2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷(附答案与解析)

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内蒙古呼和浩特市2014年中考试卷

数 学

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的) 1.下列实数是无理数的是

( )

A.1

B.0

C.π D.13 2.以下问题,不适合用全面调查的是

( )

A.旅客上飞机前的安检

B.学校招聘教师,对应聘人员的面试 C.了解全校学生的课外读书时间 D.了解一批灯泡的使用寿命

3.已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(1,4)的对应点为C(4,7),则点B(4,1)的对应点D的坐标为

( )

A.(1,2)

B.(2,9)

C.(5,3)

D.(9,4)

4.如图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为

( )

A.60π

B.70π

C.90π

D.160π

5.某商品先按批发价a元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则最后的单价是

( )

A.a元

B.0.99a元

C.1.21a元

D.0.81a元

数学试卷 第1页（共22页） 6.已知eO的面积为2π,则其内接正三角形的面积为

( )

A.33 B.36 C.33

D.3226 7.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是

( )

A.ac＞bc

B.|ab|ab

C.a＜-b＜c D.ac＞-bc 8.下列运算正确的是

( )

A.54g12326 B.(a3)2a3 C.(11ab)2(11baa2b2)ba

D.(a)9a3(a)6

9.已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与

△ABF判断完全正确的一项为 ( )

A.△CDE与△ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等 B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cm C.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cm

D.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定

10.已知函数y1|x|的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c1)在该

函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2bxc0的两根x1,x2判断正确的是

( )

A.x1x2＞1,x1gx2＞0

B.x1x2＜0,x1gx2＞0

C.0＜x1x2＜1,x1gx2＞0

D.x1x2与x1gx2的符号都不确定

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中的横线上) 11.一个底面直径是80cm,母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数

为 .

12.某校五个绿化小组一天的植树棵数如下：10,10,12,x,8.已知这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是 .

13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为 .

14.把多项式6xy29x2yy3因式分解,最后结果为 .

数学试卷 第2页（共22页）

15.已知m,n是方程x22x50的两个实数根,则m2mn3mn . 16.以下四个命题：

①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形； ②当m＞0时,ymx1与ymx两个函数都是y随着x的增大而减小； ③已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A,B,C,D按逆时针依次排列,若A点坐标为(1,3),则D点坐标为(1,3)；

④在一个不透明的袋子中装有标号为1,2,3,4的四个完全相同的小球,从袋中随机摸取一个然后放回,再从袋中随机地摸取一个,则两次取到的小球标号的和等于4的概

率为18.

其中正确的命题有 (只需填正确命题的序号).

三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分,每题5分)

(1)计算：2cos30o(32)1|12|；

(2)解方程：3x22x1x22x0.

18.(本小题满分6分)

如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65o方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45o方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)

数学试卷 第3页（共22页） 19.(本小题满分5分)

2x3≥3,已知实数a是不等于3的常数,解不等式组12(x2a)1并依据a的取值情况2x＜0,写出其解集.

20.(本小题满分9分)

学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况,从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试,并将这50名学生的测试成绩(即60秒跳绳的个数)从低到高分成六段记为第一到六组,最后整理成下面的频数分布直方图：

请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题.

(1)跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？

(2)若用各组数据的组中值(各小组的两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据,求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩(结果保留整数)；

(3)若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生,用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率.

数学试卷 第4页（共22页）

--------------------------在 -------------------- _此_____________--------------------__卷号 生__考__ _ _ _ _ _____--------------------____上_ _ _ _ ________________名__--------------------姓__答 _ _ _ _ ________--------------------__题___校学业毕--------------------无--------------------效---

21.(本小题满分7分)

如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.

(1)求证：△ADE≌△CED； (2)求证：DE∥AC.

22.(本小题满分7分)

为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格.我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4,5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4,5月份的电费分别为多少元？

23.(本小题满分8分)

如图,已知反比例函数ykx(x＞0,k是常数)的图象经

过点A(1,4),点B(m,n),其中m＞1,AMx轴,垂足为

M,BNy轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.

(1)写出反比例函数解析式； (2)求证：△ACB∽△NOM；

(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.

数学试卷 第5页（共22页） 24.(本小题满分8分)

如图,AB是eO的直径,点C在eO上,过点C作eO的切线CM. (1)求证：ACMABC；

(2)延长BC到D,使BCCD,连接AD与CM交于点E,若eO的半径为3,

ED2,求△ACE的外接圆的半径.

25.(本小题满分12分)

如图,已知直线l的解析式为y12x1,抛物线yax2bx2经过点A(m,0),B(2,0),D(1,54)三点.

(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象； (2)已知点P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.

