历年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷(含答案)

2017年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）我市冬季里某一天的最低气温是﹣10℃，最高气温是5℃，这一天的温差为（ ）

A．﹣5℃ B．5℃ C．10℃

D．15℃

2．（3分）中国的陆地面积约为9600000km2，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A．0.96×107km2

B．960×104km2

C．9.6×106km2 D．9.6×105km2

3．（3分）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）

4．（3分）如图，是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图获得以下信息，其中信息判断错误的是（ ）

A．2010年至2014年间工业生产总值逐年增加 B．2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元 C．2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同

D．从2011年至2014年，每一年与前一年比，2014年的增长率最大

5．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相

1

反数，则a的值为（ ） A．2

B．0

C．1

D．2或0

6．（3分）一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）

A．26π B．13π C． D．

8．（3分）下列运算正确的是（ ） A．（a2+2b2）﹣2（﹣a2+b2）=3a2+b2 B．

﹣a﹣1=

C．（﹣a）3m÷am=（﹣1）ma2m D．6x2﹣5x﹣1=（2x﹣1）（3x﹣1）

9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=

，∠EAF=135°，则以下结论正确的是（ ）

A．DE=1 C．AF=

B．tan∠AFO=

D．四边形AFCE的面积为

的大致图象是（ ）

10．（3分）函数y=

2

A． B． C．

D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若式子

有意义的x的取值范围是 ．

12．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED为 °．

13．（3分）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为 ．

14．（3分）下面三个命题： ①若

是方程组

的解，则a+b=1或a+b=0；

3

②函数y=﹣2x2+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）2+3； ③最小角等于50°的三角形是锐角三角形， 其中正确命题的序号为 ．

15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为 ．

16．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（x，y）（x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1），它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为 ．（用含m，n的式子表示）

三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（10分）（1）计算：|2﹣（2）先化简，再求值：

|﹣÷

（

+﹣

）+； ，其中x=﹣．

18．（6分）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线． （1）求证：BD=CE；

（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

4

19．（10分）为了解某地某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温x（单位：℃）进行调查，并将所得的数据按照12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x＜24，24≤x＜28，28≤x＜32分成五组，得到如图频数分布直方图．

（1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）；

（2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数；

（3）如果从最高气温不低于24℃的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组内的概率．

20．（7分）某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？

21．（6分）已知关于x的不等式（1）当m=1时，求该不等式的解集；

（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．

22．（7分）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

＞x﹣1．

5

23．（7分）已知反比例函数y=（1）若点P1（

（k为常数）．

，y1）和点P2（﹣，y2）是该反比例函数图象上的两点，

试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；

（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=＞0的解集．

24．（9分）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧中点，AC与BD交于点E． （1）求证：DC2=CE•AC；

（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；

（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．

的

（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．

（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重

6

合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

7

2017年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2017•呼和浩特）我市冬季里某一天的最低气温是﹣10℃，最高气温是5℃，这一天的温差为（ ） A．﹣5℃ B．5℃ C．10℃

D．15℃

【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：5﹣（﹣10）， =5+10， =15（℃）． 故选D．

【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

2．（3分）（2017•呼和浩特）中国的陆地面积约为9600000km2，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A．0.96×107km2

B．960×104km2

C．9.6×106km2 D．9.6×105km2

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：将9600000用科学记数法表示为：9.6×106． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8

3．（3分）（2017•呼和浩特）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）

【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．

【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形， ∴通过轴对称得到的是（1）． 故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．

4．（3分）（2017•呼和浩特）如图，是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图获得以下信息，其中信息判断错误的是（ ）

A．2010年至2014年间工业生产总值逐年增加 B．2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元 C．2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同

D．从2011年至2014年，每一年与前一年比，2014年的增长率最大

9

【分析】根据题意结合折线统计图确定正确的选项即可．

【解答】解：A、2010年至2014年间工业生产总值逐年增加，正确，不符合题意；

B、2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元，正确，不符合题意； C、2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同，正确，不符合题意； D、从2011年至2014年，每一年与前一年比，2012年的增长率最大，故D符合题意； 故选：D．

【点评】本题考查了折线统计图，计算增长率是解题关键．

5．（3分）（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ） A．2

B．0

C．1

D．2或0

【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值． 【解答】解：设方程的两根为x1，x2， 根据题意得x1+x2=0，

所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，

当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去， 所以a的值为0． 故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．

6．（3分）（2017•呼和浩特）一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0．再根据k，b的符号判断直线所经过的象限．

