江苏省镇江市2018年中考数学试卷及答案解析

2018年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1．（2分）﹣8的绝对值是 ．

2．（2分）一组数据2，3，3，1，5的众数是 ． 3．（2分）计算：（a2）3= ． 4．（2分）分解因式：x2﹣1= ． 5．（2分）若分式6．（2分）计算：

有意义，则实数x的取值范围是 ．

= ．

7．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为 ．

8．（2分）反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则在每一个象限内，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）

9．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．

10．（2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 ． 11．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=

，则AC= ．

12．（2分）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于 ．

二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

13．（3分）0.000182用科学记数法表示应为（ ）

A．0182×10﹣3 B．1.82×10﹣4 C．1.82×10﹣5 D．18.2×10﹣4

14．（3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

15．（3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（ ）

A．36 B．30 C．24 D．18

16．（3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）

A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50

17．（3分）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）

A．

B． C． D．

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30° （2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1． 19．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组：

=

+1．

20．（6分）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．

21．（6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？

22．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC． （1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．

23．（6分）某班50名学生的身高如下（单位：cm）：

160 163 152 161 167 154 158 171 156 168 178 151 156 154 165 160 168 155 162 173 158 167 157 153 1 172 153 159 154 155 169 163 158 150 177 155 166 161 159 1 171 154 157 165 152 167 157 162 155 160

（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，163，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；

（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：

身高 147.5～151.5 151.5～155.5 155.5～159.5 159.5～163.5 163.5～167.5 167.5～171.5 171.5～175.5 175.5～179.5 合计 频数 11 8 4 n 2 50 频率 0.06 m 0.18 0.16 0.06 1 ①m= ，n= ；

②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？

24．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．

25．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分． （1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；

（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标； （3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为 ．

26．（8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．

27．（9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为 °．

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9． 【画一画】

如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）； 【算一算】

如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长； 【验一验】

如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

28．（10分）如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．

①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段 NQ的长度等于 ．

2018年江苏省镇江市中考数学试卷

参与试题解析

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1．（2分）﹣8的绝对值是 8 ． 【解答】解：﹣8的绝对值是8．

2．（2分）一组数据2，3，3，1，5的众数是 3 ． 【解答】解：数据2，3，3，1，5的众数为3． 故答案为3．

3．（2分）计算：（a2）3= a6 ． 【解答】解：（a2）3=a6． 故答案为：a6．

4．（2分）分解因式：x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ． 【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）．

5．（2分）若分式

有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．

【解答】解：由题意，得 x﹣3≠0， 解得x≠3， 故答案为：x≠3．

6．（2分）计算：【解答】解：原式==

= 2 ．

=2．

故答案为：2

7．（2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为 3 ． 【解答】解：设它的母线长为l， 根据题意得×2π×1×l=3π， 解得l=3，

即它的母线长为3． 故答案为3．

8．（2分）反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则在每一个象限内，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）

【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，4）， ∴4=

，

解得k=﹣8＜0，

∴函数图象在每个象限内y随x的增大而增大． 故答案为：增大．

9．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= 40 °．

【解答】解：连接BD，如图， ∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD=90°，

∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°， ∴∠ACB=∠D=40°． 故答案为40．

10．（2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 k＜4 ． 【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上， 又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方， ∴△=（﹣4）2﹣4×1×k＞0， 解得：k＜4， 故答案为：k＜4．

11．（2分）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=

，则AC=

．

【解答】解：作CD⊥BB′于D，如图，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上， ∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°， ∴△BCB′为等腰直角三角形， ∴BB′=

BC=5

， ，

=

，

∴CD=BB′=

在Rt△ACD中，∵sin∠DAC=∴AC=故答案为

×

=．

．

12．（2分）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于 27 ．

【解答】解：在CD上截取一点H，使得CH=CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．

∵=，

∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD， ∴EG∥FH，同法可证EF∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥EG，

∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形， ∵S△EFG=6，

∴S矩形EQOP=3，即OP•OQ=3， ∵OP：OA=BE：AB=2：3， ∴OA=OP，同法可证OB=3OQ，

∴S菱形ABCD=•AC•BD=×3OP×6OQ=9OP×OQ=27． 故答案为27．

二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

13．（3分）0.000182用科学记数法表示应为（ ）

A．0182×10﹣3 B．1.82×10﹣4 C．1.82×10﹣5 D．18.2×10﹣4 【解答】解：0.000182=2×10﹣4． 故选：B．

14．（3分）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：它的左视图是：

． 故选：D．

15．（3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（ ）

A．36 B．30 C．24 D．18

【解答】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴

=，

解得：n=24， 故选：C．

16．（3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）

A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50

【解答】解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h， 所以1小时后的路程为40km，速度为40km/h， 所以以后的速度为20+40=60km/h，时间为故该车到达乙地的时间是当天上午10：40； 故选：B．

17．（3分）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）

分钟，

A． B． C． D．

【解答】解：连接BP， 由对称性得：OA=OB，

∵Q是AP的中点， ∴OQ=BP，

∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2=3，

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP=1， ∴BC=2，

∵B在直线y=2x上，

设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2， ∴22=（t+2）2+（﹣2t）2， t=0（舍）或﹣， ∴B（﹣，﹣），

∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上， ∴k=﹣故选：C．

=

；

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30° （2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．

【解答】解：（1）原式=+1﹣=1；

（2）原式=a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1=a．

19．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组：

=

+1．

【解答】解：（1）两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x﹣1）=2（x+2）+（x﹣1）（x+2）， 解得：x=﹣，

当x=﹣时，（x﹣1）（x+2）≠0， ∴分式方程的解为x=﹣；

（2）解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2， 解不等式x+1≤4（x﹣2），得：x≥3， 则不等式组的解集为x≥3．

20．（6分）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．

【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为4， 所以所取两点之间的距离为2的概率=

21．（6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？

【解答】解：设这本名著共有x页，

=．

根据题意得：36+（x﹣36）=x， 解得：x=216．

答：这本名著共有216页．

22．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC． （1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= 75 °．

【解答】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠BAE=∠CAF=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC=故答案为：75．

23．（6分）某班50名学生的身高如下（单位：cm）： 160 163 152 161 167 154 158 171 156 168 178 151 156 154 165 160 168 155 162 173 158 167 157 153 1 172 153 159 154 155 169 163 158 150 177 155 166 161 159 1 171 154 157 165 152 167 157 162 155 160

=75°，

（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，163，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；

（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：

身高 147.5～151.5 151.5～155.5 155.5～159.5 159.5～163.5 163.5～167.5 167.5～171.5 171.5～175.5 175.5～179.5 合计 频数 3 10 11 9 8 4 n 2 50 频率 0.06 0.20 m 0.18 0.16 0.08 0.06 0.04 1 ①m= 0.22 ，n= 3 ；

②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？ 【解答】解：（1）=（161+155+174+163+152）=161； （2）①如表可知，m=0，22，n=3， 故答案为：0.22；3；

②这50名学生身高的中位数落在159.5～163.5， 身高在151.5～155.5的学生数最多．

24．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．

【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示， 由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，

设AM=xm，则CN=xm， 在Rt△AFM中，MF=在Rt△CNH中，HN=

，

，

∴HF=MF+HN﹣MN=x+即8=x+

x﹣24，

x﹣24，

解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m，

答：教学楼AB的高度AB长13.3m．

25．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分． （1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式； （2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；

（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为 （11，3） ．

【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点， ∴∴

，

，

∴一次函数y=kx+b的表达式为y=x﹣6；

（2）如图，记直线l与y轴的交点为D， ∵BC⊥l，

∴∠BCD=90°=∠BOC，

∴∠OBC+∠OCB=∠OCD+∠OCB， ∴∠OBC=∠OCD， ∵∠BOC=∠COD， ∴△OBC∽△OCD， ∴

，

∵B（0，6），C（2，0）， ∴OB=6，OC=2， ∴

，

∴OD=， ∴D（0，﹣）， ∵C（2，0），

∴直线l的解析式为y=x﹣， 设E（t，t﹣t）， ∵A（﹣9，0），C（2，0），

∴S△ACE=AC×yE=×11×（t﹣）=11， ∴t=8， ∴E（8，2）；

（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F， ∵∠ABO=∠CBE，∠AOB=∠BCE=90° ∴△ABO∽△EBC， ∴