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内蒙古呼和浩特市2014年中考试卷

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】C

【解析】无理数就是无限不循环小数，由此可判断π是无理数，故选C. 【考点】无理数的定义 2.【答案】D

【解析】选择普查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调

查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，工作量大，不适合全面调查，故选D. 【考点】抽样调查和全面调查的区别 3.【答案】A

【解析】平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.因为点A(1,4)的对应点 为C(4,7)，所以平移规律为向右平移5个单位，向上平移3个单位，又因为点B(4,1)，所以点D的坐 标为(1,2)，故选A.

【考点】坐标与图形变化平移 4.【答案】B

【解析】由三视图可以判断此几何体为空心圆柱，其内径为6，外径为8，高为10，圆柱的体积底面积高，

22所以此空心圆柱的体积为10(4π3π)70π，故选B.

【考点】三视图计算几何体的体积 5.【答案】B

【解析】原价提高10%后商品新单价为a(110%)元,再按新价降低10%后单价为a(110%)(110%)元，

由

题意得a(110%)g(1 10% )0.99a（元），故选B. 【提示】找到相应关系是解答此题的关键. 【考点】列代数式解应用题 6.【答案】C

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数学试卷 第8页（共22页）

【解析】如图所示，连接OB，OC，过O作ODBC于D，∵eO的面积为2π，∴eO的半径为2， ∵△ABC为正三角形，∴BOC120，BODBOC60，OB2， ∴126，BC2BD6，∴2，BDOBgsinBOD2sin60ODOBgcosBOD2cos6022∴S△BOC1123，333，故选C. gBCgOD6S△ABC3S△BOC3222222 【提示】根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键. 【考点】垂径定理，等边三角形的性质 7.【答案】D

【解析】∵由图可知，ab0c，∴acbc，故A错误；∵ab，∴ab0，∴|ab|ba，B错

误；∵ab0，∴ab，C错误；∵a-b，c0，∴acbc，故选D. 【考点】实数，数轴，绝对值，实数大小的比较 8.【答案】C 【解析】，A错误；(a3)2|a|3，B错误； 1254g36g3322，C正确；

11211(ab)2(ba)(ba)(ab)2a2b2ab()(22)22gabababa2b2a2b2(ba)(ba)ba(a)9a3a9a3a6，D错误，故选C.

【考点】分式的混合运算，同底数幂的除法，二次根式的混合运算 9.【答案】B

【解析】解：∵AOCO，EFAC，∴EF是AC的垂直平分线，∴EAEC， ∴△CDE的周长CDDECECDAD矩形ABCD的周长10cm，同理得△ABF的周长为10 cm，∵CDAB，CDEABF90，BFDE，∴△CDE≌△ABF，故选B. 5 / 11

12

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质 10.【答案】C

【解析】∵点A(a,c)在第一象限的一支曲线上，∴a0，c0，ac1，∴点B(b,c1)在该函数图像的

另外一支上，∴b0，b(c1)1，∴0x1x2bc1b1，x1x2c0，故选C. a【提示】熟练掌握根与系数的关系和反比例函数图象在各个象限点的特征的解答本题的关键. 【考点】根与系数的关系，反比例函数图像上点的坐标特征

第Ⅱ卷

二、填空题 11.【答案】160

lπd80π，【解析】∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：∵母线长r90cm， 11nπ902∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr80π903600π，3600π，解得n160. 22360【考点】圆锥的计算 12.【答案】1.6

（101012x8）510，x10， 【解析】根据题意有

[3(1010)2(1210)2(810)2]∴这组数据的方差是s16．.

52【考点】方差 13.【答案】63或27

【解析】解：在三角形ABC中，如图所示，ABAC，BDAC于D.①若△ABC是锐角三角形，

A903654，底角ABCC(18054)263；若△ABC是钝角三角形，

.所以此等腰三角形底角的度数是63BAC3690126，ABCC(180126)227 或27.

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理 14.【答案】y(3xy)2

【解析】因式分解的一般步骤：（1）提取公因式；（2）运用公式进一步分解，

223222所以6xy9xyy-y(y6xy9x)-y(3xy).

【考点】提取公因式法，公式法分解因式 15.【答案】8

【解析】由m、n是方程x22x50的两个实数根，得mn2，mn5，且m22m50，

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22而mmn3mn(m2m5)mn502558.

【考点】根与系数的关系，一元二次方程的解 16.【答案】①

【解析】当m0时，函数ym2错误；正方的图像在第一象限、第三象限，y随着x的增大而减小，故○

x形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为(1,3)，则D点坐标

3错误；在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋为(3, 1)，故○

中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为

4错误. 故○

3，16【考点】命题与定理，菱形的性质，一次函数及反比例函数的性质，图形与坐标及概率 三、解答题 17.【答案】（1） （2）x4

【解析】解：（1）原式232311 2322

13(32)

23 =

2

（2）去分母得3x26xx22x0，

2x28x0

∴x0或x4

经检验，x0是增根，∴x4是原方程的解.