10

【解答】解：根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0， 故此函数的图象经过第二、三、四象限， 即不经过第一象限． 故选A．

【点评】能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．

7．（3分）（2017•呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）

A．26π B．13π C． D．

【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论． 【解答】解：连接OA，

∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴AM=AB=6， ∵OM：MD=5：8， ∴设OM=5x，DM=8x， ∴OA=OD=13x， ∴AM=12x=6， ∴x=， ∴OA=×13，

∴⊙O的周长=2OA•π=13π， 故选B．

11

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

8．（3分）（2017•呼和浩特）下列运算正确的是（ ） A．（a2+2b2）﹣2（﹣a2+b2）=3a2+b2 B．

﹣a﹣1=

C．（﹣a）3m÷am=（﹣1）ma2m D．6x2﹣5x﹣1=（2x﹣1）（3x﹣1）

【分析】直接利用分式的加减运算法则以及结合整式除法运算法则和因式分解法分别分析得出答案．

【解答】解：A、（a2+2b2）﹣2（﹣a2+b2）=3a2，故此选项错误； B、

﹣a﹣1=

=

，故此选项错误；

C、（﹣a）3m÷am=（﹣1）ma2m，正确；

D、6x2﹣5x﹣1，无法在实数范围内分解因式，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了分式的加减运算以及整式除法运算和因式分解等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

9．（3分）（2017•呼和浩特）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=

，∠EAF=135°，则以下结论正确的是（ ）

A．DE=1 B．tan∠AFO=

12

C．AF= D．四边形AFCE的面积为

【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB=CD=AD=1，AC⊥BD，∠ADO=∠ABO=45°， ∴OD=OB=OA=

，∠ABF=∠ADE=135°，

在Rt△AEO中，EO==

=

，

∴DE=

，故A错误．

∵∠EAF=135°，∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠DAE=45°， ∵∠ADO=∠DAE+∠AED=45°， ∴∠BAF=∠AED， ∴△ABF∽△EDA， ∴=， ∴

=

， ∴BF=

，

在Rt△AOF中，AF=

=

=

，故C正确，

tan∠AFO===，故B错误，

∴S四边形AECF=•AC•EF=××

=，故D错误，

故选C．

13

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF=135°和∠BAD=90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出BF的长，然后根据对称性求出四边形的面积．

10．（3分）（2017•呼和浩特）函数y=

的大致图象是（ ）

A． B． C．

D．

【分析】本题可用排除法解答，根据y始终大于0，可排除D，再根据x≠0可排除A，根据函数y=

和y=x有交点即可排除C，即可解题．

【解答】解：x取±1，±2，±3，会发现最小值是x取±1时y=2，由此选项C，D错误；

另一部分是绝对值小于1时（0除外），如可取±0.1，±0.001等，就像前面所述，每个图象两侧都是无限上升的，故此排除A．

∵当直线经过（0，0）和（1，1）时，直线解析式为y=x， 当y=x=∴y=x与y=故选B．

【点评】此题主要考查了函数图象的性质，考查了平方根和绝对值大于等于0的性质，本题中求得直线与函数的交点是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

14

时，x无解，

没有有交点，∴B正确；

11．（3分）（2017•呼和浩特）若式子有意义的x的取值范围是 x ．

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再结合分式有意义的条件：分母≠0，可得不等式1﹣2x＞0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：1﹣2x＞0， 解得：x＜， 故答案为：x

，

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数．

12．（3分）（2017•呼和浩特）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED为 114 °．

【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB=180°， ∵∠C=48°，

∴∠CAB=180°﹣48°=132°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB=66°， ∵AB∥CD，

∴∠EAB+∠AED=180°， ∴∠AED=180°﹣66°=114°， 故答案为：114．

【点评】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

15

13．（3分）（2017•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为 （225+25）π ．

【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由圆柱体和圆锥体构成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入表面积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知，几何体是由圆柱体和圆锥体构成， 故该几何体的表面积为：20×10π+π×52+×10π×故答案是：（225+25

）π．

=（225+25

）π

【点评】本题考查了由三视图判断几何体，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．

14．（3分）（2017•呼和浩特）下面三个命题： ①若

是方程组

的解，则a+b=1或a+b=0；

②函数y=﹣2x2+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）2+3； ③最小角等于50°的三角形是锐角三角形， 其中正确命题的序号为 ②③ ． 【分析】①根据方程组的解的定义，把

代入

，即可判断；

②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断； ③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断． 【解答】解：①把