，

∵∠BCE=90°=∠BOC，

∴∠BCO+∠CBO=∠BCO+∠ECF，

∴∠CBO=∠ECF， ∵∠BOC=∠EFC=90°， ∴△BOC∽△CFE， ∴∴

，

，

∴CF=9，EF=3， ∴OF=11， ∴E（11，3）． 故答案为（11，3）．

26．（8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围

＜AP＜

或AP=5 ．

【解答】解：（1）如图2所示，连接PF， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，

=8，

∵⊙P与边CD相切于点F， ∴PF⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴AC∥PF， ∴△DPF∽△DAC， ∴∴∴x=

， ， ，AP=

；

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3， S▱ABCD=PG=

，

＜AP＜

，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公

=10PG，

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，共点的个数为4，

②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=5，

综上所述，AP的值的取值范围是：故答案为：

＜AP＜

或AP=5．

＜AP＜

或AP=5．

27．（9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为 23 °．

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9． 【画一画】

如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）； 【算一算】

如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长； 【验一验】

如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=46°，

由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°， 故答案为23．

（2）【画一画】，如图2中，

【算一算】如图3中，

∵AG=，AD=9， ∴GD=9﹣=

，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG， ∴∠DFG=∠DGF， ∴DF=DG=

，

∵CD=AB=4，∠C=90°， ∴在Rt△CDF中，CF=∴BF=BC﹣CF=

，

， =

，

由翻折不变性可知，FB=FB′=∴DB′=DF﹣FB′=

﹣=3．

【验一验】如图4中，小明的判断不正确．

理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4， ∴CK=∵AD∥BC， ∴∠DKC=∠ICK，

由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°， ∴∠IB′C=90°=∠D， ∴△CDK∽△IB′C， ∴

=

=

，即

=

=

，

=5，

设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k， 由折叠可知，IB=IB′=4k， ∴BC=BI+IC=4k+5k=9， ∴k=1，

∴IC=5，IB′=4，B′C=3， 在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=

=，

=，

连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=∴tan∠B′IC≠tan∠DIC， ∴B′I所在的直线不经过点D．

28．（10分）如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的

图象交于点Q（异于点O）．

①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段 NQ的长度等于 6 ．

【解答】解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得∵A（4，4），B（3，0） ∴A′（8，8），B′（6，0）

将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c 得

==

解得

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x；

（2）①∵P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上 ∴n=m2﹣3m ∴P（m，m2﹣3m）

设直线OP的解析式为y=kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式， 得mk=m2﹣3m ∴k=m﹣3

∴OP的解析是为y=（m﹣3）x

∵OP与y═x2﹣3x交于Q点 ∴

解得（不符合题意舍去）

∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D 则OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|22﹣6m| ∵

=

=2

∴△OCP∽△ODQ ∴OQ=2OP ∵2AP＞OQ

∴2AP＞2OP，即AP＞OP ∴

＞

化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣

＜m＜1+，且m≠0；

②P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m） ∵点Q在第一象限， ∴

，解得＞3

由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m ∵QQ′交y=x2﹣3x交于点Q′

解得（不符合题意，舍）

∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）

设OQ′的解析是为y=kx，（6﹣2m）k=2m2﹣6m 解得k=﹣m，OQ′的解析式为y=﹣m ∵OQ′与y=x2﹣3x交于点P′

∴﹣mx=x2﹣3x

解得x1=0（舍），x2=3﹣m ∴P′（3﹣m，m2﹣3m） ∵QQ′与y=x2﹣3x交于点P′ ∴﹣mx=x2﹣3x

解得x1=0（舍去），x2=3﹣m ∴P′（3﹣m，m2﹣3m） ∵QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N ∴x2﹣3x=2m2﹣6m 解得x1=∵M在N左侧 ∴M（

，2m2﹣6m） ，x2=

N（

，2m2﹣6m）

∵△Q′P′M∽△QB′N ∴∵

即

化简得 m2﹣12m+27=0 解得：

m1=3（舍），m2=9

∴N（12，108），Q（8，108） ∴QN=6 故答案为：6