【提示】对于第（2）题，分式方程要检验，这点要切记.

【考点】二次根式的混合运算，负指数幂运算，解分式方程，特殊角的三角函数值 18.【答案】802cos25

【解析】解：如图，过点P作PDAB于点D. PD，∴PB2PD. PBPD∵点A在点P的北偏东65方向上，∴APD25，Rt△PAD中，cos25， PA由题意知，DPBDBP45，Rt△PBD中，sin45 7 / 11

∴PDPAcos2580cos25， ∴PB802cos25. 【考点】直角三角形的应用，方向角问题

19.【答案】当a3时，不等式组的解集为x3；当a3时，不等式组的解集为xa.

①2x33 【解析】解：112(x2a)2x0②解①得x3， 解②得xa.

∵a是不等于3的常数，∴当a3时，不等式组的解集为x3； 当a3时，不等式组的解集为xa. 【考点】一元一次不等式组

20.【答案】（1）解：（1）中位数落在第四组，

可以估计初三学生60秒跳绳再120个以上的人数达到一半以上. （2）121 （3）

2 5【解析】（2）x1(27010901211013130101503170)121（个）. 50 （3）记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1，2，3， ，，23，P则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况：AB,A1,A2,A3,B1,B2,B3,1213【考点】频数（率）分布直方图

42. 10521.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，又∵AC是折痕，BCCEAD，

ABAECD.

又DEED，∴△ADE≌△CED. 【解析】证明：

（2）∵△ADE≌△CED，∴EDCDEA，△ACE与△ACB关于AC所在直线对称， ∴OACCAB，而OCACAB，∴OACOCA. ∴2OAC2DEA，

∴OACDEA，∴DE∥AC.

数学试卷 第15页（共22页）

数学试卷 第16页（共22页）

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质 22.【答案】96元、296元

【解析】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，

180x150y213 由题意得180x60y180x0.6 解得y0.7

∴4月份的电费为1600.696（元），

5月份的电费为1800.62300.7108161269（元）.

【提示】解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解. 【考点】二元一次方程组的应用 23.【答案】（1）y4 x（2）证明：∵点A(1,4)，点B(m,n)，∴AC4n，BCm1，ONn，OM1， AC4n44ACBCm141，而B(m,n)在y上，∴m，m1，而， ONnnnONOM1xACBC. ∴ONOM∴又∵ACBNOM90，∴△ACB∽△NOM； （3）yx4316 3k4过(1,4)点，∴k4，反比例函数解析式为y； xx 【解析】（1）∵y（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m12，∴m3，B点坐标为(3,). 4343kb416设AB所在直线解析式为ykxb，∴3，∴k，b， 334kb416 ∴解析式为yx. 33【考点】反比例函数的综合应用 24.【答案】（1）证明：连接OC.

∵AB为eO的直径，∴ACB90，∴ABCBAC90，又∵CM是eO的切线，∴OCCM， ∴ACMACO90.

∴COAO，∴BACACO，∴ACMABC

9 / 11

（2）6 【解析】 （2）解：∵BCCD，∴OC∥AD，又∵OCCE，∴ADCE，∴△AEC是直角三角形， ∴△AEC的外接圆的直径是AC， 又∵ABCBAC90，ACMECD90，而ABCACM，∴BACECD， 又ECDACM90，∴△ABC∽△CDE，∴∴ABBC，而eO的半径为3，AB6， CDED 6BC，BC212，∴BC23. CD2 在Rt△ABC中，∴AC361226， ∴△AEC的外接圆的半径为6. 【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形 25.【答案】（1）(4,0) （2）P(2,2)

（3）证明∵直线PB经过点P(-2,2)，B(2,0)，PB所在直线的解析式为yx1， 设121Q(a,a1)212是yx1上的任一点，则Q点关于x轴的对称点为(a,1a)， 1212 将(a,1a)代入yx1显然成立， 12 ∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上. 4a2b205112【解析】（1）∵抛物线yaxbx2经过点B(2,0)，D(1,)，∴解得a，b， 5，ab2442411 ∴yx2x2 4211∵A(m,0)在抛物线上，∴0m2m2，解得m4，∴A点的坐标为(-4,0). 42图像（略） （2）由题设知直线l的解析式为y1x1，111211 2SABgPF6gPF3(xx21x)22422 33x23x9=(x2)212 44

数学试卷 第19页（共22页）

数学试卷 第20页（共22页）

其中4x0.

∴S的最大值是12，此时点的坐标为(-2,2).

【考点】待定系数法求抛物线的解析式；待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，

x轴的对称点的坐标特征

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