代入

，得

，

16

如果a=2，那么b=1，a+b=3； 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命题①是假命题；

②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题；

③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题．

所以正确命题的序号为②③． 故答案为②③．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义以及性质定理等知识．

15．（3分）（2017•呼和浩特）如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为 3：4 ．

【分析】作MH⊥BC于H，设AB=AC=m，则BM=m，MH=BM=m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=ASA证得△AOE≌△COF，证得AE=FC=求得S△AOE=求得BC=

m，然后根据

m，从而

m，进一步求得OE=AE=

m2，作AN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形m，进而求得BF=BC﹣FC=

m﹣

m=

m，分别求得△AOE与△

BMF的面积，即可求得结论．

【解答】解：设AB=AC=m，则BM=m， ∵O是两条对角线的交点， ∴OA=OC=AC=m， ∵∠B=30°，AB=AC，

17

∴∠ACB=∠B=30°， ∵EF⊥AC， ∴cos∠ACB=，即cos30°=

，

∴FC=

m，

∵AE∥FC， ∴∠EAC=∠FCA，

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=FC=m， ∴OE=AE=

m，

∴S△AOE=OA•OE=××

m=

m2，

作AN⊥BC于N， ∵AB=AC， ∴BN=CN=BC， ∵BN=AB=m，

∴BC=

m，

∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，

作MH⊥BC于H， ∵∠B=30°， ∴MH=BM=m， ∴S△BMF=BF•MH=×

m×m=

m2，∴==．

故答案为3：4．

18

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

16．（3分）（2017•呼和浩特）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（x，y）（x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1），它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为

．（用含m，n的式子表示）

【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出

=，可得答案．

【解答】解：根据题意，点的分布如图所示：

则有∴π=

，

=，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

19

17．（10分）（2017•呼和浩特）（1）计算：|2﹣（2）先化简，再求值：

÷

+

|﹣（﹣）+；

，其中x=﹣．

【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式=（2）原式=

•

﹣2﹣+

+

+=2=+

=﹣1； ，

当x=﹣时，原式=﹣．

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2017•呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．

（1）求证：BD=CE；

（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到

20

BD⊥CE，于是得到结论．

【解答】（1）解：由题意得，AB=AC， ∵BD，CE分别是两腰上的中线， ∴AD=AC，AE=AB， ∴AD=AE，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（ASA）． ∴BD=CE；

（2）四边形DEMN是正方形， 证明：∵E、D分别是AB、AC的中点， ∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，

∵点M、N分别为线段BO和CO中点， ∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC， ∴ED∥MN，ED=MN，

∴四边形EDNM是平行四边形， 由（1）知BD=CE，

又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN， ∴DM=EN，

∴四边形EDNM是矩形， 在△BDC与△CEB中，，

∴△BDC≌△CEB， ∴∠BCE=∠CBD， ∴OB=OC，

21

∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等， ∴O到BC的距离=BC， ∴BD⊥CE，

∴四边形DEMN是正方形．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．

19．（10分）（2017•呼和浩特）为了解某地某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温x（单位：℃）进行调查，并将所得的数据按照12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x＜24，24≤x＜28，28≤x＜32分成五组，得到如图频数分布直方图．

（1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）；

（2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数；

（3）如果从最高气温不低于24℃的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组内的概率．

22

【分析】（1）根据30天的最高气温总和除以总天数，即可得到这30天最高气温的平均数，再根据第15和16个数据的位置，判断中位数；

（2）根据30天中，最高气温超过（1）中平均数的天数，即可估计这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数；

（3）从6天中任选2天，共有15种等可能的结果，其中两天都在气温最高一组内的情况有6种，据此可得这两天都在气温最高一组内的概率． 【解答】解：（1）这

30

天最高气温的平均数为：

=20.4℃；

∵中位数落在第三组内， ∴中位数为22℃；

（2）∵30天中，最高气温超过（1）中平均数的天数为16天， ∴该地这个季度中最高气温超过（1）中平均数的天数为

×90=48（天）；

（3）从6天中任选2天，共有15种等可能的结果，其中两天都在气温最高一组内的情况有6种，

故这两天都在气温最高一组内的概率为

=．

【点评】本题主要考查了频数分布直方图，平均数以及中位数的计算，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题时注意：如果一组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

20．（7分）（2017•呼和浩特）某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840

23

元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？

【分析】设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再算出打折前购买500件A商品和450件B商品所需钱数，结合少花钱数即可求出折扣率．

