，

9977小明得分：1，

99∵

27

 ， ∴ 游戏对双方不公平． ············ 4′ 99

修改规则的方法不惟一．

（如改为：若配成紫色时小刚得7分，否则小明得2分．） ·········· 6′ 19．（本小题满分6分）

解：设CD在

红 黄 蓝

BDC18.6，

红 白 蓝

为x ，

Rt△BCD中，

（红，红） （红，白） （红，蓝） （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）

∵tanBDCBC， CD∴BCCDtanBDC0.34x． ·········· 2′ 在Rt△ACD中，ADC.5， ∵tanADCAC， CD∴ACCDtanADC2.1x． ·········· 4′ ∵ABACBC，

∴22.1x0.34x． ··········· 5′

x≈1.14．

答：CD长约为1.14米． ··········· 6′ 20．（本小题满分8分）

解：（1）设A种票x张，则B种票(15x)张，

15x，x≥根据题意得： ············ 3′ 2600x120(15x)≤5000解得： 5≤x≤

203． ∴满足条件的x为5或6． ∴共有两种购买方案：

方案一：A种票5张， B种票10张，

方案二：A种票6张， B种票9张． ···········（2）方案一购票费用： 600×5＋120×10=4200（元），

方案二购票费用： 600×6＋120×9=4680（元）， ∵4200＜4680，

∴ 方案一更省钱. ···········21．（本小题满分8分)

证明：（1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°． ∵∠BCD +∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE，

∴△BCG≌△DCE． ············（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90得到△DAE ′，

∴CE=AE ′． ∵CE=CG， ∴CG=AE ′．

∵四边形ABCD是正方形，

6′ 8′

4′

∴BE ′∥DG，AB=CD． ∴AB－AE ′ =CD－CG， 即BE ′ =DG．

∴四边形DE ′ BG是平行四边形． ········ 8′

22．（本小题满分10分）

解：（1）设y与x的函数关系式为：ykxb，

∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）， k1040060kb∴， 解得．

b100030070kb∴y10x1000． ·········· 4′ （2）P(x50)(10x1000)

P10x21500x50000 ··········· 6′

自变量取值范围：50≤x≤70． ·········· 7′ ∵b150075，a10＜0． 2a20∴函数P10x21500x50000图象开口向下，对称轴是直线x=75． ∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大，

∴当x70时，P最大值6000． ········· 10′ 23．（本小题满分10分）

模型拓展一：（1）1+5=6 ·········· 1′

（2）1+5×9=46 ·········· 2′ （3）1+5（n－1） ·········· 3′

模型拓展二：（1）1＋m ·········· 4′

（2）1+m(n－1) ········· 5′

问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ ······················ 8′

（2）1+18×(10－1) =163 ······················ 10′ 24．（本小题满分12分）

解：（1）在Rt△ABC中，ABBC2AC25，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴

AQACAPAB， ∴2t5t45， ∴t10

7

． ··············（2）过点P作PH⊥AC于H． B

P ∵△APH ∽△ABC， ∴PHBCAPAB， ∴

PH35t5，

A Q H C 图①

∴PH335t，

∴y1132AQPH22t(35t)35t23t． ··········（3）若PQ把△ABC周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴(5t)2tt3(42t)， 解得：t1．

若PQ把△ABC面积平分，

则S1APQSABC， 即－325t2＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． ···（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

3′

6′ 9′

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴

PNtPNBP， ， ∴45ACABB

P N

A Q M C ∴PN4t5， ∴QMCM4t5， 图②∴45t45t2t4， 解得：t10

9． ∴当t109时，四边形PQP ′ C 是菱形．

此时PM33t753， CM485t9， 在Rt△PMC中，PCPM2CM2499815059， PQP ′ C边长为5059． 12′

P ′ ∴菱形