【解答】解：设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件， 根据题意得：解得：

，

，

500×16+450×4=9800（元），

=0.8．

答：打了八折．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．

21．（6分）（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式（1）当m=1时，求该不等式的解集；

（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集． 【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；

（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．

【解答】解：（1）当m=1时，不等式为去分母得：2﹣x＞x﹣2， 解得：x＜2；

＞x﹣1．

＞﹣1，

（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2， 移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），

24

当m≠﹣1时，不等式有解， 当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2； 当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．

22．（7分）（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM． 【解答】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M， 由题意得：AC=40×10=400（米）． 在直角△ACM中，∵∠A=30°， ∴CM=AC=200米，AM=在直角△BCM中，∵tan20°=∴BM=200tan20°， ∴AB=AM﹣BM=200

﹣200tan20°=200（

﹣tan20°），

AC=200，

米．

因此A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅

25

助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．

23．（7分）（2017•呼和浩特）已知反比例函数y=（1）若点P1（

（k为常数）．

，y1）和点P2（﹣，y2）是该反比例函数图象上的两点，

试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；

（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=＞0的解集．

【分析】（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P1、P2两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．

（2）根据题意求得﹣n=2m，根据勾股定理求得m=1，n=﹣2，得到P（1，﹣2），即可得到﹣k2﹣1=﹣2，即可求得k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得．

【解答】解：（1）∵﹣k2﹣1＜0， ∴反比例函数y=∵﹣＜∴y1＞y2；

（2）点P（m，n）在反比例函数y=∴n＜0，

∴OM=m，PM=﹣n， ∵tan∠POM=2， ∴

=

=2，

的图象上，m＞0，

＜0，

在每一个象限內y随x的增大而增大，

（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+

∴﹣n=2m， ∵PO=

，

∴m2+（﹣n）2=5， ∴m=1，n=﹣2，

26

∴P（1，﹣2）， ∴﹣k2﹣1=﹣2， 解得k=±1，

①当k=﹣1时，则不等式kx+②当k=1时，则不等式kx+

＞0的解集为：x＜﹣＞0的解集为：x＞0．

或0＜x＜

；

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式；也考查了反比例函数和一次函数的交点．

24．（9分）（2017•呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧

的中点，AC与BD交于点E．

（1）求证：DC2=CE•AC；

（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；

（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．

【分析】（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论； （2）求出DC=

，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=

=2

，由圆周角定理得

，

出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB=，得出OB=OC=OD=DC=BC=

证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；

（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵C是劣弧∴∠DAC=∠CDB，

的中点，

27

∵∠ACD=∠DCE， ∴△ACD∽△DCE， ∴

=

，

∴DC2=CE•AC；

（2）证明：∵AE=2，EC=1， ∴AC=3，

∴DC2=CE•AC=1×3=3， ∴DC=

，

连接OC、OD，如图所示： ∵C是劣弧

的中点，

∴OC平分∠DOB，BC=DC=，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=

=2

， ∴OB=OC=OD=DC=BC=

，

∴△OCD、△OBC是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°， ∵OA=OD，

∴△AOD是正三角形；

（3）解：∵CH是⊙O的切线，∴∵∠COH=60°， ∴∠H=30°，

∵∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠H=∠BAC， ∴AC=CH=3，

OC⊥CH，28

∵AH=3，AH上的高为BC•sin60°=，

×=

．

∴△ACH的面积=×3

【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．

25．（10分）（2017•呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．

（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=

，过C作CE∥x轴交抛物线与E，

，0），于是得到结论；

29

则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+

（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．

【解答】解：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为x=2． ∵点M在直线l：y=﹣12x+16上， ∴yM=﹣8．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8． 将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8． （2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8）， 如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H， 设CP的延长线交x轴于D， 则△ACD是等腰三角形， ∴OD=OA=， ∵P点的横坐标是x，

∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8， ∵PH∥OD， ∴△CHP∽△COD， ∴， ∴x=

，

过C作CE∥x轴交抛物线与E， 则CE=4，

设抛物线与x轴交于F，B， 则B（2+

，0），

∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P， ∴当x=

时，∠PCO=∠ACO，

30

当2+当

＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，

＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；

，

（3）解方程组解得：

，

∴D（﹣1，28），

∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）， ∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，

∴当t=﹣1时，S最大=18；

②当0＜t＜时，S=t•8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵ 0＜t＜，

∴当t=﹣1时，S最大=6；

③当＜t＜2时，S=t•8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣， ∵＜t＜2， ∴此时S为最大值．

31

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质和判定，方程组的解法，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，函数图象交点等知识点．综合性强．

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